第八节函数与方程1．函数零点(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使__________成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)函数零点与方程根的关系：方程f(x)＝0有实根?函数y＝f(x)的图象与_____有交点?函数y＝f(x)有_______．(3)零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有______________，那么函数y＝f(x)在区间_________内有零点，即存在x0∈(a，b)，使得_____________．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系1．函数的零点是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点吗？【提示】不是．函数的零点是一个实数，是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．2．“f(a)·f(b)＜0”是“函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续)”的什么条件？【提示】f(a)·f(b)＜0?函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，反之不一定成立，如函数f(x)＝x2－2x＋1在区间(0，2)内有零点x＝1，但f(0)f(2)＞0，因此，“f(a)·f(b)＜0”是“函数f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续)”的充分不必要条件．1．(人教A版教材习题改编)若函数f(x)＝x2＋mx＋1有两个零点，则实数m的取值范围是()A．(－1，1)B．(－2，2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】依题意，Δ＝m2－4＞0，∴m＞2或m＜－2.【答案】C【答案】C【答案】C【答案】B5．(2013·德州调研)已知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0，1)上有零点，则实数a的取值范围是________．【解析】函数f(x)＝x2＋x＋a在(0，1)上递增．由已知条件f(0)f(1)＜0，即a(a＋2)＜0，解得－2＜a＜0.【答案】(－2，0)【思路点拨】(1)先根据零点存在性定理证明有零点，再根据函数的单调性判断零点的个数．(2)画出两个函数的图象寻找零点所在的区间．【尝试解答】(1)因为f′(x)＝2xln2＋3x2>0，所以函数f(x)＝2x＋x3－2在(0，1)上递增，且f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋1－2＝1>0，所以有1个零点．【答案】(1)B(2)(1，2)确定函数f(x)零点所在区间的常用方法(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上；(2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)＜0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．【思路点拨】解答(1)可用基本不等式求出最值或数形结合法求解，(2)转化为两个函数f(x)与g(x)有两个交点，从而数形结合求解．可知若使g(x)＝m有零点，则只需m≥2e.故当g(x)＝m有实数根时，m的取值范围为[2e，＋∞)．∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2，∴其图象的对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2，故当m－1＋e2＞2e，即m＞－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．1.函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的实根．2．函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件．函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．从近两年高考试题看，函数的零点、方程的根的问题是高考的热点，题型以客观题为主，主要考查学生转化与化归及函数与方程的思想．思想方法之五用函数与方程思想解决图象公共点问题【答案】B易错提示：(1)不能把函数图象的交点问题转化为方程的根的问题，找不到解决问题的切入点．(2)不能把方程根的情况与相应函数的极值大小联系起来，思维受阻，无法解答．防范措施：(1)明确函数图象的交点、方程的根与函数的零点三者之间的关系是解决问题的关键所在．(2)方程的根的情况与函数的极值的大小有密切的关系，求解时应注意寻找它们之间的关系．1．(2012·湖北高考)函数f(x)＝xcos2x在区间[0，2π]上的零点的个数为()A．2B．3C．4D．5【答案】A【答案】D菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）f(x)＝0x轴零点f(a)·f(b)<0(a，b)f(x0)＝0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象Δ<0Δ＝0Δ>0Δ＝b2－4ac012零点个数无交点_____________________________与x轴的交点Δ<0Δ＝0Δ>0Δ＝b2－4ac(x1，0)，(x2，0)(x1，0)【答案】D菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）2．在下列区间中，函数f(x)＝＋4x－3的零点所在的区间为()(－，0)．(0，)(，)．(，)【解析】显然f(x)＝＋4x3的图象连续不间断，又()＝－1＞0，f()＝－2＜0.由零点存在定理知，f(x)在(，)内存在零点．3．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx－ax的零点是()，2．，，－，－【解析】由题意知2a＋b＝0，即b＝－2a.令g(x)＝bx－ax＝0得x＝0或x＝＝－，故选4．(2012·北京高考)函数f(x)＝x－()的零点的个数为()．．【解析】在同一平面直角坐标系内作出y＝x与y＝()的图象如图所示，易知，两函数图象只有一个交点．因此函数f(x)＝x－()只有1个零点．(1)(2012·天津高考)函数f(x)＝2＋x－2在区间(0，1)内的零点个数是()B．1．．(2)(2013·湛江模拟)设函数y＝x与y＝()－2的图象的交点为(x，y)，则x所在的区间(端点值为连续整数的开区间)是________．(2)设f(x)＝x－()－2，则x是函数f(x)的零点．在同一坐标系下画出函数y＝x与y＝()－2的图象，如图所示．∵f(1)＝1－()－1＝－1＜0，(2)＝8－()＝7＞0(1)f(2)＜0，(1，2)．(2013·临沂模拟)已知函数f(x)＝－x＋2＋m－1，g(x)＝x＋(x＞0)．(1)若g(x)＝m有实数根，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．【尝试解答】(1)法一∵g(x)＝x＋＝2，等号成立的条件是x＝，故g(x)的值域是[2，＋∞)，因此，只需m≥2，则g(x)＝m就有零点．故当g(x)＝m有实数根时，m的取值范围为[2，＋∞)．法二作出g(x)＝x＋(x＞0)的大致图象如图：(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出g(x)＝x＋(x＞0)的大致图象．2．(2013·威海模拟)设方程－()x＝0，x－()＝0的根分别为x、x，则()＜x＜1．＝1＜x＜2．【解析】在同一坐标系内画出函数y＝()，y＝，y＝x的图象，如图所示，则x＞1＞x＞0，由＝()，x2
＝()得＝()－()＜0，＜x＜1，故选(2013·武汉模拟)设函数f(x)＝－a在区间(1，2)内有零点，则实数a的取值范围是()(－1，)．(0，)
C．(log32，1)．(1，)
【解析】由题意知方程＝a在区间(1，2)上有解，由1＜x＜2得2＜＜3，∴＜＜1，(log32，1)．【答案】(2012·宣城市第二次调研)函数f(x)＝的零点个数是()．．．【解析】当x≤0时，函数(x)有1个零点－；当x＞0时，作出函数y＝，y＝x－2x的图象，可知两个函数的图象有2个交点，即x＞0时函数f(x)有2个零点，故函数f(x)共有3个零点．(2012·山东高考)设函数f(x)＝，g(x)＝－x＋bx，若y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点(x1，)，B(x，y)，则下列判断正确的是()＋x，y＋y．＋x，y＋y1＋x，y＋y＋x，y＋y【解析】设F(x)＝x－bx＋1，则方程F(x)＝0与f(x)＝(x)同解，故其有且仅有两个不同零点x，x由F′(x)＝0得x＝0或x＝这样，必须且只需F(0)＝0或F()＝0.
因为F(0)＝1，故必有F()＝0，由此得b＝不妨设x，则x＝＝所以(x)＝(x－x)(x－)，比较系数得－x＝1，故x＝－＋x＝，由此知y＋y＝＋＝.
【解析】分别判断y＝x和y＝的零点．＝x在[0，2]上的零点为x＝0，y＝2x在[0，2]上的零点为x＝，，，，所以(x)在区间[0，2]上的零点个数为5. |
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