第四节基本不等式1．当利用基本不等式求最大(小)值时，若等号取不到，如何处理？【提示】当等号取不到时，利用函数的单调性求解．【答案】B【答案】B【答案】C【答案】31．第(1)题凑配系数，使和为定值．第(2)小题求解的关键是条件的恰当变形与“1”的代换；本题的常见错误是条件与结论分别利用基本不等式，导致错选A，根本原因忽视等号成立条件．2．利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”．常用的方法为拆、凑、代换、平方．1．“1”的代换是解决问题的关键，代换变形后能使用基本不等式是代换的前提，不能盲目变形．2．利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式必须是有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，达到放缩的效果，必要时，也需要运用“拆、拼、凑”的技巧，同时应注意多次运用基本不等式时等号能否取到． 某单位建造一间地面积为12m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5m．房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3m，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？【思路点拨】用长度x表示出造价，利用基本不等式求最值即可．还应注意定义域0＜x≤5；函数取最小值时的x是否在定义域内，若不在定义域内，不能用基本不等式求最值，可以考虑单调性．解实际应用题要注意以下几点：(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值；(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．1.利用基本不等式求最值，切莫忽视不等式成立的三个条件：“一正——各项均为正数；二定——积或和为定值；三相等——等号能够取得”．2．连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．1.公式的逆用、变形使用．2．在运用重要不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足重要不等式中“正”“定”“等”的条件．从近两年的高考试题来看，利用基本不等式求最值，是高考命题的热点，题型多样，难度为中低档．题目突出“小而巧”，主要考查基本运算与转化化归思想．而且命题情境不断创新，注重与函数、充分必要条件、实际应用等交汇．【答案】B创新点拨：(1)以直线与曲线y＝|log2x|的交点为载体考查基本不等式求最值．(2)突出数学运算能力与转化化归思想方法的考查．应对措施：(1)深刻理解题目自身的含义，准确表达a、b，可画出草图，借助几何直观求解．(2)熟记指数、对数的运算法则，指数函数的性质；理解基本不等式求最值的条件，善于凑配、添加项、满足“正、定、等”条件．∴v>a.【答案】A菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）算术平均数几何平均数【答案】80菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）1．基本不等式
(1)基本不等式成立的条件：．(2)等号成立的条件：当且仅当时等号成立．(3)其中称为正数a，b的，称为a，b的．a＞0，b＞0
a＝b
2．利用基本不等式求最大、最小值问题(1)如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)．那么当时，x＋y有最小值2(简记：“积定和最小”)(2)如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)．那么当x＝y时，xy有最大值(简记：“和定积最大”)3．常用不等式(1)a2＋b(a，b∈R)．(2)ab≤()2(a，b∈R)．(3)()2≤(a，b∈R)．(4)＋(a，b同号)．x＝y
2ab
1．(人教版教材习题改编)设0＜x＜1，则x(3－3x)取得最大值时，x的值为()
【解析】∵0＜x＜1，(3－3x)≤3·()＝，当且仅当x＝1－x，即x＝时等号成立．
2．设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是()＜b＜＜＜＜＜b＜＜b＜＜a＜＜b【解析】∵0＜a＜b，∴a＜＜b，、C错误；－a＝(－)＞0，即＞a，故选3．(2012·福建高考)下列不等式一定成立的是()(x2＋)>(x>0)
B．sinx＋(x≠kπ，k∈Z)＋1≥2|x|(x∈R)>1(x∈R)
【解析】应用基本不等式：x，y∈R＋，(当且仅当x＝y时取等号)逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件．当x>0时，x＋＝x，所以(x2＋)≥(x>0)，故选项不正确；运用基本不等式时需保证一正二定三相等，而当x≠k，k∈Z时，的正负不定，故选项不正确；由基本不等式可知，选项正确；当x＝0时，有＝1，故选项不正确．4．已知x，y∈R＋＋＝1，则xy的最大值为________．【解析】∵x＞0，y＞0且1＝＋，∴xy≤3.当且仅当＝时取等号．【解析】设每件产品的平均费用为y元，由题意得＝＋＝20.当且仅当＝(x＞0)，当且仅当x＝80时(1)已知0＜x＜，则y＝2x－5x的最大值为______．(2)(2012·浙江高考)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是()B.C．5D．6【审题视点】(1)凑和为定值，添配系数；(2)将条件变形＋＝1，然后注意“1”的代换．【尝试解答】(1)y＝2x－5x＝x(2－5x)＝(2－5x)，＜x＜，∴5x＜2，2－5x＞0，(2－5x)≤()＝1，则y≤当且仅当5x＝2－5x，即x＝时等号成立．＝2x－5x的最大值y＝(2)由x＞0，y＞0，且x＋3y＝5xy，得＋＝1.＋4y＝(3x＋4y)(＋)＝＋＋＋2＝5，当且仅当x＝2y＝1时，等号成立．＋4y的最小值为5.【答案】(1)(2)
(1)已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1，且＋的最小值是________．(2)(2013·金华调研)设x，y为实数，若x＋y＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．【解析】(1)∵x＞0，y＞0，x＋y＝1，＋＝(x＋y)(＋)＝＋＋7＋7＝7＋4，当且仅当＝且x＋y＝1，即x＝－3＋2，y＝4－2时等号成立，＋的最小值是7＋4(2)由x＋y＋xy＝1，得1＝(x＋y)－xy，(x＋y)＝1＋xy≤1＋，解得－＋y≤，＋y的最大值为【答案】(1)7＋4(2)
已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：(1)＋＋；(2)(1＋)(1＋)≥9.【审题视点】(1)第(1)小题把＋变形为，或把变形为＋.(2)第(2)小题把不等式左边展开，利用第(1)小题的结论．【尝试解答】(1)＋＋＝2(＋)，＋b＝1，a>0，b>0，＋＝＋＝2＋＋＋2＝4，＋＋(当且仅当a＝b＝时等号成立)．(2)法一∵a>0，b>0，a＋b＝1，＋＝1＋＝2＋，同理1＋＝2＋，∴(1＋)(1＋)＝(2＋)(2＋)＝5＋2(＋)≥5＋4＝9.(1＋)(1＋)≥9(当且仅当a＝b＝时等号成立)．法二(1＋)(1＋)＝1＋＋＋，由(1)知，＋＋，故(1＋)(1＋)＝1＋＋＋
已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：＋＋＋b＋c.【证明】∵a＞0，b＞0，c＞0，＋＝2c；＋＝2b；＋＝2a.以上三式相加得：2(＋＋)≥2(a＋b＋c)，即＋＋＋b＋c.
【尝试解答】由题意可得，造价y＝3(2x×150＋00)＋5800＝900(x＋)＋5800(0＜x≤5)，则y＝900(x＋)＋5800≥900×2＋5800＝(元)，当且仅当x＝，即x＝4时取等号．故当侧面的长度为4米时，总造价最低．
某厂家拟在2013年举行促销活动x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x＝3－(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2012年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．(1)将2013年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2013年的促销费用投入多少万元时，厂家的【解】(1)由题意知，当m＝0时，x＝1(万件)，＝3－k，即k＝2.∴x＝3－又∵每件产品的销售价格为1.5×(万元)．年的利润＝x(1.5×)－(8＋16x＋m)＝4＋8x－m＝4＋8(3－)－m＝29－[(m＋1)＋](m≥0)．(2)∵m≥0时，(m＋1)＋＝8.－8＝21，当且仅当＝m＋1，即当m＝3(万元)时，y＝21(万元)．所以该厂家2013年的促销费用投入为3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元．
1.≥()2≥ab(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)．≥≥≥(a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时等号成立)．创新探究之八几何背景下的基本不等式求最值问题(2012·湖南高考)已知两l1：y＝m和l：y＝(m>0)，l与函数y＝|的图象从左至右相交于点A，B，l与函数y＝|的图象从左至右相交于点C，D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b.当m变化时，的最小值为()．．．
【解析】由m＝|，得＝()，x＝2同理，x＝()，x＝2＝|x－x＝，＝|x－x＝|2－2＝＝2＝2＋m∵＋m(2m＋1)＋－－＝，当＝，即m＝时取等号．＞0，∴m＝符合题意．的最小值为2＝81．(2012·陕西高考)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a
5．(2013·北京西城质检)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品应为________件．2．(2012·合肥质检)设0＜m＜，若＋恒成立，则k的最大值为________．【解析】由0＜m＜得0＜1－2m＜1，＋＝＝(＋)[2m＋(1－2m)]＝4＋＋＋＝8，当且仅当＝，即m＝时取等号，因此＋的最小值是8，于是k的8.
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