第十一节导数在研究函数中的应用1．函数的导数与单调性的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则(1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内___________；(2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内___________；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是__________．2．函数的极值与导数(1)函数的极小值与极小值点若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值__________，且f′(a)＝0，而且在x＝a附近的左侧__________，右侧____________，则a点叫函数的极小值点，f(a)叫函数的极小值．(2)函数的极大值与极大值点：若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值_________，且f′(b)＝0，而且在x＝b附近的左侧____________，右侧____________，则b点叫函数的极大值点，f(b)叫函数的极大值，极大值和极小值统称为极值．3．函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条_________的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的________．②将函数y＝f(x)的各极值与_______________________比较，其中_______的一个是最大值，______的一个是最小值．1．f′(x)＞0是f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件吗？【提示】函数f(x)在(a，b)内单调递增，则f′(x)≥0，f′(x)＞0是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件．2．导数值为0的点一定是函数的极值点吗？它是可导函数在该点取得极值的什么条件？【提示】不一定．如函数f(x)＝x3，在x＝0处，有f′(0)＝0，但x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点，对于可导函数，若x＝x0为其极值点，则需满足以下两个条件：①f′(x0)＝0，②x＝x0两侧的导数f′(x)的符号异号．因此f′(x0)＝0是函数y＝f(x)在点x＝x0取得极值的必要不充分条件．2．若函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a等于()A．2 B．3 C．4 D．5【解析】f′(x)＝3x2＋2ax＋3，由题意知f′(－3)＝0，即3×(－3)2＋2×(－3)a＋3＝0，解得a＝5.【答案】D3．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图2－11－1所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点()A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】导函数f′(x)的图象与x轴的交点中，左侧图象在x轴下方，右侧图象在x轴上方的只有一个，故选A.【答案】A5．(2012·陕西高考)设函数f(x)＝xex，则()A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点【解析】∵f(x)＝xex，∴f′(x)＝ex＋xex＝ex(1＋x)．∴当f′(x)≥0时，即ex(1＋x)≥0，即x≥－1，∴x≥－1时函数y＝f(x)为增函数．同理可求，x<－1时函数f(x)为减函数．∴x＝－1时，函数f(x)取得极小值．【答案】D (2012·课标全国卷)设函数f(x)＝ex－ax－2.(1)求f(x)的单调区间；(2)若a＝1，k为整数，且当x>0时，(x－k)f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值．【思路点拨】(1)分a≤0和a＞0两种情况解不等式f′(x)＞0与f′(x)＜0.(2)分离参数k，转化为恒成立问题求解．【尝试解答】(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a.若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．若a>0，则当x∈(－∞，lna)时，f′(x)<0；当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)>0.所以，f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增．由(1)知，函数h(x)＝ex－x－2在(0，＋∞)上单调递增．而h(1)<0，h(2)>0，所以h(x)在(0，＋∞)上存在唯一的零点，故g′(x)在(0，＋∞)上存在唯一的零点．设此零点为α，则α∈(1，2)．当x∈(0，α)时，g′(x)<0；当x∈(α，＋∞)时，g′(x)>0.所以g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g(α)．又由g′(α)＝0，可得eα＝α＋2，所以g(α)＝α＋1∈(2，3)．由于①式等价于k0)，g(x)＝x3＋bx.(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a＝3，b＝－9时，若函数f(x)＋g(x)在区间[k，2]上的最大值为28，求k的取值范围．【审题视点】(1)求出两条切线方程比较系数求解．(2)求出函数f(x)＋g(x)在(－∞，2]上的变化情况，再确定k的范围．依题意知3＋b＝2a，且a－1＝2，即a＝3，b＝3.(2)记h(x)＝f(x)＋g(x)．当a＝3，b＝－9时，h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，h′(x)＝3x2＋6x－9.令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1.h(x)与h′(x)在(－∞，2]上的变化情况如下：1．本题(2)中函数解析式确定，但区间不定，因此可先求出函数取得极值与最值的情况，再确定符合要求的k值．2．求函数f(x)在[a，b]上的最值的步骤如下：(1)求f(x)在(a，b)内的极值；(2)将f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的是一个最小值．(2013·郑州模拟)已知函数f(x)＝(x－k)ex，(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0，1]上的最小值．【解】(1)由f(x)＝(x－k)ex，得f′(x)＝(x－k＋1)ex，令f′(x)＝0，得x＝k－1.f(x)与f′(x)的变化情况如下：所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0，1]上单调递增，所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(0)＝－k，当0＜k－1＜1，即1＜k＜2时，由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1，1]上单调递增．所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1.当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0，1]上单调递减，所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.综上可知，当k≤1时，f(x)min＝－k；当1＜k＜2时，f(x)min＝f(k－1)＝－ek－1；当k≥2时，f(x)min＝f(1)＝(1－k)e.函数最值是个“整体”概念，而函数极值是个“局部”概念．1.f′(x)＞0在(a，b)上成立，是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件．2．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．1.求单调区间时应先求函数的定义域，遵循定义域优先的原则；2．f′(x0)＝0时，x0不一定是极值点；3．求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时应分类讨论．从近两年高考试题看，导数的应用是考查的热点，重点是利用导数研究函数的单调性，求极(最)值，题型全面，小题主要考查利用导数求函数的单调区间和极值，大题考查导数与函数单调性、极值与最值的关系，多与方程、一元二次不等式等知识交汇，体现转化思想、分类讨论思想的应用，同时应注意与导数有关的创新题．创新探究之二导数在比较大小中的创新应用 (2012·浙江高考)设a>0，b>0，e是自然对数的底数()A．若ea＋2a＝eb＋3b，则a>bB．若ea＋2a＝eb＋3b，则abD．若ea－2a＝eb－3b，则a0都大f′(x)>0f′(x)<0连续不断极值端点处的函数值f(a)、f(b)最大最小【答案】B菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）1．(人教版教材习题改编)当x＞0时，f(x)＝x＋的单调减区间是()(2，＋∞)．(0，2)(，＋∞)．(0，)【解析】f′(x)＝1－，令f′(x)＜0，∴0＜x＜2，(x)的减区间为(0，2)．4．函数f(x)＝－的最小值()B．1C．不存在．【解析】f′(x)＝x－＝，且x＞0，令f′(x)＞0，得x＞1f′(x)＜0，得0＜x＜1.(x)在x＝1时取最小值f(1)＝－＝【答案】(2)由于a＝1，所以(x－k)f′(x)＋x＋1＝(x－k)(－1)＋x＋1.故当x>0时，(x－k)f′(x)＋x＋1>0等价于＋x(x>0)．①
令g(x)＝＋x，则g′(x)＝＋1＝已知函数f(x)＝x＋＋(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，求a的取值范围．【解】(1)函数f(x)＝x＋＋的定义域为(0f′(x)＝1－＋＝当Δ＝1＋4a≤0，即a≤－时，得x＋x－a≥0，则(x)≥0.
∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，②当Δ＝1＋4a＞0，即a＞－时，令f′(x)＝0，得x＋x－a＝0，解得x＝＜0，x＝(ⅰ)若－＜a≤0，则x＝x∈(0，＋∞)，∴f′(x)＞0，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．(ⅱ)若a＞0，则x∈(0，)时，f′(x)＜0；x∈(，＋∞)时，f′(x)＞0，函数f(x)在区间(0，)上单调递减，在区间(，＋∞)上单调递增．综上所述，当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；当a＞0时，函数f(x)的单调递减区间为(0，)，单调递增区间为(，＋∞)．(2)由题意知，f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，即x＋x－a≥0在(1，＋∞)上恒成立，令g(x)＝x＋x－a＝(x＋)－－a，则gx)＞2－a，从而2－a≥0，∴a≤2.当a＝2时，f′(x)＞0在(1，＋∞)上恒成立，因此实数a的取值范围是(－∞，2].
(2013·合肥模拟)设f(x)＝，其中a为正实数．(1)当a＝时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．【思路点拨】(1)当a＝时，求f′(x)＝0的根，然后利用极值与导数的关系判定；(2)转化为判定f′(x)不变号满足的不等式，求a的范围．【尝试解答】由f(x)＝，得f′(x)＝x· ①
(1)当a＝时，f′(x)＝＝，令f′(x)＝0，即(4x2－8x＋3)＝0，恒大于0，4x2－8x＋3＝0，＝或x＝所以，x＝是极小值点，x＝是极大值点．(2)∵f′(x)＝－3x＋2ax＝x(－3x＋2a)，＜0，当x∈(－∞，]时，f′(x)≤0，(x)递减．(a，0)时，f′(x)＞0，f(x)递增．[0，＋∞)时，f′(x)≤0，f(x)递减．?
∴f(x)＝－x－3x＋1.
1．(2012·辽宁高考)函数y＝－的单调递减区间为()(－1，1]．(0，1][1，＋∞)．(0，＋∞)【解析】由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由y′＝x－，解得00)．(1)求f(x)在[0，＋∞)内的最小值；(2)设曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝，求a，b的值．【解】(1)法一由题设和均值不等式可知，f(x)＝ax＋＋b≥2＋b，其中等号成立当且仅当ax＝1，即当x＝时，f(x)取最小值为2＋b.法二f(x)的导数f′(x)＝a－＝，当x>时，f′(x)>0，f(x)在(，＋∞)上递增；当0
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