第三节用样本估计总体1．作频率分布直方图的步骤(1)求极差(即一组数据中_________与_________的差)．(2)决定________与_______．(3)将数据_________．(4)列_______________．(5)画___________________．2．频率分布折线图和总体密度曲线(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的________，就得到频率分布折线图．(2)总体密度曲线：随着_____________的增加，作图时________________增加，_________减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．3．茎叶图统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数．4．标准差和方差(1)标准差是样本数据到平均数的一种___________．(2)标准差：s＝________________________________________．(3)方差：s2＝__________________________________(xn是样本数据，n是样本容量，是样本平均数)．1．在一组数据中，众数，中位数，平均数分别指什么？2．如何利用频率分布直方图估计样本的中位数与众数？【提示】(1)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值．(2)众数：在频率分布直方图中，众数是最高的矩形的中点的横坐标．1．(人教A版教材习题改编)若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图9－3－1所示，则这组数据的中位数和平均数分别是()A．91.5和91.5B．91.5和92C．91和91.5 D．92和92【答案】A【答案】B3．(2012·山东高考)在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是()A．众数 B．平均数C．中位数 D．标准差【解析】对样本中每个数据都加上一个非零常数时不改变样本的方差和标准差，众数、中位数、平均数都发生改变．【答案】D4．某雷达测速区规定：凡车速大于或等于70km/h的汽车视为“超速”，并将受到处罚，如图9－3－2是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可以看出被处罚的汽车大约有()A．30辆 B．40辆C．60辆 D．80辆【解析】由题图可知，车速大于或等于70km/h的汽车的频率为0.02×10＝0.2，则将被处罚的汽车大约有200×0.2＝40(辆)．【答案】B(2012·广东高考)某班100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图9－3－4所示，其中成绩分组区间是：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]．(1)求图中a的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在[50，90)之外的人数.【思路点拨】(1)根据各小长方形的面积和为1，求a；(2)借助频率分布直方图的中点估计平均分．(3)先求语文成绩在各段的人数，进而求数学成绩在[50，90)之外的人数．【尝试解答】(1)由频率分布直方图知(0.04＋0.03＋0.02＋2a)×10＝1，因此a＝0.005.(2)55×0.05＋65×0.4＋75×0.3＋85×0.2＋95×0.05＝73.所以平均分为73分．(3)分别求出语文成绩分数段在[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)的人数依次为0.05×100＝5，0.4×100＝40，0.3×100＝30，0.2×100＝20.所以数学成绩分数段在[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)的人数依次为5，20，40，25.所以数学成绩在[50，90)之外的人数有100－(5＋20＋40＋25)＝10(人)．某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图9－3－5)．根据频率分布直方图推测，这3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是________．【解析】由样本频率分布直方图知，数学考试中成绩小于60分的频率为(0.002＋0.006＋0.012)×10＝0.2，∴估计总体中成绩小于60分的概率约为0.2，故所求成绩小于60分的学生数约为3000×0.2＝600人．【答案】600某班甲、乙两学生的高考备考成绩如下：甲：512554528549536556534541522538乙：515558521543532559536548527531(1)用茎叶图表示两学生的成绩；(2)分别求两学生成绩的中位数和平均分．【思路点拨】解答本题可以百位，十位数字为茎，个位数字为叶作茎叶图，再利用茎叶图求中位数及平均分．【尝试解答】(1)两学生成绩的茎叶图如图所示：1．(1)作样本的茎叶图时先要根据数据特点确定茎、叶，再作茎叶图．(2)作样本的茎叶图一般对称作图，数据排列由内向外，从小到大排列，便于数据的处理．2．由于茎叶图完全反映了所有的原始数据，解决由茎叶图给出的统计图表试题时，就要充分使用这个图表提供的数据进行相关的计算或者是对某些问题作出判断，这类试题往往伴随着对数据组的平均值或者是方差的计算等．(2012·陕西高考)从甲、乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图9－3－6所示)．设甲、乙两组数据的平均数分别为甲、乙，中位数分别为m甲、m乙，则()A．甲<乙，m甲>m乙B．甲<乙，m甲乙，m甲>m乙D．甲>乙，m甲
【提示】众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫中位数．平均数：＝(x＋x＋…＋x)．【解析】这组数据由小到大排列为87，89，90，91，92，93，94，96.中位数是＝91.5.平均数＝＝91.5.2．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：11.5，15.5)2[15.5，19.5)4[19.5，23.5)9[23.5，27.5)18[27.5，31.5)11[31.5，35.5)12[35.5，39.5)7[39.5，43.5)3根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5，43.5)的概率约是()
【解析】由已知，样本66，而落在[31.5，43.5)内的样本数为12＋7＋3＝22，故所求概率为＝5．(2012·湖南高考)如图9－3－3所示是某学校一名篮球运动员在________．(注：方差s＝[(x－)2＋(x－)2＋…＋(x－)2]，其中为x，x，…，x的平均数)【解析】依题意知，运动员在5次比赛中的分数依次为8，9，10，13，15，其平均数为＝11.由方差公式得s＝[(8－11)＋(9－11)＋(10－11)＋(13－11)＋(15－11)]＝(9＋4＋1＋4＋16)＝6.8.(2)将甲、乙两学生的成绩从小到大排列为：甲：512522528534536538541549554556乙：515521527531532536543548558559从以上排列可知甲学生成绩的中位数为＝537.乙学生成绩的中位数为＝534.甲学生成绩的平均数为＋＝537，乙学生成绩的平均数为＋＝537.
【解析】由茎叶图知m甲＝＝20，m乙＝＝29.甲＜m乙．甲＝(41＋43＋30＋30＋38＋22＋25＋27＋10＋10＋14＋18＋18＋5＋6＋8)＝，乙＝(42＋43＋48＋31＋32＋34＋34＋38＋20＋22＋23＋23＋27＋10＋12＋18)＝甲乙．甲＝＝13，乙＝＝13，＝[(10－13)＋(13－13)＋(12－13)＋(14－13)＋(16－13)]＝4，＝[(13－13)＋(14－13)＋(12－13)＋(12－13)14－13)]＝0.8.(2)由s＞s可知乙的成绩较稳定．从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高．
【解析】由条形统计图知：甲射靶5次的成绩分别为：4，5，6，7，8；乙射靶5次的成绩分别为：5，5，5，6，9，所以甲＝＝6；乙＝＝6.甲＝乙．故不正确．
甲的成绩的中位数为6，乙的成绩的中位数为5，故不正确．＝[(4－6)＋(5－6)＋(6－6)＋(7－6)＋(8－6)]＝＝2，＝[(5－6)＋(5－6)＋(5－6)＋(6－6)＋(9－6)]＝＝，因为2<，所以s.
故正确．甲的成绩的极差为：8－4＝4，乙的成绩的极差为：9－5＝4，故不正确．故选【规范解答】(1)当X＝8时，由茎叶图可知，乙组同学植树棵数是8，8，9，10.2分平均数＝＝；方差s＝[(8－)＋(8－)＋(9－)＋(10－)]＝6分(2)记甲组四名同学为A，A，A，A，他们植树的棵数依次为9，9，11，11；乙组四名同学为B，B，B，B，他们植树的棵数依次为9，8，9，10.分别从甲16个，它们是：(A1，B)，(A，B)，(A，B)，(A，B)，(A2，B)，(A，B)，(A，B)，(A，B)，(A3，B)，(A，B)，(A，B)，(A，B)，(A4，B)，(A，B)，(A，B)，(A，B10分记“选出的两名同学的植树总棵数为19”为事件C，事件C的结果有(A1，B)，(A，B)，(A，B)，(A，B)共4个基本事件．(C)＝＝12分【解析】假设这组数据按从小到大的顺序排列为x，x，x，x，则
又s＝＝
＝＝1，(x1－2)＋(x－2)＝2.同理可求得(x－2)＋(x－2)＝2.(1)分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；(2)已知用B配方生产的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为y
估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润．【解】(1)由试验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为＝0.3，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为＝0.42.所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42.(2)由条件知，用B配方生产的一件产品的利润大于0，当且仅当其质量指标值，由试验结果知，质量指标值t≥94的频率为0.96.所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96.用B配方生产的产品平均一件的利润为×[4×(－2)＋54×2＋42×4]＝2.68(元)． |
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