第二节空间几何体的表面积与体积1．旋转体的表(侧)面积2.空间几何体的体积(h为高，S为下底面积，S′为上底面积)1．圆锥的侧面展开图是什么图形？与原几何体有何联系？【提示】圆锥的侧面展开图是扇形，半径为圆锥的母线长，弧长为圆锥底面圆的周长．【解析】由三棱柱的正视图可知此三棱柱为底面边长为2，侧棱长为1的正三棱柱，∴S侧＝2×1×3＝6.【答案】D5．(2012·浙江高考)已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图7－2－2所示，则该三棱锥的体积是()A．1cm3B．2cm3C．3cm3D．6cm3(2012·北京高考)某三棱锥的三视图如图7－2－3所示，该三棱锥的表面积是()【思路点拨】根据三视图得到几何体的形状，画出几何体的直观图，标准相应已知量，求出待求量，计算各个三角形的面积．1．解答本题的关键是根据三视图得到几何体的直观图，弄清线面、面面的垂直关系及相应线段的长度．2．在求多面体的侧面积时，应对每一侧面分别求解后再相加，对于组合体的表面积应注意重合部分的处理．3．以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2012·安徽高考)某几何体的三视图如图7－2－4所示，该几何体的表面积是________．(1)(2012·辽宁高考)一个几何体的三视图如图7－2－5所示，则该几何体的体积为________．(2)(2012·山东高考)如图7－2－6，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为________．1．解答本题(2)的关键是转换顶点，转换顶点的原则是使底面面积和高易求．一般做法是把底面放在已知几何体的某一个面上．2．注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法．3．等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面．①求体积时，可选择容易计算的方式来计算；②利用“等积法”可求“点到面的距离”．(2012·湖北高考)已知某几何体的三视图如图7－2－7所示，则该几何体的体积为()【思路点拨】由球、圆锥的对称性知，两圆锥的顶点连线过球心及圆锥底面的圆心，先求圆锥底面的半径，再求球心与圆锥底面的圆心间的距离，问题可解．1．解答本题的关键是确定球心、圆锥底面圆心与两圆锥顶点之间的关系，这需要根据球的对称性及几何体的形状来确定．2．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．1.底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错．2．求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理．1.割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．2．等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．空间几何体的三视图与体积、表面积、空间线面位置关系结合命题是高考的热点，题型齐全，重点考查识图、用图、空间想象能力与运算能力，预计2014年仍将延续这一命题方向，不能由三视图准确画出空间几何体的直观图是求解该类问题的常见错误．易错辨析之十二对几何体形状判断不准致误 (2012·天津高考)一个几何体的三视图如图7－2－8所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.错因分析：(1)把四棱柱误以为是四棱台，造成解答失误．(2)不能把三视图转化为实物图，画出几何体的直观图，从而无法解答本题．防范措施：(1)确认几何体的形状时，要紧扣各类几何体的定义，不能凭感觉去确定．(2)要熟练掌握常见的几何体的正视图，并善于从不同角度观察几何体的结构特征，要知道三视图中的实线与虚线的原因，明确为什么有这些线或没有某些线，对于正(主)视图，侧(左)视图中的直角，更要弄清楚它们是直角的原因．1．(2012·广东高考)某几何体的三视图如图7－2－9所示，它的体积为()2．(2012·湖北高考)已知某几何体的三视图如图7－2－10所示，则该几何体的体积为________．【解析】由三视图知几何体由两个底面直径为4、高为1的圆柱和一个底面直径为2、高为4的圆柱组成，故V＝2×π×22×1＋π×12×4＝12π.【答案】12π【答案】30A．12πB．45πC．57πD．81π【答案】C菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）_________球(半径为R)π(r1＋r2)l＋π(r＋r)____________圆台(上、下底面半径r，母线长l)πr(l＋r)_______圆锥(底面半径r，母线长l)____________2πrl圆柱(底面半径r，母线长l)表面积侧面积名称2πr(l＋r)πrlπ(r1＋r2)l4πR2【答案】C【答案】A【答案】C【答案】A【尝试解答】由几何体的三视图可知，该三棱锥的直观图如图所示，其中AE⊥平面BCD，CD⊥BD，且CD＝4，BD＝5，BE＝2，ED＝3，AE＝4.【答案】B【答案】92【思路点拨】(1)根据三视图得到几何体的直观图，明确边长的大小．再根据相应公式求解．(2)原三棱锥的底面面积和高都不易求，转换顶点使三棱锥的高与底面面积易求．【答案】B【答案】B(1)V柱体＝．(2)V锥体＝(3)V台体．(4)V球＝(球半径是R)．
Sh
h(S＋＋S′)
πR3
1．(人教版教材习题改编)已知圆锥的表面积为a，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是()
【解析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意知2＝，∴l＝2r，则圆锥的表面积S表＝＋2＝a，∴r＝，∴2r＝.2．正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的全面积为()(3＋)．(3＋2)(＋)D．【解析】正六棱柱的侧面积S侧＝6×6×4＝144，底面面积S底＝2×6×＝48，表＝144＋48＝48(3＋)．
3．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图7－2－1所示，则其侧面积等于()B．2
C．2D．6
4．母线长为1的圆锥的侧面展开图的面积是，则该圆锥的体积为()πB.πC.πD.π
【解析】设圆r，依题意得＝，∴r＝圆锥的高h＝＝圆锥的体积V＝＝【解析】由几何体的三视图可知，该几何体是有三个面为直角三角形的四面体，如图所示．三棱锥的底面三角形中直角边长分别为1，2，高为3，故V＝底＝×1×2×3＝1()．
A．28＋6＋6＋12＋12
∵AE＝4，ED＝3，∴AD＝5.又CD⊥BD，CD⊥AE，则CD⊥平面ABD，故CD⊥AD，所以AC＝且S＝10.在中，AE＝4，BE＝2，故AB＝2在中，BD5，CD＝4，故S＝10，且BC＝在△ABD中，AE＝4，BD＝5，故S＝10.在△ABC中，AB＝2，BC＝AC＝，则AB边上的高h＝6，故S＝×6＝6因此，该三棱锥的表面积为S＝30＋6【解析】由几何体的三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱(如图所示)．在四边形ABCD中，作DE⊥AB，垂足为E，则DE＝4，AE＝3，则AD＝5.所以其表面积为：2×(2＋5)×4＋2×4＋4×5＋4×5＋4×4＝92.
【尝试解答】(1)由三视图知，该几何体的上面是一个圆柱，下面是一个长方体．其中圆柱的底面直径是2，高为1，长方体的长为4，宽为3，高为1，故该几何体的体积为V＝4×3×1＋＝12＋(2)VD1－EDF＝V－DD＝＝×1×1×1＝【答案】(1)12＋(2)
A.．．【解析】由三视图可知，此几何体(如图所示)是底面半径为1，高为4的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的，所以V＝＝3(2013·长春模拟)已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________．
【尝试解答】如图，设球的半径为R，圆锥底面半径为r.由题意得＝＝，根据球的截面的性质可知两圆锥的高必过球心O，且两圆锥的顶点以及圆锥与球的交点是球的大圆上的点，且AB⊥O∴OO1＝＝，因此体积较小的圆锥的高AO＝R－＝，体积较大的圆锥的高BO＝R＋＝且这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比为
【答案】
【错解】由三视图知该几何体的直观图如图所示，是由长方体和四棱台组成的组合体，长方体的长、宽、高分别为3、4、2.其体积为V＝3×4×2＝243，四棱台的上底面是边长分别为1、4的矩形，下底面是边长分别为2、4的矩形、高为1，其体积为V2＝(4×1＋＋2×4)＝(4＋)，故该几何体的体积为V＝V＋V＝(28＋)
【答案】28＋【正解】4，3，2，四棱柱的高为4，其上、下底面为两底长分别为1，2，高为1的直角梯形，故组合体的体积V＝3×4×2＋(1＋2)×1×4＝30()．【解析】由三视图知该几何体是由圆柱、圆锥两几何体组合而成，直观图如图所示．圆锥的底面半径为3，高为4，圆柱的底面半径为3，高为5，＝V圆锥＋V圆柱＝＋Sh＝＋5＝57
Sh
2．已知球的半径为R，球的内接正方体的边长为a，则R＝，这种关系正确吗？【提示】不正确．内接正方体的对角线长等于球的直径，即＝2R，R＝(2012·课标全国卷)平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为()π．π．π．π
【解析】如图，设截面圆的圆心为O′，M为截面圆上任一点，则OO′＝，O′M＝1，＝＝，即球的半径为，＝()3＝4 |
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