第九节函数模型及其应用1．三种函数模型之间增长速度的比较1．函数y＝x2与y＝2x在(0，＋∞)上函数值是如何变化的？【提示】当x∈(0，2)时，2x＞x2，当x∈(2，4)时，x2＞2x，当x∈(4，＋∞)时，2x＞x2.2．直线上升、指数增长、对数增长各有什么特点？【提示】直线上升，匀速增长；指数增长，先慢后快，其增长量成倍增加，可用“指数爆炸”形容；对数增长；先快后慢，其增长速度缓慢．1．(人教A版教材习题改编)一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的()【解析】由题意知h＝20－5t，故选B.【答案】B2．拟定甲地到乙地通话m分钟的电话费f(m)＝0.5×[m]＋1(单位：元)，其中m>0，[m]表示不大于m的最大整数(如[3.62]＝3，[4]＝4)，当m∈[0.5，3.2]时，函数f(m)的值域是()A．{1，2，3，4} B．{1，1.5，2，2.5}C．{1，1.5，2.5，3} D．{1.5，2，2.5}【解析】当m∈[0.5，3.2]时，[m]所有可能值为0，1，2，3共四个，故f(m)的值域为{1，1.5，2，2.5}．【答案】B【答案】B4．某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，存期是x，本利和(本金加利息)为y元，则本利和y随存期x变化的函数关系式是________．【解析】已知本金为a元，利率为r，则1期后本利和为y＝a＋ar＝a(1＋r)，2期后本利和为y＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2，3期后本利和为y＝a(1＋r)3，…x期后本利和为y＝a(1＋r)x，x∈N.【答案】y＝a(1＋r)x，x∈N5．(2013·武汉模拟)里氏震级M的计算公式为：M＝lgA－lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中．测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级，9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．【答案】610000【审题视点】计算实施规划前后10年总利润，通过比较可知该规划方案是否具有实施价值．1．本题在求规划实施前最大利润时，易忽视二次函数的特性，直接把x＝60代入求解，造成错误答案．2．(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错．(2)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图2－9－1(1)；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2－9－1(2)(注：利润和投资单位：万元)．(1)分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产．①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？②问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？ 已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律是：θ＝m·2t＋21－t(t≥0，并且m＞0)．(1)如果m＝2，求经过多少时间，物体的温度为5摄氏度；(2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围．【思路点拨】(1)解关于2t的一元二次方程求解．(2)转化为恒成立问题求解．1．解答本题的关键是把所求解问题转化为一元二次方程或二次函数问题求解．2．(1)指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来表示．(2)应用指数函数模型时，先设定模型将有关已知数据代入计算验证，确定参数． (2013·杭州模拟)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)【思路点拨】(1)当20≤x≤200时，运用待定系数法求v(x)的解析式，进而确定当0≤x≤200时，分段函数v(x)．(2)根据(1)求出f(x)，根据函数的单调性与基本不等式求最值．1．理解题意，由待定系数法，准确求出v(x)，是求解本题的关键．要注意分段函数各段变量的取值范围，特别是端点值．2．实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．(1)从药物释放开始，求每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少个小时后，学生才能回到教室？特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．解决实际应用题的一般步骤(1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质；(2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题；(3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题；(4)还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论．从近两年高考试题看，对函数的实际应用问题的考查，更多地以社会实际生活为背景，设问新颖，灵活；题型以解答题为主，难度中等偏上，常与基本不等式、导数等知识交汇，考查学生分析问题、解决问题的能力．规范解答之二函数建模在实际问题中的应用) (14分)(2012·江苏高考)如图2－9－3，建(1)求炮的最大射程．(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．【解题程序】第一步：根据题意建立方程，确定x、k的范围；第二步：建立炮的射程的函数模型，并求最大值；第三步：把所求问题转化为方程有解问题；第四步：把方程有解问题转化为一元二次方程有正根问题；第五步：列不等式求解，用数学结果回答实际问题．易错提示：(1)未读懂题意，不能建立x与k的函数关系．(2)不能把炮弹击中目标转化为关于k的一元二次方程有正根问题．(3)不能正确列不等式求解．防范措施：(1)求解函数实际问题，审题是关键，要弄清相关“名词”准确寻求各量之间的关系．(2)在求解过程中应分清变量之间的辨证关系，结合所求，合理转化．(3)根据一元二次方程列不等式(组)时，首先判断两根之和与两根之积的正负，根据它们的正负确定如何列不等式(组)．1．(2013·宜春模拟)某市原来居民用电价为0.52元/kw·h，换装分时电表后，峰时段(早上8点到晚上9点)的电价0.55元/kw·h，谷时段(晚上9点到次日早上8点)的电价为0.35/kw·h，对于一个平均每月用电量为200kw·h的家庭，换装分时电表后，每月节省的电费不少于原来电费的10%，则这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为()A．110kw·h B．114kw·hC．118kw·h D．120kw·h【解析】设在峰时段的平均用电量为xkw·h，由题意知0.52×200－[0.55x＋0.35(200－x)]≥0.52×200×10%，解得x≤118，故选C.【答案】C2．(2013·江门模拟)小孟进了一批水果，如果他以每斤1.2元的价格出售，那他就会赔4元；如果他以每斤1.5元的价格出售，一共可赚8元，现在小孟想将这批水果尽快出手，以不赔不赚的价格卖出，那么每千克水果应定价为()A．2.6元 B．2.2元C．2.8元 D．1.3元【答案】A菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）存在一个x0，当x＞x0时，有______________大小比较相对平稳越来越慢越来越快增长速度_______________________________________在(0，＋∞)上的增减性y＝xn(n＞0)y＝logax(a＞1)y＝ax(a＞1)函数性质单调递增单调递增单调递增logax＜xn＜ax菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝＋2x＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为()万件．万件万件．万件【解析】利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．【解析】由题意，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则M＝－＝－＝3－(－3)＝6.设9级地震的最大振幅是x，5级地震的最大振幅是y，＝＋3，5＝＋3，解得x＝10，y＝10所以＝＝10000.(2013·聊城模拟)西部大开发是中华人民共西部山区的某种特产由于运输原因，长期只能在当地销售，当地政府对该项特产的销售投资收益为：每年投入x万元，可获得利润P＝－(x－40)＋100万元．
当地政府借助大开发拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年都投入60万元的销售投资，在未来10年的前5年中，每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路，5年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的5年中，该特产既在本地销x万元，可获利润Q＝－(60－x)＋(60－x)万元．问从10年的总利润看，该规划方案是否具有实施价值？【尝试解答】在实施规划前，由题设P＝－(x－40)＋100(万元)知，每年只需投入40万，即可获得最大利润100万元．则10年的总利润为＝100×10＝1000(万元)．实施规划后的前5年中，修建公路的费用为30×5＝150(万元)，又由题设P＝－(x－40)＋100知，每年投入30万元时，利润P＝(万元)．前5年的利润和为×5－150＝(万元)．设在公路通车的后5年中，每年用x万元投资于本地的销售，而用剩下的(60－x)万元投资于外地的销售，则其总利W2＝[－(x－40)＋100]×5＋(－＋)×5＝－5(x－30)＋4950.当x＝30时，(W)max＝4950(万元)．从而10年的总利润为＋4950(万元)．＋4950＞1000，故该规划方案有极大实施价值．
【解】(1)设A、B两种产品分别投资x万元(x≥0)，所获利润分别为f(x)、g(x)万元，由题意可设f(x)＝k，g(x)＝k，根据图象可解得f(x)＝0.25x(x≥0)，(x)＝2(x≥0)．(2)①由(1)得f(9)＝2.25，g(9)＝2＝6，总利润y＝8.25(万元)．设B产品投入x万元，A产品投入(18－xy万元，则y＝(18－x)＋2，0≤x≤18.令＝t，t∈[0，3]，则y＝(－t＋8t＋18)＝－(t－4)＋当t＝4时，y＝＝8.5，此时x＝16，18－x＝2.当A、B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润8.5万元.
【尝试解答】(1)若m＝2，则θ＝2·2＋2－t＝2(2＋)，当θ＝5时，2＋＝，令2＝x(x≥1)，则x＋＝，即2x－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝(舍去)，此时t＝1.所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度．(2)物体的温度总不低于2摄氏度，即θ≥2恒成立，亦m·2＋恒成立，亦即m≥2(－)恒成立．令＝x，则0＜x≤1，(x－x)，由于x－x，∴m≥因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m，＋∞)．
【尝试解答】(1)由题意：当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b.再由已知得解得故函数v(x)的表达式为(x)＝(2)依题意并由(1)可得f(x)＝当0≤x≤20时，f(x)为增函数．故当x＝20时，其最大值为60×20＝1200；当20＜x≤200时，(x)＝(200－x)≤[]＝当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立．所以，当x＝100时，f(x)在区间(20，200]上取得最大值综上，x＝100时，f(x)在区间[0，200]上取得最大值即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．
为了预防甲型流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝()－a(a为常数)，如图2－9－2所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：【解】(1)从图中可以看出线段的端点分别为(0，0)，(0.1，1)．所以在0≤t≤0.1时，表达式y＝10t.点(0.1，1)也在y＝()－a上，故a＝0.1.时，y＝()－0.1函数的解析式为y＝(2)依题意，学生进入教室，则有y＜0.25，()t－0.1＜即()－0.2＜，又y＝()是减函数，∴2t－0.2＞1，∴t＞0.6.因此至少要经过0.6个小时后，学生才能回到教室．立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k)x2(k>0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．【规范解答】(1)令y＝0，得kx－(1＋k)x2＝0，由实际意义和题设条件知x>0，k>0，3分故x＝＝＝10，当且仅当k＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米.6分(2)因为a>0，所以炮弹可击中目标存在k>0，使3.2＝ka－(1＋k)a2成立9分关k的方程a－20ak＋a＋64＝0有正根11分判别式Δ＝(－20a)－4a(a2＋64)≥0所以当a不超过6千米时，可击中目标.14分【解析】设水果的成本价为x元/斤，共有a斤，由题意知解得x＝1.3，则每千克水果应定价2.6元，故选2.常见的几种函数模型(1)一次函数模型：y＝．(2)反比例函数模型：y＝(k≠0)．(3)指数函数模型：y＝a·b＋c(b＞0，b≠1，a≠0)型．(4)对数函数模型：y＝m＋n(a＞0，a≠1，m≠0)型．(5)幂y＝a·x＋b(a≠0)型．(6)分段函数模型．
kx＋b(k≠0)
某电视生产厂家有A、B两种型号的电视机参加家电下乡活动．若厂家投放A、B型号电视机的价值分别为p、q万元，农民购买电视机获得的补贴分别为、万元．已知厂家把总价值为10万元的A、B两种型号电视机投放市场，且A、B两型1万元，请你制定一个投放方案，使得在这次活动中农民得到的补贴最多，并求出其最大值(精确到0.1，参考数据：＝1.4)．【解】设B型号电视机的价值为x万元(1≤x≤9)农民得到的补贴为y万元，则A型号电视机的价值为(10－x)万元，由题意得＝(10－x)＋＝－＋1，＝－，令y′＝0＝4，(1，4)，y′＞0；x∈(4，9)，y′＜0，＝4时，y取得最大值，y＝－0.4＋1≈1.2.即厂家分别投入A、B两型号电视机6万元和4万元，农民得到补贴最多约为1.2万元． |
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