第七章第四节

第四节直线、平面平行的判定及其性质1．直线与平面平行的判定(1)定义：直线与平面____________，则称直线平行于平面．(2)判定定理：若____________________，则b∥α.2．直线与平面平行的性质定理若____________________________，则a∥b.3．面面平行的判定与性质4.与垂直相关的平行的判定(1)a⊥α，b⊥α______；(2)a⊥α，a⊥β_______．1．如果两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面内的直线有哪些位置关系？【提示】平行或异面．2．如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面一定平行吗？【提示】不一定．可能平行也可能相交．1．(人教A版教材习题改编)若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是()A．α内的所有直线都与直线a异面B．α内可能存在与a平行的直线C．α内的直线都与a相交D．直线a与平面α没有公共点【解析】直线a与α不平行，则直线a在α内或与α相交，当直线a在平面α内时，在α内存在与a平行的直线，B正确．【答案】B2．若直线m平面α，则条件甲：直线l∥α，是条件乙：l∥m的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】∵l∥α时，l与m并不一定平行，而l∥m时，l与α也不一定平行，有可能lα，∴条件甲是条件乙的既不充分也不必要条件．【答案】D3．空间中，下列命题正确的是()A．若a∥α，b∥a，则b∥αB．若a∥α，b∥α，aβ，bβ，则β∥αC．若α∥β，b∥α，则b∥βD．若α∥β，aα，则a∥β【解析】根据面面平行和线面平行的定义知，选D.【答案】D4．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系是________．5．(2013·福州模拟)如图7－4－1，正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．【尝试解答】(1)法一连接AB′，AC′，如图，由已知∠BAC＝90°，AB＝AC，三棱柱ABC—A′B′C′为直三棱柱，所以M为AB′的中点．又因为N为B′C′的中点，所以MN∥AC′.又MN平面A′ACC′，AC′平面A′ACC′，所以MN∥平面A′ACC′.1．判断或证明线面平行的常用方法有：(1)利用常用反证法定义；(2)利用线面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a?α?a∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a?β，a∥α?a∥β)．2．利用判定定理判定直线与平面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线．可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．如图7－4－3，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.【证明】如图，连接AC交BD于O，连接MO，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC中点，又M是PC的中点，∴AP∥OM，则有PA∥平面BMD.∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH.如图7－4－4，已知α∥β，异面直线AB、CD和平面α、β分别交于A、B、C、D四点，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：(1)E、F、G、H共面；(2)平面EFGH∥平面α.【思路点拨】(1)证明四边形EFGH为平行四边形即可；(2)利用面面平行的判定定理，转化为线面平行来证明．1．解答本题(2)的关键是设出平面ABD与平面α的交线，然后使用面面平行的性质证明．2．判定面面平行的方法(1)利用定义：(常用反证法)(2)利用面面平行的判定定理；(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行；(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行．如图7－4－5所示，三棱柱ABC—A1B1C1，D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点．求证：平面A1BD1∥平面AC1D.【证明】如图所示，连接A1C交AC1于点E，因为四边形A1ACC1是平行四边形，所以E是A1C的中点，连接ED，因为A1B∥平面AC1D，平面A1BC∩平面AC1D＝ED，所以A1B∥ED.因为E是A1C的中点，所以D是BC的中点．又因为D1是B1C1的中点，所以BD1∥C1D，A1D1∥AD.又A1D1∩BD1＝D1，C1D∩AD＝D，所以平面A1BD1∥平面AC1D.如图7－4－6所示，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.(1)求证：AE⊥BE；(2)设M在线段AB上，且满足AM＝2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE.【思路点拨】(1)通过线面垂直证明线线垂直；(2)先确定点N的位置，再进行证明，点N的位置的确定要根据线面平行的条件进行探索．【尝试解答】(1)∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE，则AE⊥BC.又∵BF⊥平面ACE，∴AE⊥BF，∴AE⊥平面BCE，又BE平面BCE，∴AE⊥BE.1．解决本题的关键是过M作出与平面DAE平行的辅助平面MNG，通过面面平行证明线面平行．2．通过线面、面面平行的判定与性质，可实现线线、线面、面面平行的转化．3．解答探索性问题的基本策略是先假设，再严格证明，先猜想再证明是学习和研究的重要思想方法．【解】在平面PCD内，过E作EG∥CD交PD于G，连接AG，在AB上取点F，使AF＝EG，∵EG∥CD∥AF，EG＝AF，∴四边形FEGA为平行四边形，∴FE∥AG.平行问题的转化关系：1.在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误．2．线面平行的性质定理的符号语言为：a∥α，aβ，α∩βba∥b，三个条件缺一不可．从近两年高考看，直线与平面，平面与平面平行是高考考查的热点．题型全面，试题难度中等，考查线线、线面、面面平行的相互转化，并且考查空间想象能力以及逻辑思维能力．预测2014年高考仍将以线面平行的判定为主要考查点，解题时不但要熟练运用平行的判定和性质，而且要注意解题的规范化．【规范解答】(1)如图(1)，取BD的中点O，连接CO，EO.由于CB＝CD，所以CO⊥BD.又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO，EC平面EOC，所以BD⊥平面EOC，·········4分因此BD⊥EO.又O为BD的中点，所以BE＝DE.······················6分(2)如图(2)，取AB的中点N，连接DM，DN，MN.因为M是AE的中点，所以MN∥BE.又MN?平面BEC，BE?平面BEC，所以MN∥平面BEC.··················8分又因为△ABD为正三角形，所以∠BDN＝30°.又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°.所以DN∥BC.又DN?平面BEC，BC?平面BEC，所以DN∥平面BEC.·················10分又MN∩DN＝N，所以平面DMN∥平面BEC.又DM?平面DMN，所以DM∥平面BEC.················12分【解题程序】第一步：取BD的中点O，连接CO，EO，证明BD⊥平面EOC；第二步：根据线面垂直的性质证明BD⊥EO，从而证明BE＝DE；第三步：取AB的中点N，作出辅助平面DMN；第四步：证明MN∥平面BEC；第五步：证明DN∥平面BEC；第六步：根据面面平行的判定定理下结论．易错提示：(1)第(1)小题作不出辅助线EO，CO，无法求解．(2)第(2)小题不能作出辅助平面DMN，无法求解．防范措施：(1)所求与已知中，均有线段相等，即出现等腰三角形共底边问题，此种情况下，一般取底边的中点作辅助线．(2)证明线面平行，通常有两种方法，要么用线线平行，要么用面面平行，条件中出现中点，一般考虑作出三角形的中位线．【解析】过N作NP⊥BB1于点P，连接MP，可证AA1⊥平面MNP，∴AA1⊥MN，①正确．过M、N分别作MR⊥A1B1、NS⊥B1C1于点R、S，则当M不是AB1的中点、N不是BC1的中点时，直线A1C1与直线RS相交；当M、N分别是AB1、BC1的中点时，A1C1∥RS，∴A1C1与MN可以异面，也可以平行，故②④错误．由①正确知，AA1⊥平面MNP，而AA1⊥平面A1B1C1D1，∴平面MNP∥平面A1B1C1D1，故③对．综上所述，其中正确命题的序号是①③.【答案】①③2．(2013·杭州模拟)在如图7－4－9所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，AB＝2EF，若M是线段AD的中点，求证：GM∥平面ABFE.在?ABCD中，M是线段AD的中点，则AM∥BC，且AM＝BC，因此FG∥AM且FG＝AM，所以四边形AFGM为平行四边形，因此GM∥FA.又FA?平面ABFE，GM?平面ABFE，所以GM∥平面ABFE.规范解答之九线面平行问题的证明方法)(12分)(2012·山东高考)如图7－4－8，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）没有公共点a?α，b?α，a∥ba∥α，a?β，α∩β＝ba∥αa∥bα∥βα∥β结论____________________________________________________________________________________________________________条件图形性质判定α∩β＝?a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥αα∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝bα∥β，aβa∥bα∥β【解析】如图所示，连接BD交AC于F，连接EF则EF是△BDD1的中位线，∴EF∥BD1，又EF平面ACE，BD1平面ACE，∴BD1∥平面ACE.【答案】平行【解析】由于在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，∴AC＝2又E为AD中点，EF∥平面AB，EF平面ADC，平面ADC∩平面AB＝AC，，∴F为DC中点，∴EF＝＝

【答案】(2012·辽宁高考)如图7－4－2，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90，AB＝AC＝，AA′＝1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．

(1)证明：MN∥平面A′ACC′；(2)求三棱锥A′－MNC的体积．(锥体体积公式V＝，其中S为底面面积，h为高)法二取A′B′的中点P，连接MP，NP，AB′，如图，因为M，N分别为AB′与B′C′的中点，所以MP∥AA′，PN∥A′C′.所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′.又MP∩NP＝P，所以平面MPN∥平面A′ACC′.而MN平面MPN，所以MN∥平面A′ACC′.(2)连接BN，由题意知，A′N⊥B′C′，平面A′B′C′∩平面B′C′，所以A′N⊥平面B′BCC′，即A′N⊥平面NBC，故V＝V＝MC×h，

又S＝，所以V＝V＝＝＝×S△NBC×A′N，因为∠BAC＝90，BA＝AC＝，所以BC＝B′C′＝2，＝＝＝1，A′N＝＝1，所以V＝V＝×S△NBC×A′N＝

【尝试解答】(1)∵E、H分别是AB、DA的中点，BD.

同理，FG綊，∴FG綊EH.四边形EFGH是平行四边E、F、G、H共面．(2)平面ABD和平面α有一个公共点A，设两平面交于过点A的直线AD′.，∴AD′∥BD.又∵BD∥EH，∴EH∥BD∥AD′.平面α，同理，EF∥平面α，又EH∩EF＝E，EH平面EFGH，平面EFGH，∴平面EFGH∥平面α.

如图－4－7所示，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，在侧面PBC内，有BE⊥PC于E，且BE＝，试在AB上找一点F，使EF∥平面PAD.

又AG平面PAD，FE平面PAD，平面PAD.即为所求的点．又PA⊥面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，∴BC⊥面PAB.＝BC＋PB＝BC＋AB＋PA设PA＝x则PC＝，由PB·BC＝BE·PC得：·a＝a，＝a，即PA＝a，∴PC＝又CE＝＝，＝，∴＝＝，即GE＝＝，∴AF＝【思路点拨】(1)法一：证明MN∥AC′；法二：取A′B′的中点P，证平面MPN∥平面A′ACC′.(2)转化法：根据S＝S得V＝，从而V＝(2)在△ABE中，过M点作MG∥AE交BE于G点，在△BEC中过G点作GN∥BC交EC于N点，连接MN，则由比例关系易得CN＝，MG平面ADE，AE平面ADE，平面ADE.同理，GN∥平面ADE.又∵GN∩MG＝G，平面MGN∥平面ADE.又MN平面MGN，∴MN∥平面ADE.点为线段CE上靠近C点的一个三等分点．

【证明】因为EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，所以△ABC∽△EFG，由于AB＝2EF，因此，BC＝2FG，连接AF，由于FG∥BC，FG＝，1．(2012·安徽“江南十校”联考)如图－4－10，正方体ABCD—A的棱长为1，点M∈AB，N∈BC，且AM＝BN≠，有以下四个结论：；②A；③MN∥平面A；④MN与A是异面直线．其中正确结论的序号是________．(注：把你认为正确命题的序号都填上)