第二节两条直线的位置关系1．两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行：①对于两条不重合的直线l1、l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2?_______．②当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.(2)两条直线垂直：①如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则有l1⊥l2?______________．②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.1．两条直线垂直的充要条件是斜率之积为，这种说法正确吗？【提示】不正确．两条直线垂直斜率之积不一定为－1，如直线x＝0与直线y＝0显然垂直，直线x＝0不存在斜率；反之，一定成立．∴两条直线垂直是斜率之积为－1的必要不充分条件．2．如何求点P(x0，y0)到直线x＝a和y＝b的距离？【提示】点P(x0，y0)到直线x＝a和y＝b的距离分别是|x0－a|和|y0－b|.,1．(人教A版教材习题改编)过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是()A．x－2y－1＝0B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0D．x＋2y－1＝0【答案】A【答案】C【答案】A4．(2013·金华调研)若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝________．【答案】1【答案】2或－6(1)a＝1是直线y＝ax＋1和直线y＝(a－2)x－1垂直的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)已知直线x＋a2y＋6＝0与直线(a－2)x＋3ay＋2a＝0平行，则a的值为()A．0或3或－1B．0或3C．3或－1D．0或－1【思路点拨】(1)根据两直线垂直的充要条件，先求a值，再判断；(2)根据两直线平行或重合的充要条件，求出a值再检验．【答案】(1)C(2)D1．解答本题(2)时应注意，在利用两直线平行或重合的充要条件求出a值后，应代入原直线方程检验出两直线平行时的a值．2．设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则(1)l1∥l2或l1与l2重合?A1B2－A2B1＝0.(2)l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.(3)若l3∥l1，则l3可设为A1x＋B1y＋m＝0(m≠C1)．(4)若l3⊥l1，则l3可设为B1x－A1y＋n＝0.已知过点A(－2，m)和点B(m，4)的直线为l1，直线2x＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l3，若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为()A．－10B．－2C．0D．8(1)求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．(2)已知点P(2，－1)，①求过点P且与原点距离为2的直线l的方程；②求过点P且与原点距离最大的直线l的方程，并求最大距离．【思路点拨】(1)可先求出l1与l2的交点，再用点斜式；也可利用直线系方程求解．(2)①分直线斜率存在和不存在两种情况求解．②结合图形分析l⊥OP时满足条件．运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)；(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)；(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.已知点A的坐标为(－4，4)，直线l的方程为3x＋y－2＝0，求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线l关于点A的对称直线l′的方程．【思路点拨】(1)充分利用对称的特征“垂直”、“平分”建立等量关系；(2)利用点的转移求解或点到直线的距离求解．1．本题考查是点关于线对称及线关于点对称的问题．2．在对称问题中，点关于点的对称是中心对称中最基本的，处理这类问题主要抓住：已知点与对称点连成线段的中点为对称中心；点关于直线对称是轴对称中最基本的，处理这类问题要抓住两点：一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是已知点与对称点为端点的线段的中点在对称轴上．直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是()A．x－2y＋3＝0B．x－2y－3＝0C．x＋2y＋1＝0D．x＋2y－1＝0【答案】A一般地，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0；与之垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋n＝0.1.判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑．2．(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．从近两年高考看，两条直线的位置关系是高考的热点，特别是两条直线平行和垂直的判定及点到直线的距离公式几乎每年都有涉及，其中有关直线和导数的交汇创新，是近年命题的热点．创新探究之十以点到直线距离为载体的新定义题(2012·浙江高考)定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x的距离等于曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝________．创新点拨：(1)利用曲线C到直线l的距离的定义，考查点到直线的距离，并巧妙地与导数知识交汇．(2)考查对新定义、新概念的理解和运用，同时考查思维的创新，考查转化和化归能力．应对措施：(1)要全面准确地掌握各知识点的基础知识和基本方法，重视知识间的联系．(2)要充分理解新定义的具体含义，剥去新定义的外衣，将曲线到直线的距离转化为点到直线的距离，化陌生为熟悉．【答案】A2．(2013·淮北模拟)已知直线l1：(t＋2)x＋(1－t)y＝1与l2：(t－1)x＋(2t＋3)y＋2＝0互相垂直，则t的值为________．法二l1⊥l2?(t＋2)(t－1)＋(1－t)(2t＋3)＝0，解之得t＝1或t＝－1.【答案】－1或1菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）k1＝k2k1·k2＝－1【答案】A菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）2．两条直线的交点的求法直线l：A＋B＋C＝0，l：A＋B＋C＝0，则l1与l的交点坐标就是方程组的解．几种距离(1)两点P(x1，y)，P(x2，y)之间的距离＝(2)点P(x0，y)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离＝
(3)两条平行线Ax＋By＋C＝0与Ax＋By＋C＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝
【解析】∵所求直线与直线x－2y－2＝0平行，所求直线的斜率为，又直线过(1，0)点，则直线方程为x－2y－1＝0.2．已知点(a，2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于()B．2－－1＋1【解析】由题意知＝1，∴|a＋1|＝，又a＞0，∴a＝－1.3．(2013·深圳模拟)已知直线l：(3＋m)x＋4y＝5－3m，l：2x＋(5＋m)y＝8平行，则实数m的值为()－7．－1．－1或－7
【解析】l的斜率为－，纵截距为，的斜率为－，纵截距为又∵l，由－＝－得，m＋8m7＝0，解得m＝－1或－7.m＝－1时，＝＝2，l与l重合，故舍去；＝－7时，＝＝－4，符合题意，故选【解析】∵直线x－2y＋5＝0与2x＋my－6＝0互相垂直，×(－)＝－1，∴m＝1.5．若两平行直线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则c的值为________．【解析】由题意得，＝，∴a＝－4，c≠－2.则6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0.＝，解得c＝2或－6.【尝试解答】(1)由a(a－2)＝－1得a－2a＋1＝0，＝1，故a＝1是直线y＝ax＋1和直线y＝(a－2)x－1垂直的充要条件．(2)由3a－(a－2)a＝0得a(a2－2a－3)＝0，＝－1或0或3.检验当a＝0或－1时两直线平行，当a3时两直线重合．【解析】∵直线l的斜率为－2，又l，则＝－2，得m＝－8，因为l，则－＝得n＝－2，＋n＝－10.【尝试解答】(1)法一先解方程组得l、l的交点1，2)，再由l的斜率求出l的斜率为－，于是由直线的点斜式方程求出l：－2＝－(x＋1)，即5x＋3y－1＝0.法二由于l⊥l，故l是直线系5x＋3y＋C＝0中的一条，而l过l、l的交点(－1，2)，故5×(－1)＋3×2＋C＝0，由此求出C＝－1，故l的方程为5x＋3y－1＝0.法三由于l过l、l的交点，故l是3x＋2y－1＋(5x＋2y＋1)＝0中的一条，将其整理，得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0，其斜率－＝－，解得λ＝，代入直线系方程即得l的方程为5x＋3y－1＝0.(2)①若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝2满足条件．若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.由已知，得＝2，解得k.
此时l的方程为3x－4y－10＝0.综上，可得直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.作图可得过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，如图．
由l⊥OP，得k＝－1，所以k＝－＝2.由点斜式得y＋1＝2(x－2)，2x－y－5＝0.直线2x－y－5＝0是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为＝
已知直线l：mx＋8y＋n＝0与l：2x＋my－1＝0互相平行，且l，l之间的距离为，求直线l的【解】∵l，∴＝，∴或(1)当m＝4时，直线l的方程为4x＋8y＋n＝0，把l的方程写成4x＋8y－2＝0.＝，解得n＝－22或n＝18.所以，所求直线的方程为2x＋4y－11＝0或2x＋4y＋9＝0.(2)当m＝－4时，直线l的方程为4x－8y－n＝0，把l的方程写成4x－8y－2＝0.＝，解得n＝－18或n＝22.所以，所求直线的方程为2x－4y＋9＝0或2x－4y－11＝0.【尝试解答】(1)设点A′的坐标为(x，y)，由题意可解得x＝2，y＝6，点的坐标为(2，6)．(2)法一在直线l′上任取一点P′(x，y)，其关于点A(－4，4)的对称点(－8－x，8－y)必在直线l上，即3(－8－x)＋(8－y)－2＝0，即3x＋y＋18＝0，所以所求直线的方程为3x＋y＋18＝0.法二由题意可知l′l，设l′的方程为3x＋y＋c＝0，由题意可知＝，解得c＝18或c＝－2(舍)，所以所求直线的方程为3x＋y＋18＝0.
【解析】设所求直线上任意一点P(x，y)，则P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x，y)，由得由点P′(x，y)在直线2x－y＋3＝0上，(y－2)－(x2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0.1.点P(x，y)关于A(a，b)的对称点为P′(2a－x，2b－y)．设点P(x，y)关于直y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)，则有可求出x′，y′.直线关于直线的对称．可化归为点关于直线的对称．
【解析】曲线C：x＋(y＋4)＝2到直线l：y＝x的距离为－r＝2－＝，对于y＝x＋a，y′＝2x＝1，故切点为(，＋a)，切点(，＋a)到直线l：y＝x的距离为＝，解得a＝或－由消去y，得x－x＋a＝0.由Δ＝1－4a＜0可得a＞，故a＝【答案】1．(2013·广州模拟)已知点A(0，2)，B(2，0)．若点C在函数y＝x的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为()B．3C．2D．1【解析】设点C(t，t)，直线AB的方程是x＋y－2＝0，＝2，且S＝2.则△ABC中AB边上的高h满足方程h＝2，h＝由点到直线的距离公式得＝＋t－2＝2或者t＋t－2＝－2，这两个方程各自有两个不相等的实数根，故这样的点C有4个．【解析】法一(1)当l，l的斜率都存在时，由k＝－1得t＝－1.(2)若l的斜率不存在，此时t＝1.的方程为x＝，l的方程为y＝－，显然l，符合条件．若l的斜率不存在，此时t＝－，易知l与l不垂直，综上可知t＝－1或t＝1. |
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