第六节对数与对数函数1．对数的概念如果ax＝N(a＞0且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作____________．2．对数的性质、换底公式与运算性质3.对数函数的定义、图象与性质4.反函数指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)与对数函数_________(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线________对称．1．如何确定图中各函数的底数a，b，c，d与1的大小关系？你能得到什么规律？【提示】作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．∴0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．2．当对数logab的值为正数或负数时，a，b满足什么条件？【提示】若logab＞0，则a，b∈(1，＋∞)或a，b∈(0，1)，简记为a，b在相同的区间内；若logab＜0，则a∈(1，＋∞)且b∈(0，1)或a∈(0，1)且b∈(1，＋∞)，简记为a，b在不同的区间内．1．(人教A版教材习题改编)2log510＋log50.25＝()A．0 B．1 C．2 D．4【解析】2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log525＝2.【答案】C【解析】由题意知f(x)＝logax，又f(2)＝1，∴loga2＝1，∴a＝2.∴f(x)＝log2x，故选D.【答案】D【答案】D4．(2013·苏州模拟)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．5．(2012·北京高考)已知函数f(x)＝lgx，若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝________．【解析】∵f(x)＝lgx，∴f(a2)＋f(b2)＝2lga＋2lgb＝2lgab.又f(ab)＝1，∴lgab＝1，∴f(a2)＋f(b2)＝2.【答案】2【思路点拨】(1)根据乘法公式和对数运算性质进行计算；(2)将对数式化为指数式或直接代入求解．【尝试解答】(1)法一∵loga2＝m，loga3＝n，∴am＝2，an＝3，∴a2m＋n＝(am)2·an＝22×3＝12.法二∵loga2＝m，loga3＝n，∴a2m＋n＝(am)2·an＝(aloga2)2·aloga3＝22×3＝12.1．对数运算法则是在化为同底的情况下进行的，因此经常用到换底公式及其推论；在对含字母的对数式化简时必须保证恒等变形．2．ab＝N?b＝logaN(a＞0且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中要注意互化．3．利用对数运算法则，在积、商、幂的对数与对数的和、差、倍之间进行转化．A．(1，10) B．(5，6)C．(10，12) D．(20，24)(2)作出f(x)的大致图象．不妨设a＜b＜c，因为a、b、c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，由函数的图象可知10＜c＜12，且|lga|＝|lgb|，因为a≠b，所以lga＝－lgb，可得ab＝1，所以abc＝c∈(10，12)，故选C.【答案】(1)D(2)C1．解答本题(1)时，可假设一个图象正确，然后看另一个图象是否符合要求；对于本题(2)根据|lga|＝|lgb|得到ab＝1是解题的关键．2．对一些可通过平移、对称变换能作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合求解．3．一些对数型方程、不等式问题的求解，常转化为相应函数图象问题，利用数形结合法求解．(1)已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝lgx，h(x)＝log3x，直线y＝a(a＜0)与这三个函数的交点的横坐标分别是x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是()A．x2＜x3＜x1B．x1＜x3＜x2C．x1＜x2＜x3 D．x3＜x2＜x1(2)(2012·皖南八校第三次联考)若函数f(x)＝loga(x＋b)的大致图象如图2－6－2，其中a，b为常数，则函数g(x)＝ax＋b的大致图象是()【解析】(1)在同一坐标系中画出三个函数的图象及直线y＝a(a＜0)，易知x1＞x3＞x2，故选A.(2)由对数函数递减得0＜a＜1，且f(0)＝logab∈(0，1)?0＜a＜b＜1，所以函数g(x)单调递减，且g(0)＝a0＋b＝1＋b∈(1，2)．【答案】(1)A(2)B【思路点拨】(1)利用真数大于0构建不等式，但要注意分类讨论，(2)先由条件求出a的值，再讨论奇偶性和单调性．由于f(x)为奇函数，所以f(x)在(－∞，－5)内单调递减．1．利用对数函数的性质比较对数值大小：(1)同底数(或能化为同底的)可利用函数单调性处理；(2)底数不同，真数相同的对数值的比较，可利用函数图象或比较其倒数大小来进行．(3)既不同底数，又不同真数的对数值的比较，先引入中间量(如－1，0，1等)，再利用对数函数性质进行比较．2．利用对数函数性质研究对数型函数性质，要注意三点，一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．(2013·中山模拟)已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a＞0，a≠1)，若f(x)＞1在区间[1，2]上恒成立，求实数a的取值范围．ab＝N?logaN＝b(a＞0，a≠1，N＞0)解决与对数有关的问题时：(1)务必先研究函数的定义域．(2)对数函数的单调性取决于底数a，应注意底数的取值范围．对数值的大小比较方法(1)化同底后利用函数的单调性．(2)作差或作商法．(3)利用中间量(0或1)．(4)化为同真数后利用图象比较．从近两年高考看，对数函数是考查的重点，题型多为选择题、填空题，重点考查对数函数的图象和性质的应用，中等难度．预计2014年高考仍将以对数函数的性质为主要考点，考查解决问题的能力，分类讨论和数形结合等数学思想．思想方法之四用数形结合思想求参数的取值范围【答案】B菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）x＝logaN01N0＜a＜1a＞1图象函数_________(a＞0且a≠1)叫做对数函数定义y＝logax在(0，＋∞)上为___________在(0，＋∞)上为_________当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，____．当0＜x＜1时，y＜0;当x＞1时，________.性质当x＝1时，y＝0，即过定点___________值域：_____________定义域：____________(0，＋∞)(－∞，＋∞)(1，0)y＞0y＜0增函数减函数y＝logaxy＝x菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）2．若函数y＝f(x)是函数y＝a(a＞0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)等于()B．2x－2xD．log2x
3．如果x＜y＜0，那么()＜x＜1．＜y＜1＜x＜y．＜y＜x【解析】∵y＝x是(0，＋∞)上的减函数，＞y＞1.【解析】函数f(x)的定义域为(－，＋∞)，令t＝2x＋1(t＞0)．因为y＝在t∈(0，＋∞)t＝2x＋1在(－，＋∞)上为增函数，所以函数y＝(2x＋1)的单调增区间为(－，＋∞)．【答案】(－，＋∞)(1)已知＝m，＝n，求a＋n；(2)计算；(3)计算(＋)·(log43＋)．(2)原式＝＝＝＝＝＝＝1.(3)原式＝(＋)·(＋)＝(＋)·(＋)＝＝
(1)(2013·宝鸡模拟)计算(－)÷100－＝________．(2)(2013·大连模拟)设2＝5＝m，且＋＝2，则m＝________．【解析】(1)原式＝()÷＝－20.(2)∵2a＝5＝m，＝，b＝＋＝＋＝＋＝＝2.＝10，∴m＝【答案】(1)－20(2)
(1)(2013·长沙质检)函数y＝ax＋bx与y＝|x(ab≠0，|a|≠|b|)在同一直角坐标系中的图象可能是()【思路点拨】(1)根据函数y＝ax＋bx与x轴的交点确定|的范围．(2)画出f(x)的图象，确定a，b，c的范围．【尝试解答】(1)令ax＋bx＝0得x＝0或x＝－对于A、B项，由抛物线知，0＜|＜1，此时，对数函数图象不合要求，故、B项不正确；对于项，由抛物线知|＞1，此时，对数函数图象不合要求，故不正确；对于项，由抛物线知0＜|＜1，此时对数函数的图象符合要求，故选已知函数f(x)＝.
(1)求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的定义域关于坐标原点对称，试讨论它的奇偶性和单调性．【尝试解答】(1)＞0[x－(3a－1)][x－(－2a－1)]＞0，所以，当3a－1≥－2a－1，即a≥0时，定义域为(－∞，－2a－1)∪(3a－1，＋∞)；当3a－1＜－2a－1，即a＜0时，定义域为(－∞，3a－1)∪(－2a－1，＋∞)．(2)函数f(x)的定义域关于坐标原点对称，当且仅当－2a－1＝－(3a－1＝2，此时，f(x)＝.
对于定义域D＝(－∞，－5)∪(5，＋∞)内任意x，－x∈D，(－x)＝＝＝－＝－f(x)，所以f(x)为奇函数；当x∈(5，＋∞)，对任意5＜x＜x，有f(x)－f(x)＝，而(x＋5)(x－5)－(x－5)(x＋5)＝10(x－x)＞0，所以f(x)－f(x)＞0，所以f(x)在(5，＋∞)内单调递减；【解】当a＞1时，f(x)＝(8－ax)在[1，2]上是减函数，由f(x)＞1恒成立，则f(x)＝(8－2a)＞1，解之得1＜a＜若0＜a＜1时，f(x)在x∈[1，2]上是增函数，由f(x)＞1恒成立，则f(x)min＝(8－a)＞1，且8－2a＞0，＞4，且a＜4，故不存在．综上可知，实数a的取值范围是(1，)．画对数函数的图象应抓住三个关键点：(a，1)，(1，0)，(，－1)．(2012·课标全国卷)当0
运算性质 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：(M·N)＝，＝，＝naM(n∈R).
logaM＋
logaM－
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