第七节函数的图象1．描点法作图通过列表、______、连线，三个步骤画出函数的图象．2．利用基本函数的图象作图(1)平移变换：①左右平移：y＝f(x±a)(a＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向___(＋)或向____(－)平移_______单位而得到．②上下平移：y＝f(x)±b(b＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向____(＋)或向____(－)平移_______单位而得到．(2)对称变换：①y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于_______对称．②y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于________对称．③y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于________对称．(3)伸缩变换：①y＝Af(x)(A＞0)的图象，可将y＝f(x)图象上所有点的纵坐标变为____________，________不变而得到．1．函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象有何不同？【提示】y＝|f(x)|的图象是将y＝f(x)的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，其余部分不变而得到的．而y＝f(|x|)的图象是将y＝f(x)，x≥0的部分作出，再利用偶函数的图象关于y轴的对称性，作出x＜0的图象而得到的．2．(1)函数y＝f(x)的图象关于原点对称与函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称一致吗？(2)若函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)(a＞0)对称，那么其图象如何变换才能使它变为奇函数？其解析式变为什么？【提示】(1)不一致，前者是函数自身的对称，后面是两个函数图象间的对称．(2)将y＝f(x)的图象向左平移a个单位，得y＝f(x＋a)为奇函数．【解析】函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(－x)＝－f(x)，因此函数f(x)是奇函数，故选C.【答案】C2．当0＜a＜1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象是()【答案】C3．(2012·安庆三模)函数f(x)＝loga|x|＋1(0＜a＜1)的图象大致为()4．函数y＝f(x)为偶函数，则函数y＝f(x＋1)的一条对称轴是________．【答案】x＝－15．(2013·西安模拟)若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________．【解析】在同一个坐标系中画出函数y＝|x|与y＝a－x的图象，如图所示：由图象知当a＞0时，方程|x|＝a－x只有一个解．【答案】(0，＋∞)【思路点拨】对于(1)，(2)，(4)可先去掉绝对值号化成分段函数，再分别画出函数的图象，也可通过图象变换画出函数图象．对于(3)可先化简解析式分离常数，再用图象变换画图．(2)将函数y＝log2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图1．“作图”的基本途径是：求出函数的定义域(旨在控制图象左、右的范围)→尽量求出值域(旨在控制图象上、下的范围)→变换(化简、平移、对称、伸缩等)出图象的形状→描点作图．2．画函数图象的一般方法有(1)直接法：当函数表达式是基本函数或函数图象是解析几何中熟悉的曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分)时，就可根据这些函数或曲线的特征直接作出．(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称变换得到，可利用图象变换作出．(3)先作出y＝log2x的图象，再将其图象向下平移一个单位，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得y＝|log2x－1|的图象，如图③.(2)(2013·潍坊模拟)已知y＝f(2x＋1)是偶函数，则函数y＝f(2x)的图象关于直线________对称．【审题视点】(1)利用特殊点和变化趋势判断．(2)根据图象平移求解或根据偶函数的定义求解．知式选图的方法(1)从函数的定义域，判断图象左右的位置；从函数的值域，判断图象上下的位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的极值点判断函数图象的拐点．利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项．【答案】C 已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.(1)求实数m的值；(2)作出函数f(x)的图象并判断其零点个数；(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间；(4)根据图象写出不等式f(x)＞0的解集；(5)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有三个不相等的实根}．【思路点拨】求解本题先由f(4)＝0，求得函数解析式，再根据解析式结构选择适当的方法作出函数的图象，进而应用图象求解(3)(4)(5)三个小题．由图象知f(x)有两个零点．(3)从图象上观察可知：f(x)的单调递减区间为[2，4]；(4)从图象上观察可知：不等式f(x)＞0的解集为：{x|0＜x＜4或x＞4}．(5)由图象可知若y＝f(x)与y＝m的图象有三个不同的交点，则0＜m＜4，∴集合M＝{m|0＜m＜4}．1．(1)有关方程解的个数问题常常转化为两个函数图象的公共点的个数问题；利用此法也可由解的个数求参数值．(2)有关不等式问题常常转化为两个函数图象的上、下关系问题．2．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图象与函数y＝|lgx|的图象的交点共有()A．10个 B．9个C．8个 D．1个【解析】根据f(x)的性质及f(x)在[－1，1]上的解析式可作图如下：可验证当x＝10时，y＝|lg10|＝1；0＜x＜10时，|lgx|＜1；x＞10时|lgx|＞1.结合图象知y＝f(x)与y＝|lgx|的图象交点共有10个．故选A.【答案】A数形结合的思想方法是学习函数内容的一条主线．1.(1)一个函数的图象关于原点对称与两个函数的图象关于原点对称不同，前者是自身对称，且为奇函数，后者是两个不同的函数图象对称．(2)一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称也不同，前者也是自身对称，且为偶函数，后者也是两个不同函数图象的对称关系．2．函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象不同，y＝|f(x)|的图象是保留y＝f(x)图象在x轴上方的部分，把x轴下方的翻折上去；y＝f(|x|)的图象是保留y轴右侧的部分，左侧部分和右侧部分关于y轴对称．考查函数图象形状和位置有以下三种途径．(1)图象变换：平移变换、伸缩变换、对称变换．(2)函数解析式的等价变换．(3)研究函数的性质．从近两年高考试题看，高考命题主要涉及图象的识辨与应用，函数图象的对称性，2012年全国有4省市考查函数图象的应用，题型以选择题为主，中等难度，考查识图、作图能力及数形结合的数学思想．函数图象涉及面广，形式灵活，常以新面孔出现，2014年高考复习应予以高度关注，解题时应注意作图规范，莫要忽视自变量的取值范围．易错辨析之四作图不规范导致用图解题错误作两函数的图象(如图)可知两函数图象有四个交点，由对称性知每两个对应点横坐标之和为2.故所有交点的横坐标之和等于4，选B.【答案】B(2)重视数形结合，注意图象的变化趋势，抓住极值点，特殊点的函数值等．【答案】D1．(2012·湖北高考)已知定义在区间[0，2]上的函数y＝f(x)的图象如图2－7－1所示，则y＝－f(2－x)的图象为()法二利用特殊点确定图象．当x＝0时，－f(2－x)＝－f(2)＝－1；当x＝1时，－f(2－x)＝－f(1)＝－1.观察各选项，可知应选B.【答案】B【答案】D菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）描点左右a个上下b个y轴x轴原点原来的A倍横坐标纵坐标【答案】A菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）②y＝f(ax)(a＞0)的图象，可将y＝f(x)图象上所有点的横坐标变为，不变原来的倍
1．(人教版教材习题改编)函数f(x)＝－x的图象关于()轴对称．直线y＝－x对称原点对称．直线y＝x对称【解析】y＝a－x＝()，由0＜a＜1知，＞1，故选【解析】∵y＝f(x)的对称轴为x＝0，又y＝f(x)＝f(x＋1)，＝f(x＋1)的一条对称轴为x＝－1.作出下列函数的图象：(1)y＝()|x|；(2)y＝|(x＋1)|；(3)y＝；(4)y＝x－2|x|－1.【尝试解答】(1)作出y＝()的图象，保留y＝()图象中x≥0的部分，加上y＝()的图象中x＞0部分关于y轴的对称部分，即得y＝()的图象，如图实线部分．(3)∵y＝2＋，故函数图象可由y＝图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位而得，如图．(4)∵y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象．得图象如图．(1)(2012·课标全国卷)已知函数f(x)＝，则y＝f(x)的图象大致为()【尝试解答】(1)当x＝1时，y＝，排除；当x＝0时，y不存在，排除；当x从负方向无限趋近0时，y趋向于－∞，排除，选(2)法一函数y＝f(2x＋1)的图象是由函数y＝f(2x)的x轴方向，向左平移个单位得到的，又y＝f(2x＋1)是偶函数，其图象关于y轴对称，所以函数y＝f(2x)的图象关于直线x＝对称．法二∵y＝f(2x＋1)是偶函数，(－2x＋1)＝f(2x＋1)，∴f(1－x)＝f(1＋x)．故函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，函数y＝f(2x)的图象关于直线x＝对称．【答案】(1)(2)x＝
【尝试解答】(1)∵f(4)＝0，∴4|m－4|＝0，即m＝4；(2)∵f(x)＝x|m－x|＝x|4－x|＝函数f(x)的图象如图：(2011·课标全国卷)函数y＝的图象与函数y＝(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于()．．．【错解】函数y＝与y＝(－2≤x≤4)的图象都关于点(1，0)成中心对称．错因分析：(1)错选的主要原因在于作出的图象不规范，事实上，y＝的图象，过y＝的最低点(，－2)，两函数在x＞1时，应有4个交点，不是2个交点．(2)掌握不住函数的性质，1，0)对称，盲目作答致错．另外，本题还易忽视自变量的范围导致作图错误．防范措施：(1)掌握基本初等函数的图象是正确求解的关键，并善于发掘隐含条件．【正解】两函数y＝与y＝(－2≤x≤4)的图象都关于点(1，0)对称，在同一坐标系内作出函数的图象，注意到当x＝与x＝时，两函数的图象相交，∴两函数图象有8个交点，根据对称性，知每两个对应点的横坐标之和为2，故所有交点的横坐标之和等于8，选【解析】法一由y＝(x)的图象写出(x)的解析式．由y＝(x)的图象知(x)＝当x∈[0，2]时，2－x∈[0，2]，所以f(2－x)＝故y＝－f2－x)＝图象应为2．(2012·山东高考)函数y＝的图象大致()【解析】∵y＝f(x)＝，(－x)＝＝－f(x)，(x)是奇函数，其图象关于原点对称，排除选项；当x从正方向趋近0时，y＝f(x)＝趋近＋∞，排除选项；当x趋近＋∞时，y＝f(x)＝趋近0，排除选项故选择选项1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．会运用函数的图象理解和研究函数的性质.
【解析】由f(x)＝＋1＝(0＜a＜1)，可得当x＞0时，函数f(x)为减函数，且函数图象关于y轴对称，则选项中仅与符合条件，又由f(±1)＝1，可得选项符合条件，故应选分别画出下列函数的图象：(1)y＝|；(2)y＝；(3)y＝|－1|.【解】(1)∵y＝|＝函数y＝|的图象，如图①；(2)∵y＝＝1－，可见原函数图象可由y＝－图象向左平移3个单位再向上平移1个单位而得，如图②.若本例中第(2)题，函数y＝f(2x＋1)是“偶函数”改为是“奇函数”，则函数y＝f(2x)的图象关于下列哪个点成中心对称()(1，0)．(－1，0)(，0)．(－，0)【解析】∵y＝f(2x＋1)是奇函数，(2x＋1)的图象关于原点(0，0)对称．又f(2x)的图象可由f(2x＋1)的图象向右平移个单位得到．∴y＝f(2x)的图象关于点(，0)成中心对称． |
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