第六节双曲线1．双曲线定义平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c＞0)的____________________为常数2a(2a＜2c)，则点P的轨迹叫做双曲线．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a＞0，c＞0.(1)当__________时，P点的轨迹是双曲线；(2)当__________时，P点的轨迹是两条射线；(3)当__________时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质1．在平面内满足|PF1|－|PF2|＝2a(其中0＜2a＜|F1F2|)的动点P的轨迹是双曲线吗？【提示】不是双曲线．|PF1|－|PF2|＝2a，表示的几何图形只能说是离焦点F2较近的双曲线的一支．2．双曲线的离心率是怎样影响双曲线“张口”大小的？【答案】C4．(2012·辽宁高考)已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________．【思路点拨】(1)由双曲线定义，求△PF1F2的边长，根据余弦定理可解．(2)探求|FA|与|FB|间的关系，借助双曲线定义求轨迹方程．【答案】C1．(1)抓住“焦点三角形PF1F2”中的数量关系是求解第(1)题的关键．(2)第(2)小题中，点F的轨迹是双曲线的下支，一定分清是差的绝对值为常数，还是差为常数．2．利用双曲线定义求方程，要注意三点：(1)距离之差的绝对值，(2)2a＜|F1F2|，(3)焦点所在坐标轴的位置．【思路点拨】由已知椭圆的焦点和离心率得a，b满足的方程．1．确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a，b的值，常用待定系数法．2．利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论．(1)若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax2＋By2＝1(AB＜0)．(2)若已知渐近线方程为mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为m2x2－n2y2＝λ(λ≠0)．【答案】C双曲线为等轴双曲线?双曲线的离心率e＝?双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．求双曲线的标准方程：(1)定义法，由条件判定动点的轨迹是双曲线，求出a2，b2，写出方程．(2)待定系数法，即“先定型，后定量”，如果不能确定焦点的位置，应注意分类讨论或恰当设置简化讨论．从近两年的高考看，双曲线的标准方程及几何性质是高考的热点，特别是双曲线的几何性质，几乎每年均有涉及，且主要以选择题和填空题为主，属中低档题目，在解答过程中，为了挖掘题目的隐含条件，应充分利用数形结合的思想．【答案】B错因分析：(1)错求双曲线的渐近线方程，导致方程①错误；致使误得a2＝4，b2＝5,(2)概念不清误以为焦点为(2c，0)或混淆a，b，c间的关系，错认为a2＝b2＋c2，导致无果而终．防范措施：(1)双曲线的渐近线方程，只需将双曲线方程右端的常数“1”变为“0”即可．(2)区别好椭圆与双曲线中“a，b，c之间关系”，双曲线中a，b，c三者之间，c最大，应为c2＝a2＋b2.【答案】A【答案】B【答案】A菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）距离之差的绝对值2a＜|F1F2|2a＝|F1F2|2a＞|F1F2|坐标轴原点坐标轴原点(－a，0)(1，＋∞)【答案】C已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形
性质 范围 _____________ 对称性 对称轴：对称中心：对称轴：对称中心： 顶点 顶点坐标：，A顶点坐标：，A 渐近线 离心率 e＝，e∈，其中c＝ a、b、c间的关系 c＝(c＞a＞0，c＞b＞0)
x≥a或x≤－a
y≤－a或y≥a
(a，0)
(0，－a)
(0，a)
y＝±
y＝±
a2＋b2
3.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率为y＝±x
e＝
1．(人教版教材习题改编)双曲线方程为x2y2＝1，则它的右焦点坐标为()(，0)．(，0)．(，0)．(，0)【解析】双曲线的方程可化为x－＝1，＝1，b＝，c＝a＋b＝，＝，∴右焦点为(，0)．3．(2012·福建高考)已知双曲线－＝1的右焦点为(3，0)，则该双曲线的离心率等于()B.C.D.
【解析】由双曲线中a，b，c的关系c＝a＋b，得3＝a＋5，∴a＝4.∴e＝＝【解析】设P在双曲线的右支上，|PF＝2＋x，|PF＝x(x>0)，因为PF，所以(x＋2)＋x＝(2c)＝8，所以x＝－1，x＋2＝＋1，所以|PF2＋|PF＝2【答案】25．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率e＝2，且它的一个顶点到较近焦点的距离为1，则双曲线C的方程为________．【解析】依题意c－a＝1，①又e＝＝2，即c＝2a②由①②a＝1，c＝2.＝c－a＝3，故双曲线C为x－＝1.【答案】x－＝1
(1)(2012·大纲全国卷)已知F、F为双曲线C：x－y＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF＝2|PF，则＝()
(2)已知定点A(0，7)，B(0，－7)，C(12，2)；以点C为一个焦点作过A、B的椭圆，求另一个焦点F的轨迹方程．【尝试解答】(1)由x－y＝2，知a＝b＝，c＝2.由双曲线定义，|PF－|PF＝2a＝2，又|PF＝2|PF，＝4，|PF＝2，在△PF中，|F＝2c＝4，由余弦定理＝＝，选(2)设F(x，y)为轨迹上的任意一点，依题意，|FA|＋|CA|＝|FB|＋|CB|＝2a(a表示椭圆的长半轴长)．－|FB|＝|CB|－|CA|＝－＝2，－|FB|＝2＜14.由双曲线的定义知，F点在以A、B为焦点，2为实轴长的双曲线的下支上，点F的轨迹方程是y－＝1(y≤－1)．
已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．【尝试解答】由＋＝1，知c＝＝，F1(－，0)，F(，0)，且离心率e′＝又双曲线－＝1与椭圆＋＝1有相同的焦点．＋b＝()＝7，双曲线的离心率e＝＝，∴＝，则a＝2.从而b＝c－a＝7－2＝3.故所求的双曲线的方程为－＝1.【答案】－＝1
(2012·天津高考改编)已知双曲线C的右焦点为(，0)，且双曲线C与双曲线C′：－＝1有相同的渐近线，求双曲线C的标准方程．【解】∵双曲线C与双曲线－＝1有相同的渐近线，设双曲线C的方程为－＝λ(λ≠0)．则双曲线C：－＝1，又双曲线C的右焦点为(，0)，＝，则4λ＋16λ＝5，∴λ＝故所求双曲线C的方程为x－＝1.
(2013·宁波模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)与双曲线C：x－＝1有公共的焦点，C的一条渐近线与以C的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C恰好将线段AB三等分，则()B．a2＝13＝＝2【思路点拨】取一条C的渐近线，将其与C联立求得弦长|AB|，令|AB|＝，方可得出结论．【尝试解答】由题意知b＝a－5，则椭圆方程可化为(a－5)x＋a＋5a－a＝0，取双曲线的一条渐y＝2x，由，得(5a2－5)x＋5a－a＝0，＝±，渐近线被椭圆截得的弦长为2，又椭圆C把AB三等分，·＝，解得a＝，＝a－5＝
1．本题涉及到三种曲线，较复杂，可采用数形结合，寻找解题的突破口，关键是发现曲线CAB所得弦长为
2．双曲线中c＝a＋b，双曲线渐近线的斜率与离心率的关系＝(e＝)．抓住双曲线中“六点”、“四线”、“两三角形”，研究a，b，c，e间相互关系及转化，简化解题过程．(2012·湖北高考改编)如图8－6－1，双曲线－＝1(a，b>0)的两顶点为A，A，虚轴两端点为B，B，两焦点为F，F若以A为直径的圆内切于菱形F，切点分别为A，B，C，D.则双曲线的离心率e＝________．【解析】由题设|OB|＝b，＝c，点B是以A为直径的圆与菱形F的切点，∴OB⊥B2F1，在中，易知|F＝，由等面积法，|OB|＝，因此＝a，∴b＝a(b2＋c)()
又b＝c－a，将()化为c－3a＋a＝0，∴e4－3e＋1＝0，又e＞1，∴e＝，则e＝【答案】1.区分双曲线中a，b，c的大小关系与椭圆a，b，c的关系，在椭圆中a＝b＋c，而在双曲线中c＝a＋b双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e∈(0，1)．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程是y＝x，－＝1(a0，b＞0)的渐近线方程是y＝±易错辨析之十双曲线几何性质的求解误区(2011·山东高考)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均和圆C：x＋y－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为()－＝1－＝1－＝1－＝1【错解】由x＋y－6x＋5＝0，知圆心C(3，0)，半径r＝2，又－＝1的渐近线为ax±by＝0，且与圆C相切，＝2，即5a＝4b双曲线的右焦点为圆C的圆心＝3，从而9＝a＋b，②由①②联立，得a＝4，b＝5，所以该曲线的方程为－＝1，选【正解】将错解中双曲线的渐近线改为bx±ay＝0.由直线与圆相切，得＝2，即5b＝4a由①②联立，得a＝5，b＝4，故所求双曲线方程为－＝1，选1．(2012·浙江高考)如图8－6－2，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是()．
【解析】设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，半焦距为c，则椭圆的离心率为e＝设双曲线的标准方程为－＝1(m>0，n>0)，半焦距为c，则双曲线的离心率为e＝由双曲线与椭圆共焦点知c＝c由点M，O，N将椭圆长轴四等分可知m＝a－m，即2m＝a.＝＝＝2.2．(2012·福建高考)已知双曲线－＝1的右焦点与抛物线y＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于()B．4C．3D．5
【解析】抛物线y＝12x的焦点坐标为(3，0)，故双曲线－＝1的半焦距c＝3.由9＝4＋b得b＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±由点到直线的距离公式，得双曲线焦点到其渐近线的距离d＝＝【提示】对于双曲线－＝1，由e＝＝知，e越大，则越大，即双曲线渐近线的斜率绝对值越大，从而双曲线的“张口”越大．
【解】设动圆M的半r，则由已知|MC＝r＋，|MC＝r－，－|MC＝2，又C(－4，0)，C(4，0)，＝8，＜|C根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C(－4，0)、C(4，0)为焦点的双曲线的右支．又a＝，c＝4，＝c－a＝14，点M的轨迹方程是－＝1(x≥).
2．(2012·合肥质检)双曲线－＝1的焦点坐标为()(3，0)和(－3，0)(2，0)和(－2，0)(0，3)和(0，－3)(0，2)和(0，－2)【解析】在双曲线中，c＝＝＝3，由焦点在x轴上，可知其焦点坐标是(±3，0)．【答案】 |
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