第六节直接证明与间接证明1．直接证明2.间接证明反证法：假设原命题___________(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出_______．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．1．综合法和分析法的区别和联系是什么？【提示】综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件．分析法的特点：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”．其逐步推理实际上是寻求它的充分条件．在解决问题时，经常把综合法和分析法结合起来使用．2．反证法的关键是推出矛盾，所谓矛盾主要是指什么？【提示】反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．1．(人教A版教材习题改编)用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设()A．三个内角都不大于60°B．三个内角都大于60°C．三个内角至多有一个大于60°D．三个内角至多有两个大于60°【答案】B【答案】C【答案】D【答案】－b5．定义一种运算“”：对于自然数n满足以下运算性质：①11＝1，②(n＋1)1＝n1＋1，则n1＝________．【解析】由(n＋1)1＝n1＋1，得n1＝(n－1)1＋1＝(n－2)1＋2＝…＝11＋(n－1)＝1＋n－1＝n.【答案】n 定义在x∈[0，1]上的函数f(x)．若x1≥0，x2≥0且x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数．g(x)＝2x－1(x∈[0，1])是否为理想函数，如果是，请予证明；如果不是，请说明理由．【思路点拨】根据理想函数的定义加以判定证明．【尝试解答】g(x)＝2x－1(x∈[0，1])是理想函数．当x1≥0，x2≥0，且x1＋x2≤1时，f(x1＋x2)＝2x1＋x2－1，f(x1)＋f(x2)＝2x1＋2x2－2，∴f(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝2x1＋x2－2x1－2x2＋1＝2x1(2x2－1)－(2x2－1)＝(2x2－1)(2x1－1)，∵x1≥0，x2≥0，∴2x1－1≥0，2x2－1≥0，∴f(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]≥0，则f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)．故函数g(x)＝2x－1(x∈[0，1])是理想函数．1．综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证结论的真实性．2．综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理．(2012·湖南高考改编)已知函数f(x)＝rx－xr＋(1－r)，其中x＞0，r为有理数．(1)若0＜r＜1，求函数f(x)的最小值．(2)试用(1)的结论证明命题：设a1＞0，a2＞0，b1，b2为正有理数，若b1＋b2＝1，则a1b1·a2b2≤a1b1＋a2b2.【解】(1)f′(x)＝r－rxr－1＝r(1－xr－1)，令f′(x)＝0，得x＝1，【思路点拨】从条件难以向结论转化．转换角度从结论出发，寻找使结论成立的充分条件．1．对于无理不等式，常用分析法证明．通过反推，逐步寻找结论成立的充分条件，正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．2．对于较复杂的不等式，通常用分析法探索证明途径，然后用综合法加以证明，分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，优点是利于思考，因为它的方向明确，思路自然，而综合法的优点是易于表述，条理清晰，形式简洁．【证明】∵m＞0，∴1＋m＞0，所以要证原不等式成立，只需证明，(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)，即证m(a2－2ab＋b2)≥0，即证(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0显然成立，故原不等式得证. (2011·安徽高考)设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0.(1)证明：l1与l2相交；(2)证明：l1与l2的交点在椭圆2x2＋y2＝1上．【思路点拨】第(1)问采用反证法；(2)求直线l1与l2的交点坐标，代入椭圆方程验证．1．当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，直用反证法来证，反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等．2．用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须否定结论；(2)必须从否定结论进行推理；(3)推导出的矛盾必须是明显的．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列．综合法与分析法的关系：分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件的关系，找到解题思路，再运用综合法证明；或两种方法交叉使用．1.用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论．2．利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．反证法证明的关键：(1)准确反设；(2)从否定的结论正确推理；(3)得出矛盾．从近两年高考试题看，综合法、分析法是高考考查的热点，主要考查考生的观察、抽象概括、联想等思维能力，同时也考查考生运用综合——分析法分析问题、解决问题的能力．多在知识的交汇处命题，如数列、立体几何中的平行垂直、不等式、函数、解析几何等都可能考查．在具体求解时，应注意运用转化与化归思想寻求解题思路．【解析】①中，a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝1，a，b为正实数，若a－b≥1，则必有a＋b>1，不合题意，故①正确．【答案】①④易错提示：(1)解题时不注意分析题目中条件与结论的差异之处，不能化异为同，从而导致无从下手或无的放矢．(2)忽视命题真假不定，而一味地证明其为真，导致事倍功半，甚至出现错误．防范措施：(1)注意培养观察能力，即观察条件、结论，且能从数学的角度揭示其差异，如“高次?低次”、“分式(根式)?整式”、“多元?一元”等，从而为我们的化归转化指明方向，奠定基础．(2)注意这类判断命题真假的题目，其解法上既要规范，又要灵活．当判断为真时，需严格地推理证明；而判断为假时，只需举一反例即可．1．(2012·江西高考改编)下列命题中，假命题为()A．存在四边相等的四边形不是正方形B．z1，z2∈C，z1＋z2为实数的充分必要条件是z1，z2互为共轭复数C．若x，y∈R，且x＋y>2，则x，y至少有一个大于1D．对于任意n∈N，C＋C＋…＋C都是偶数【解析】选项B中，若z1＋z2为实数，则保证z1，z2虚部互为相反数即可，并不需要z1，z2互为共轭复数，如z1＝1－i，z2＝2＋i.故B不对．【答案】B菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）从要_____________出发，逐步寻求使它成立的____________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的___________，最后推导出所要证明的结论_______定义分析法综合法内容推理论证成立证明的结论充分条件不成立矛盾菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）实质 由因导果 执果索因 框图表示 →…→ →→…→
2．若a＜b＜0，则下列不等式中成立的是()＜＋＞b＋＋＞a＋＜
【解析】∵a＜b＜0，∴＞，又b＞a，∴b＋＞a＋3．(2013·潍坊模拟)设a，b，c都是正数，则a＋，b＋，c＋三个数()都大于2．都小于2至少有一个不大于2．至少有一个不小于2【解析】∵(a＋)＋(b＋)＋(c＋)＝(a＋)＋(b＋)＋(c＋)≥6，当且仅当a＝b＝c时取等号，三个数中至少有一个不小于2.4．(2013·青岛模拟)已知函数f(x)＝，若f(a)＝b，则f(－a)＝________(用b表示)．【解析】∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，(x)为奇函数，(－a)＝－f(a)＝－b.当0＜x＜1时，f′(x)＜0；当x＞1时，f′(x)＞0，(x)在x＝1f(1)＝0.(2)证明由(1)知，当x＞0时，f(x)≥f(1)＝0，即x＋(1－r)．()由b＋b＝1，且b，b为正有理数，∴b＝1－b，于是在()中，令x＝＞0，r＝b(0，1)．()b1≤b1·＋(1－b)，则ab1·a21－b＋a(1－b)，故a＋a成立.
已知a＞0，－＞1，求证：＞【尝试解答】由已知－及a>0可知01，只需证1＋a－b－ab>1，只需证a－b－ab>0即，即－这是已知条件，所以原不等式得证．
(2013·南通模拟)已知m＞0，a，b∈R，求证().
【尝试解答】(1)假设l与l不相交，则l与l平行或重合，有k＝k，代入k＋2＝0，得k＋2＝0.这与k为实数的事实相矛盾．从而k，即l与l相交．(2)由方程组解得交点P的坐标(x，y)为从而2x＋y＝2()＋()＝＝＝1，此即表明交点P(x，y)在椭圆2x＋y＝1上．
【解】(1)当n＝1时，a＋S＝2a＝2，则a＝1.又a＋S＝2，所以a＋1＋S＋1＝2，两式相减得a＋1＝，所以{a是首项为1，公比为的等比数列，所以a＝(2)反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为a＋1，a＋1，a＋1(p＜q＜r，且p，q，r∈N)，则2·＝＋，所以2·2－q＝2－p＋1.①
又因为p＜q＜r，所以r－q，r－p∈N所以①式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立．所以假设不成立，原命题得证．思想方法之十二转化与化归思想在解题中的应用(2012·四川高考)设a，b为正实数．现有下列命题：若a－b＝1，则a－b<1；②若－＝1，则a－b<1；③若|－＝1，则|a－b|<1；④若|a－b＝1，则－b|其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号)②中，－＝＝1，只需a－b＝ab即可．如取a＝2，b＝满足上式，但a－b＝，故②错．中，a，b为正实数，所以＋－＝1，且－b|＝|(＋)(－)|＝|＋故③错．中，|a－b＝|(a－b)(a2＋ab＋b)|＝|a－b|(a＋ab＋b)＝1.若|a－b|≥1，不妨取a>b>1，则必有a＋ab＋b，不合题意，故④正确．2．(2013·青岛模拟)设数列{a满足a＝0，且－＝1.(1)数列{a的通项公式；(2)设b＝，记S是数列{b的前n项和，证明S＜1.【解】(1)由－＝1，知数列{是公差为1的等差数列．又＝1，＝1＋(n－1)×1＝n，故a＝1－(2)证明由(1)知，b＝＝＝－＝b＋b＋…＋b＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＜1，故S＜1. |
|
