第七节抛物线1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离______的点的轨迹叫做抛物线．2．抛物线的标准方程与几何性质1．在抛物线的定义中，若定点F在直线l上，动点P的轨迹还是抛物线吗？【提示】不是．当定点F在定直线l上时，动点的轨迹是过点F且与直线l垂直的直线．2．抛物线y2＝2px(p＞0)上任一点M(x1，y1)到焦点F的距离|MF|与坐标x1有何关系？【答案】B2．(2013·西安质检)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是()A．y2＝－8xB．y2＝8xC．y2＝－4xD．y2＝4x【答案】B【答案】B4．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为()A．4B．－2C．4或－4D．12或－2【答案】C【思路点拨】(1)根据圆C与圆外切、和直线相切，得到点C到圆心的距离，到直线的距离，再根据抛物线的定义可求得结论．(2)由抛物线定义，将|AB|、|AF|转化为到焦点的距离，数形结合求解．【尝试解答】(1)设圆C的半径为r，又圆x2＋(y－3)2＝1的圆心C′(0，3)，半径为1.依题意|CC′|＝r＋1，圆心C到直线y＝0的距离为r，∴|CC′|等于圆心C到直线y＝－1的距离(r＋1)．故圆C的圆心轨迹是抛物线．【思路点拨】(1)由于准线与AB平行，将点P到直线AB的距离转化为焦点F到准线的距离，只需求P.(2)确定焦点，从而求出p值．【答案】(1)C(2)D设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()A．(0，2)B．[0，2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)【解析】由抛物线C：x2＝8y知p＝4，∴焦点F(0，2)，准线方程y＝－2.由抛物线定义，|MF|＝y0＋2，∵以F为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交，且圆心F(0，2)到准线y＝－2的距离为4.∴4＜y0＋2，从而y0＞2.【答案】C1.定义法：根据条件确定动点满足的几何特征，从而求出抛物线方程．2．待定系数法：根据条件设出标准方程，再确定参数p的值，这里要注意抛物线标准方程有四种形式．若焦点在x轴上，设为y2＝ax(a≠0)，若焦点在y轴上，设为x2＝by(b≠0)．从近两年的高考看，抛物线的定义、标准方程及几何性质是高考的热点，且常以选择题、填空题的形式出现，属中档题目，有时与圆、向量等综合交汇，考查定点、定(最)值、或开放性问题，以解答题的形式出现，突出数学思想与创新探究能力的考查．创新探究之十一以抛物线为背景的创新题创新点拨：(1)以三角形与抛物线的关系为背景，考查直线、圆、抛物线，并渗透三角函数定义，与导数的几何意义．(2)突出转化化归思想与函数方程思想，以及求解探索开放问题能力的考查．应对措施：(1)强化知识间交汇转化训练，对于圆锥曲线的切线问题，应重视导数的工具作用．(2)①充分利用圆的几何性质，重视向量数量积在解决垂直关系中的转化作用；②对于定点的探求：一是由特殊寻求点的坐标，然后证明所求点满足一般性，二是设出含参数的点坐标，利用恒成立直接求解．必须注意两种方法都要重视方程思想的应用．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）相等y≤0，x∈Ry≥0，x∈R________________x≥0，y∈R范围图形x2＝－2py(p>0)x2＝2py(p>0)y2＝－2px(p>0)y2＝2px(p>0)标准方程x≤0，y∈R【答案】4菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）焦点坐标 (－，0) (0，) 准线方程 x＝－＝ 离心率 e＝1 焦半径 |PF|＝＋＝＝＝－y＋
(，0)
(0，－)
x＝
y＝－
－x＋
y0＋
1．(人教版教材习题改编)若抛物线y＝4x上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()B.C.D．0
【解析】M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y＝－，设M(x，y)，则y＋＝1，∴y＝【解析】因为抛物线的准线方程为x＝－2，所以＝2，所以p＝4，所以抛物线的方程是y＝8x.所以选3．(2012·四川高考)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝()B．2C．4D．2
【解析】由题意设抛物线方程为y＝2px(p>0)，则M到焦点的距离为x＋＝2＋＝3，∴p＝2，∴y＝4x，＝4×2，∴y＝±2，∴|OM|＝＝＝.
【解析】设抛物线方程为x＝－2py(p＞0)，由题意知＋2＝4，＝4，抛物线方程为x＝－8y，＝16，∴m＝±4.5．双曲线－＝1的y2＝2px的准线上，则p的值为________．【解析】双曲线的左焦点坐标为(－，0)，抛物线的准线方程为x＝－，－＝－，∴p＝16，又p＞0，则p＝4.(1)(2013·惠州质检)设圆C与圆C′：x＋(y－3)＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为()抛物线．双曲线椭圆．圆(2)(2012·重庆高考)过抛物线y＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝，|AF|＜|BF|，则|AF|＝________．(2)由y＝2x，得p＝1，焦点F(，0)．又|AB|＝，知AB的斜率存在(否则|AB|＝2)．设直线AB的方程为y＝k(x－)(k≠0)，A(x，y)，B(x，y)．将y＝k(x－)代入y＝2x，得－(k＋2)x＋＝0.()∴x1＋x＝1＋，又|AB|＝|AF|＋|BF|＝x＋x＋p＝x＋x＋1＝，因此x＋x＝1＋＝，k＝24.则方程()为12x－13x＋3＝0，又|AF|＜|BF|，＝，x＝＝x＋＝＋＝【答案】(1)(2)
1．(1)凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．(2)第(2)题中充分运用抛物线定义实施转化，其关键在于求点A的坐标．
．若P(x，y)为抛物线y＝2px(p＞0)上一点，由定义易得|PF|＝x＋；若过焦点的弦AB的端点坐标为(x1，y)，B(x，y)，则弦长为|AB|＝x＋x＋p，x＋x可由根与系数的关系整体(2013·安徽八校联考)已知点P是抛物线y＝2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A(，4)，求＋的最小值．【解】设抛物线的焦点为F，则|PF|＝＋，＝|PF|－，∴|PA|＋|PM|＝|PA|＋|PF|－，将x＝代入抛物线方程y＝2x，得y＝±，＜4，∴点A在抛物线的外部，当P、A、F三点共线时，|PA|＋|PF|有最小值，(，0)，∴|AF|＝＝5，＋|PM|5－＝.
(1)(2013·济南质检)已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A、B两点，|AB|＝12，P为C的ABP的面积为()．．．(2)已知抛物线C与双曲线x－y＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是()＝±2＝±2x＝±4x．＝±4【尝试解答】(1)设抛物线方程为y＝2px，当x＝时，y＝p，∴|y|＝p，＝＝＝6，又点P到AB的距离始终为6，＝＝36.(2)由题意知，抛物线C的焦点坐标为(－，0)或(，0)，＝2，抛物线的方程为y＝4或y＝－4
1．抛物线有四种不同形式的标准方程，要掌握焦点与准线的距离，顶点与准线、焦点的距离，通径与标准方程中系数2p的关系．
．求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y＝mx或x＝my(m≠0)．焦点到准线的距离，简称焦准距，抛物线y＝2px(p＞0)上的点常设为(，y)，便于简化计算．(2013·湘潭质检)已知平面内一动点P到点F(1，0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l，l，设l与轨迹C相交于点A，Bl2与轨迹C相交于点D，E，求的最小值．【思路点拨】(1)利用直接法求轨迹方程；(2)先设直线l的斜率为k，依题设条件可求出关于k的解析式，利用均值不等式求最值．【尝试解答】(1)设动点P的坐标为(x，y)，由题意得－|x|＝1，化简得y＝2x＋2|x|.当x≥0时，y＝4x；当x＜0时，y＝0.所以动点P的轨迹C的方程为＝4x(x≥0)和y＝0(x＜0)．(2)由题意知，直线l的斜率存在且不为0，设为k，则l的方程为y＝k(x－1)．由，得k－(2k＋4)x＋k＝0.设A(x，y)，B(x，y2)，则x，x是上述方程的两个实根，于是x＋x＝2＋，x＝1.因为l，所以l的斜率为－设D(x，y)，E(x，y)，则同理可得x＋x＝2＋4k，x＝1.·＝(＋)·(＋)＝＋＋＋
＝＋＝||＋||
＝(x＋1)(x＋1)＋(x＋1)(x＋1)＝x＋(x＋x)＋1＋x＋(x＋x)＋1＝1＋(2＋)＋1＋1＋(2＋4k)＋1＝8＋4(k＋)≥8＋4×2＝16故当且仅当k＝即k＝±1时，取最小值，即16.
1．本题常见的错误：(1)误把点P到y轴的距离写成x，错求轨迹C的方程．(2)不能将转化为(＋)·(＋)A、B、C、D的坐标(l，l的斜率)表示出，思维受阻．
．(1)第(2)问的关键是数量积的转化，应重视数形结合，利用交点坐标准确表示．(2)题目涉及直线与抛物线的位置关系，基本方法是联立方程，寻求各点坐标间的关系．(2012·课标全国改编)设抛物线C：x＝2py(p＞0)的焦点为F，准线为l，若点A是抛物线C上在第一象限内任意一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．(1)若∠BFD＝90，△ABD的面积为4，求p的值及圆F的方程；(2)若A，B，F三点共线，直线m与直线AB平行，且直线M与抛物线C只有一个公共点，求坐标原点到直线M的距离．【解】(1)由已知可得△BFD为等腰直角三角形，＝2p，圆F的半径|FA|＝由抛物线定义可知A到l的距离d＝|FA|＝由S＝4，得＝4，p2＝4，则p＝2(p＝－2舍去)．＝4y，焦点F(0，1)，从而圆F的方程为x＋(y－1)＝8.(2)因为A，B，F三点在同一直线m上，所以AB为F的直径，∠ADB＝90由抛物线定义知|AD|＝|FA|＝B|，所以∠ABD＝30，又点A在第一象限，直线m的斜率k＝设直线m：y＝＋b，代入x＝2py.得x－－2pb＝0，因m与C只有一个公共点，故Δ＝＋8pb＝0，b＝－从而直线m的方2x－6y－p＝0.原点O(0，0)到m的距离d＝＝焦半径：抛物线y＝2px(p＞0)上一点P(x，y)到焦点F(，0)的距离|PF|＝x＋(2012·福建高考)如图8－7－1，等边三角形OAB的边长为，且其三个顶点均在抛物线E：x＝2py(p>0)上．(1)求抛物线E的方程；(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y＝－1相交于点Q，证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点．【规范解答】(1)依题意，|OB|＝，∠BOy＝30，设B(x，y)，∠BOx＝60，由三角函数定义＝|OB|＝4，y＝|OB|＝12，因为点B(4，12)在x＝2py上，所以(4)＝2p×12，解得p＝2.故抛物线E的方程为x＝4y.(2)由(1)知y＝，y′＝设P(x，y)，x0≠0，y＝，k＝直线l：y－y＝(x－x)，即y＝－.
由得所以Q(，－1)．设M(0，y)，若以|PQ|为直径的圆恒过定点M，则＝0对满足y＝(x0≠0)的x，y恒成立．由于＝(x，y－y)，＝(，－1－y)，由＝0，得－y－y＋y＋y＝0，即(y＋y－2)＋(1－y)y0＝0.()由于()式对满足y＝(x0≠0)的y恒成立，所以解之得y＝1.故以|PQ|为直径的圆恒过y轴上的定点M(0，1)．1．(2012·山东高考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C：x＝2py(p>0)的焦点到双曲线C的渐近线的距离为2，则抛物线C的方程为()＝yB．x2＝y
C．x2＝8y．＝16y【解析】∵双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，∴＝＝2，∴b＝a，双曲线的渐近线方程为＝0，抛物线C：x＝2py(p>0)的焦点(0，)到双曲线的渐近线的距离为＝2，＝8.∴所求的抛物线方程为x＝16y.【答案】【提示】抛物线y＝2px的准线方程是x＝－，根据抛物线的定义知|MF|＝x＋
【解析】设∠AFx＝θ(0＜θ＜π)，＝m，则x＝1＋，x＝1＋m(x－θ)＝1－m又y＝4x的准线l为x＝－1，＝1＋x＝2＋，因此3＝2＋，∴＝＝1＋x，则m＝2－m，所以|BF|＝m＝＝【答案】 |
|
