第三节空间点、直线、平面之间的位置关系1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的_____在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．公理2：过_______的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们______________过该点的公共直线．2．空间点、直线、平面之间的位置关系1．若直线a?平面α，直线b?平面α，则直线a，b是异面直线，这种说法正确吗？【提示】此说法不正确，直线a，b都不在平面α内，但可能都在平面β内．2．若一条直线l不在平面α内，则直线l与平面α是否一定平行？【提示】不一定．直线l与平面α可能平行，也可能相交．1．(人教A版教材习题改编)下列命题正确的个数为()①梯形可以确定一个平面；②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．A．0B．1C．2D．3【解析】②中两直线可以平行、相交或异面，④中若三个点在同一条直线上，则两个平面相交，①③正确．【答案】C2．已知a、b是异面直线，直线c∥直线a，那么c与b()A．一定是异面直线 B．一定是相交直线C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线【解析】若c∥b，∵c∥a，∴a∥b，与a，b异面矛盾．∴c，b不可能是平行直线．【答案】C3．平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为()A．3B．4C．5D．6【解析】与AB平行，CC1相交的直线是CD、C1D1；与CC1平行、AB相交的直线是BB1，AA1；与AB、CC1都相交的直线是BC，故选C.【答案】C4．(2013·宁波模拟)若直线l不平行于平面α，且l?α，则()A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交【解析】由题意知，直线l与平面α相交，则直线l与平面α内的直线只有相交和异面两种位置关系，因而只有选项B是正确的．【答案】B5．(2012·四川高考)如图7－3－1，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是________．1．解答本题的关键是平行四边形、中位线性质的应用．2．证明共面问题的依据是公理2及其推论，包括线共面，点共面两种情况，常用方法有：(1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面．(2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．(3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合．(1)如图7－3－4，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是()A．MN与CC1垂直B．MN与AC垂直C．MN与BD平行D．MN与A1B1平行(2)在图中，G、N、M、H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)【思路点拨】(1)连接B1C，则点M是B1C的中点，根据三角形的中位线，证明MN∥B1D1.(2)先判断直线GH、MN是否共面，若不共面再利用异面直线的判定定理判定．【尝试解答】(1)连接B1C，B1D1，则点M是B1C的中点，MN是△B1CD1的中位线，∴MN∥B1D1，∵CC1⊥B1D1，AC⊥B1D1，BD∥B1D1，∴MN⊥CC1，MN⊥AC，MN∥BD.又∵A1B1与B1D1相交，∴MN与A1B1不平行，故选D.(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G、H、N三点共面，但M面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G、M、N共面，但H面GMN，因此GH与MN异面．所以图②、④中GH与MN异面．【答案】(1)D(2)②④1．判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线．(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．2．对于线线垂直，往往利用线面垂直的定义，由线面垂直得到线线垂直．3．画出图形进行判断，可化抽象为直观．如图7－3－6所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线MN与AC所成的角为60°.其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论序号都填上)．【解析】由图可知AM与CC1是异面直线，AM与BN是异面直线，BN与MB1为异面直线．因为D1C∥MN，所以直线MN与AC所成的角就是D1C与AC所成的角，且角为60°.【答案】③④【思路点拨】(1)直接根据锥体的体积公式求解．(2)取PB的中点，利用三角形的中位线平移BC得到异面直线所成的角．(或其补角)直三棱柱ABC—A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A．30°B．45°C．60°D．90°异面直线的判定方法：(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线．(2)反证法：证明两直线不可能平行、相交或证明两直线不可能共面，从而可得两直线异面．1.公理1的作用：(1)检验平面；(2)判断直线在平面内；(3)由直线在平面内判断直线上的点在平面内；(4)由直线的直刻画平面的平．2．公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法．3．公理3的作用：(1)判定两平面相交；(2)作两平面相交的交线；(3)证明多点共线．空间点、直线、平面的位置关系是立体几何的理论基础，高考常设置选择题或填空题，考查直线、平面位置关系的判断和异面直线所成的角的求法．在判断线、面位置关系时，有时可以借助常见的几何体做出判断.思想方法之十三借助正方体判定线面位置关系【解析】如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1D与D1A和平面ABCD所成的角都是45°，但A1D与D1A不平行，故A错；在平面ABB1A1内，直线A1B1上有无数个点到平面ABCD的距离相等，但平面ABB1A1与平面ABCD不平行，故B错；平面ADD1A1与平面DCC1D1和平面ABCD都垂直，但两个平面相交，故D错，从而C正确．【答案】C易错提示：(1)盲目和平面内平行线的判定定理类比，从而误选A.(2)不会利用正方体作出判断，考虑问题不全面，从而误选B或D.防范措施：(1)对公理、定理的条件与结论要真正搞清楚，以便做到准确应用，类比得到的结论不一定正确，要想应用，必须证明；(2)点、线、面之间的位置关系可借助长方体为模型，以长方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系，准确判定线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直．1．(2013·郑州模拟)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1⊥l3B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点?l1，l2，l3共面【解析】如图长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB⊥AD，CD⊥AD但有AB∥CD，因此A不正确；又AB∥DC∥A1B1，但三线不共面，因此C不正确；又从A出发的三条棱不共面，所以D不正确；因此B正确，且由线线平行和垂直的定义易知B正确．【答案】B2．(2012·大纲全国卷)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为________．【解析】连接DF，则AE∥DF，∴∠D1FD即为异面直线AE与D1F所成的角．(2012·四川高考)下列命题正确的是()A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）两点不共线有且只有一条aαa，b是异面直线符号语言图形语言独有关系α∩β＝la∩α＝Aa∩b＝A符号语言图形语言相交关系α∥βa∥αa∥b符号语言图形语言平行关系平面与平面直线与平面直线与直线锐角或直角平行相等或互补【解析】如图，取CN的中点K，连接MK，则MK为△CDN的中位线，所以MK∥DN.【答案】90°【答案】C3.异面直线所成的角(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的叫做异面直线a与b所成的角．(2)范围：(0，]．平行公理平行于同一条直线的两条直线．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角．
所以∠A为异面直线A与DN所成的角．连接A，AM.设正方体棱长为4，则A＝＝，＝＝＝，A＝＝6，M2＋MK＝A，∴∠A＝90如图7－3－2所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BC綊，BE綊，G、H分别为FA、FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？
【尝试解答】(1)由已知FG＝GA，FH＝HD，得GH綊又BC綊，∴GH綊BC，四边形BCHG是平行四边形．
(2)法一由BE綊，为FA中点知BE綊GF，四边形BEFG为平行四边形，BG.
由(1)知BG∥CH，，与CH共面．又D∈FH，∴C、D、F、E四点共面．
法二如图所示，延长FE，DC分别与AB交于点M，M′，AF，为MA中点，AD，为M′A中点，与M′重合，即FE与DC交于点M(M′)，、D、F、E四点共面．
已知：空间四边形ABCD(如图7－3－3所示)，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC、CD上的点，且CG＝，CH＝求证：(1)E、F、G、H四点共面；(2)三直线FH、EG、AC共点．(2)易知FH与直线AC不平行，但共面，设FH∩AC＝M，平面EFHG，M∈平面ABC.又∵平面EFHG∩平面ABC＝EG，，、EG、AC共点.
【证明】(1)连接EF、GH，、F分别是AB、AD的中点，又∵CG＝，CH＝，，，、F、G、H四点共面．
(2012·上海高考改编题)如图7－3－7，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝，AB＝2，AC＝2，PA＝2.求：(1)三棱锥P—ABC的体积；(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．
【尝试解答】(1)S＝＝2，三棱锥P－ABC的V＝·PA＝×2＝(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，所以∠ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角．在△ADE中，DE＝2，AE＝，AD＝2，＝＝
【解析】分别取AB、AA、A的中点D、E、F，则BA，AC所以异面直线BA与AC所成的角为∠DEF(或其补角)，设AB＝AC＝AA＝2，则DE＝EF＝，DF＝，由余弦定理得，∠DEF＝120设正方体棱长为a，则D＝a，DF＝，D＝，＝＝【答案】【思路点拨】(1)证明GH綊BC即可．(2)法一证明D点在EF、CH确定的平面内．法延长FE、DC分别与AB交于M，M′，可证M与M′重合，从而FE与DC相交证得四点共面．1．求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．
．求异面直线所成的角的三步曲为：即“一作、二证、三求”．其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成角，转化为解三角形问题，进而求解．异面直线所成的角范围0，]． |
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