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第二章第十节
2015-10-10 | 阅:  转:  |  分享 
  
第十节导数与导数的计算②几何意义:函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点_____________处的__________.(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地,切线方程为__________________________.2.基本初等函数的导数公式3.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′=_____________________;(2)[f(x)·g(x)]′=______________________;1.f′(x)与f′(x0)有何区别与联系?【提示】f′(x)是一个函数,f′(x0)是常数,f′(x0)是函数f′(x)在x0处的函数值.2.曲线y=f(x)在点P0(x0,y0)处的切线与过P0(x0,y0)的切线,两种说法有区别吗?【提示】有,前者P0一定为切点,而后者P0不一定为切点.【解析】由题意知,汽车的速度函数为v(t)=s′(t)=6t2-gt,则v′(t)=12t-g,故当t=2s时,汽车的加速度是v′(2)=12×2-10=14m/s2.【答案】A2.函数y=xcosx-sinx的导数为()A.xsinx B.-xsinxC.xcosx D.-xcosx【解析】f′(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx.【答案】B【解析】f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=lnx+1,由f′(x0)=2,即lnx0+1=2,解得x0=e.【答案】B4.(2013·青岛模拟)曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A.-9 B.-3C.9 D.15【解析】∵y=x3+11,∴y′=3x2,∴y′|x=1=3,∴曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线方程为y-12=3(x-1).令x=0,得y=9.【答案】C5.(2012·广东高考)曲线y=x3-x+3在点(1,3)处的切线方程为________.【解析】∵y′=3x2-1,∴y′|x=1=3×12-1=2.∴所求切线方程为y-3=2(x-1),即2x-y+1=0.【答案】2x-y+1=0【思路点拨】(1)(4)利用积商的导数运算法则求解,(2)(3)先化简,再求导.1.本题在解答过程易出现商的求导中,符号判定错误.2.求函数的导数的方法(1)连乘积的形式:先展开化为多项式的形式,再求导;(2)根式形式:先化为分数指数幂,再求导;(3)复杂分式:通过分子上凑分母,化为简单分式的和、差,再求导.(4)不能直接求导的:适当恒等变形,转化为能求导的形式再求导. 已知曲线C1:y=x2与C2:y=-(x-2)2,直线l与C1,C2都相切,求直线l的方程.【思路点拨】从直线l与C1,C2都相切入手,分别求直线l的方程,通过比较系数求解.若函数f(x)=excosx,则此函数图象在点(1,f(1))处的切线的倾斜角为()A.0B.锐角C.直角D.钝角1.切点(2,f(2))既在切线上,又在曲线f(x)上,从而得到关于a,b的方程组.2.当曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时,切线方程为x=x0;当切点坐标不知道时,应首先设出切点坐标,再求解.【解】(1)∵l是f(x)=lnx在点(1,0)处的切线,∴其斜率k=f′(1)=1,因此直线l的方程为y=x-1.(2)又l与g(x)相切于点(1,0),∴g′(1)=1,且g(1)=0.曲线y=f(x)“在”点P(x0,y0)处的切线与“过”点P(x0,y0)的切线的区别:(1)“在”曲线上一点处的切线问题,先对函数求导,代入点的横坐标得到斜率.(2)“过”曲线上一点的切线问题,此时该点未必是切点,故应先设切点,求切点坐标.1.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆.2.要正确理解直线与曲线相切和直线与曲线只有一个交点的区别.从近两年的高考试题来看,求导公式和运算法则,以及导数的几何意义是高考的热点,题型既有选择题、填空题,又可做为解答题的一问,难度中、低档为主,除了考查导数运算,几何意义,还常与函数相关知识渗透交汇命题.易错辨析之五求导时忽视函数定义域致误 (2011·江西高考)若f(x)=x2-2x-4lnx,则f′(x)>0的解集为()A.(0,+∞)B.(-1,0)∪(2,+∞)C.(2,+∞) D.(-1,0)【答案】B2.(2012·课标全国卷)曲线y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为________.【答案】y=4x-3【答案】D菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学(安徽专用)菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·理科数学(浙江专用)(x0,f(x0))切线斜率y-f(x0)=f′(x0)(x-x0)f′(x)=________(a>0)f(x)=axf′(x)=__________f(x)=cosxf′(x)=__________f(x)=sinxf′(x)=_________f(x)=xn(n∈Q)导函数原函数n·xn-1cosx-sinxaxlnaf′(x)=____________f(x)=lnxf′(x)=___________f(x)=logaxf′(x)=_______f(x)=exexf′(x)±g′(x)f′(x)g(x)+f(x)g′(x)【答案】D【思路点拨】菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学(安徽专用)(2)函数f(x)的导函数:称函数f′(x)=为f(x)的导函数.



(3)[]′=(g(x)≠0).

3.已知f(x)=x,若f′(x0)=2,则x0等于()

A.e2 B.e

C. D.ln2

求下列函数的导数:(1)y=;(2)y=x(x++);(3)y=x-cos;(4)y=【尝试解答】设l与C相切于点P(x1,x),与C相切于Q(x,-(x-2)).对于C:y′=2x,则与C相切于点P的切线方程为y-x=2x(x-x),即y=2x-x,对于C:y′=-2(x-2),则与C相切Q的切线方程为+(x-2)=-2(x-2)(x-x),即y=-2(x-2)x+x-4.∵两切线重合,=-2(x-2),且-x=x-4.解得x=0,x=2或x=2,x=0.直线l方程为y=0或y=4x-4.

设函数f(x)=ax+(a,b∈Z),y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=3.(1)求y=f(x)的解析式;(2)证明曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值,并求出此定值.【尝试解答】(1)f′(x)=a-,∵a,b∈Z,故f(x)=x+(2)在曲线上任取一点(x,x+).由f′(x)=1-知,过此点的切线方程为-=[1-](x-x).令x=1,y=,切线与直线x=1的交点为(1,).令y=x,得y=2x-1,切线与直线y=x的交点为(2x-1,2x-1).直线x=1与直线y=x的交点为(1,1).从而所围三角形的面积为-1|·|2x-1-1|=||2x0-2|=2.所围三角形的面积为定值2.

(2013·惠州质检)已知f(x)=,g(x)=++mx+n,直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切于点(1,0).(1)求直线l的方程;(2)求函数g(x)的解析式.所以函数g(x)=+-x+【错解】∵f′(x)=2x-2-=,由f′(x)>0,可得>0,解得x>2或-1<x<0,故选错因分析:(1)忽视函数的定义域(0,+∞).(2)记错导数公式()′=,导防范措施:(1)树立函数定义域优先意识.(2)熟练掌握导数的计算公式与运算法则.【正解】函数f(x)的定义域为(0,+∞),(x)=2x-2-=,由f′(x)>0,可得x-x-2>0,∴x>2.【答案】1.(2013·咸阳模函数y=(x>0)的图象与直线y=+a相切,则a等于()+1-1【解析】设切点为(x,y),∵y′=,∴y′|=x==,=2,y=,又点(2,)在直线y=+a上,=+a,∴a=-1.【解析】∵y=x(3+1),∴y′=3+1+x·=3+4,∴k=y′|=1=4,所求切线y-1=4(x-1),即y=4x-3.1.(人教版教材习题改编)某汽车的路程函数是s(t)=2t-(g=10),则当t=2时,汽车的加速度是()-4【尝试解答】(1)y′=()′sinx+(sinx)′=+(2)∵y=x+1+,=3x-(3)∵y=x-=1-(4)y′===

求下1)y=(1+)(1+);(2)y=3x-+【解】(1)∵y=(1+)(1+)=2+x-+x,=--+-(2)y′=(3)′ex+3(ex)′-=3x+3-=3(3e)-

【解析】由已知得:f′(x)=-=(cosx-).∴f′(1)=(cos1-).>1>.而由正余弦函数性质可得(1)<0,即f(x)在(1,f(1))处的切线的斜率k<0.

∴切线倾斜角是钝角.
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(本文系云师堂首藏)