第七章第五节

第五节直线、平面垂直的判定及其性质1．直线与平面垂直(1)定义：如果直线l与平面α内的__________直线都垂直，则直线l与平面α垂直．(2)判定定理：一条直线与一个平面内的两条______直线都垂直，则该直线与此平面垂直．(3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线______．2．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的____________所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作__________的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．3．平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面所成的二面角是___________，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理：一个平面过另一个平面的______，则这两个平面垂直．(3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内__________的直线与另一个平面垂直．4．直线和平面所成的角(1)平面的一条斜线和它在_____________所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角．(2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为_________．1．一条直线和一个平面内的无数条直线都垂直，可以说这条直线和这个平面垂直吗？【提示】不可以．如果这无数条直线是平行的，则这条直线和这个平面的位置关系不确定．2．两条直线和一个平面所成的角相等，这两条直线有什么位置关系？垂直于同一平面的两个平面呢？【提示】这两条直线平行或相交或异面；垂直于同一个平面的两个平面可能平行，也可能相交．1．(人教A版教材习题改编)给出下列四个命题：①垂直于同一平面的两条直线相互平行；②垂直于同一平面的两个平面相互平行；③若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；④若一条直线垂直于一个平面内的任一直线，那么这条直线垂直于这个平面．其中真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4【解析】由线面垂直的性质定理知①正确；由线面垂直的定义知④正确，故选B.【答案】B2．已知直线a，b和平面α，且a⊥b，a⊥α，则b与α的位置关系为()A．bαB．b∥αC．bα或b∥αD．b与α相交【解析】由a⊥b，a⊥α知bα或b∥α，但直线b不与α相交．【答案】C【解析】A显然正确，根据面面垂直的判定，B正确．对于命题C，设α∩γ＝m，β∩γ＝n，在平面γ内取一点P不在l上，过P作直线a，b，使a⊥m，b⊥n.∵γ⊥α，a⊥m，则a⊥α，∴a⊥l，同理有b⊥l.又a∩b＝P，aγ，bγ，∴l⊥γ.故命题C正确．对于命题D，设α∩β＝l，则lα，且lβ.故在α内存在直线不垂直于平面β，即命题D错误．【答案】D5．(2012·浙江高考)设l是直线，α，β是两个不同的平面()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β【解析】设α∩β＝a，若直线l∥a，且lα，lβ，则l∥α，l∥β，因此α不一定平行于β，故A错误；由于l∥α，故在α内存在直线l′∥l，又因为l⊥β，所以l′⊥β，故α⊥β，所以B正确；若α⊥β，在β内作交线的垂线l，则l⊥α，此时l在平面β内，因此C错误；已知α⊥β，若α∩β＝a，l∥a，且l不在平面α，β内，则l∥α且l∥β，因此D错误．【答案】B【尝试解答】(1)因为AB⊥平面PAD，PH平面PAD，所以PH⊥AB.因为PH为△PAD中AD边上的高，所以PH⊥AD.因为PH平面ABCD，AB∩AD＝A，AB，AD平面ABCD，所以PH⊥平面ABCD.1．证明直线和平面垂直的常用方法有：(1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；(3)面面平行的性质(a⊥α，α∥β?a⊥β)．(4)面面垂直的性质．2．证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．3．线面垂直的性质，常用来证明线线垂直．【解】(1)证明由条件知四边形PDAQ为直角梯形．因为QA⊥平面ABCD，所以QA⊥DC，又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，又QA∩AD＝A，所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC.【思路点拨】(1)证明DC1⊥平面BDC.(2)先求四棱锥B—DACC1的体积，再求三棱柱ABC—A1B1C1的体积．【尝试解答】(1)由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1.又DC1平面ACC1A1，所以DC1⊥BC.由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.又DC∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC.又DC1平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC.1．解答本题(1)的关键是通过证明BC⊥平面ACC1A1来证明DC1⊥BC.2．证明面面垂直常用面面垂直的判定定理或定义法．(1)利用判定定理证明面面垂直实质是证明线面垂直，与其中一个平面垂直的直线的选取至关重要，要根据条件的直观图准确选取．(2)利用定义证明面面垂直实质是证明线线垂直，即证明两平面形成的二面角是直角．(2013·无锡模拟)如图7－5－4所示，在四棱锥P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD.【证明】(1)如图，在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD.又因为EF?平面PCD，PD?平面PCD，所以直线EF∥平面PCD.(2)连接BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD，BF?平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD.又因为BF?平面BEF.所以平面BEF⊥平面PAD.(2013·哈尔滨模拟)如图7－5－5所示，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.(1)证明：PA⊥BD；(2)设PD＝AD＝1，求棱锥D—PBC的高．【思路点拨】(1)证明BD⊥平面PAD.(2)作DE⊥PB，证明DE⊥平面PBC，在△PDB中计算DE的长．1．解答本题的关键是通过计算证明AD⊥BD，这也是解题中容易忽视的方法．2．面面垂直的性质是用来推证线面垂直的重要依据，其核心是其中一个面内的直线与交线垂直．在其中一个面内作交线的垂线，这是常作的辅助线．3．空间的直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直或平行问题常常互相转化，将空间问题化归为平面问题是处理立体几何问题的重要思想．如图7－5－6所示，平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝4，将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EDB⊥平面ABD.(1)求证：AB⊥DE；(2)求三棱锥E—ABD的侧面积．垂直问题的转化关系1.证明线线垂直的方法(1)定义：两条直线所成的角为90°；(2)平面几何中证明线线垂直的方法；(3)线面垂直的性质：a⊥α，bαa⊥b；(4)线面垂直的性质：a⊥α，b∥αa⊥b.3．证明面面垂直的方法(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：aα，a⊥βα⊥β.通过近两年的高考试题看，线线、线面、面面垂直的判定与性质的应用是考查的重点和热点，主要考查空间想象能力和推理论证能力，以及转化思想的应用．题型全面，但主要以解答题的形式考查，规范解答至关重要．规范解答之十立体几何中探索性问题的求解策略 (14分)(2012·北京高考)如图7－5－7(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图7－5－7(2)．(1)求证：DE∥平面A1CB.(2)求证：A1F⊥BE.(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．【规范解答】(1)因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.···················2分又因为DE?平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.··············4分(2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.而A1F?平面A1DC，·····································6分所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，所以A1F⊥平面BCDE， 又BE?平面BCDE，所以A1F⊥BE.·····················9分(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP.又DP∩DE＝D，所以A1C⊥平面DEP.·····················12分从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.·········14分【解题程序】第一步：根据三角形中位线证明DE∥BC.从而证明DE∥平面A1CB；第二步：利用线面垂直的判定定理证明DE⊥平面A1DC；第三步：通过证明A1F⊥平面BCDE来证明A1F⊥BE；第四步：分别取A1C，A1B的中点P，Q，证明P、Q、D、E四点共面；第五步：通过证明PD⊥A1C来证明A1C⊥平面DEQ.易错提示：(1)想不到或不会利用DE⊥A1D，导致无法求解．(2)对于是否存在型问题没有解题思路，从而无法作出辅助线，导致思路受阻．防范措施：(1)对于平面图形的折叠问题，一定要注意折叠前后的不变量与可变量，要有意识地注意折叠前后不变的垂直性与平行性．(2)对于是否存在型问题，首先要分析条件，看结论需要的条件已有哪些，分析欲使结论成立，还需要什么条件，结合所求，不难作出辅助线．【解析】在空间中，垂直于同一平面的两个平面可以平行，也可以相交，故(1)不正确；易知(2)正确；因为m为平面α内的一条直线，所以当α⊥β时，m与β可能平行或相交，当m⊥β时，必有α⊥β，故“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件，故(3)不正确；a，b是两条异面直线，P为空间中一点，若a⊥b，则过P可以作一个平面与a，b之一垂直，与另一个平行，若a，b不垂直，则不存在这样的平面，故(4)不正确．故填(2)．【答案】(2)2．(2012·福建高考)如图7－5－8，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M为棱DD1上的一点．(1)求三棱锥A－MCC1的体积；(2)当A1M＋MC取得最小值时，求证：B1M⊥平面MAC.1．(2012·安徽名校联考)给出下列结论：(1)在空间中，垂直于同一平面的两个平面平行；(2)设l，m是不同的直线，α是一个平面，若l⊥α，l∥m，则m⊥α；(3)已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的充要条件；(4)已知a，b是两条异面直线，P为空间中一点，过点P总可以作一个平面与直线a，b之一垂直，与另一个平行．其中正确的是________(请填上所有正确结论的序号)．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）任意一条相交平行两个半平面垂直于棱直二面角垂线垂直于交线平面上的射影90°和0°【答案】D【解析】如图所示：取BD的中点O连接A′O，CO，则∠A′OC是二面角A′—BD—C的平面角．A′OC＝90，又A′O＝CO＝，＝＝a，即折叠后AC的长(A′C)为a.4．下列命题中错误的是()如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β如果平面α⊥平面γ，平面βl，那么l⊥平面γ如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β(1)证明：PH⊥平面ABCD；(2)若PH＝1，AD＝，FC＝1，求三棱锥E－BCF的体积；3)证明：EF⊥平面PAB.

(2)如图，连接BH，取BH的中点G，连接EG.因为E是PB的中点，所以EG∥PH，且EG＝＝因为PH⊥平面ABCD，所以EG⊥平面ABCD.因为AB⊥平面PAD，AD平面PAD，所以AB⊥AD，所以底面ABCD为直角梯形，所以V－BCF＝＝·FC·AD·EG＝

(2013·大连模拟)如图7－5－2，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝(1)证明：PQ⊥平面DCQ；(2)求棱锥Q—ABCD的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值．

在直角梯形PDAQ中可得DQ＝PQ＝，则PQ⊥QD.又DQ∩DC＝D，所以PQ⊥平面DCQ.(2)设AB＝a.由题设知AQ为棱锥Q—ABCD的高，所以棱锥Q—ABCD的体积V＝由(1)知PQ为棱锥P—DCQ的高，而PQ＝，△DCQa2，所以棱锥P—DCQ的体积V＝故棱锥Q—ABCD的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值为1.(2012·课标全国卷)如图7－5－3，在三棱柱ABC－A中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90，AC＝BC＝，D是棱AA的中点．(1)证明：平面BDC平面BDC；(2)平面BDC分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．

(2)设棱锥B－DACC的体积为V，AC＝1.由题意得＝×＝又三棱柱ABC－A的体积V＝1，所以(V－V)∶V1＝1∶1.故平面BDC分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.

故BC⊥平面PBD，BC⊥DE.则DE⊥平PBC.

∵AD＝1，AB＝2，∠DAB＝60，＝又PD＝1，∴PB＝2.根据DE·PB＝PD·BD，得DE＝，即棱锥D—PBC的高为

【解】(1)证明在△ABD中，∵AB＝2，AD＝4，∠DAB＝60，＝＝2，又∵平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD＝BD，AB平面ABD，平面EBD，EBD，∴AB⊥DE.(2)由(1)知AB⊥BD，CD∥AB，，从而DE⊥BD.在中，∵DB＝2，DE＝DC＝AB＝2，＝＝2又∵AB⊥平面EBD，BE平面EBD，∴AB⊥BE.∵BE＝BC＝AD＝4，＝＝4.，平面EBD⊥平面ABD，平面ABD，又AD平面ABD，∴ED⊥ADS△ADE＝＝4.综上，三棱锥E—ABD的侧面积S＝8＋22．证明线面垂直的方法(1)线面垂直的定义：a与α内任何直线都垂直；(2)判定定理1：；(3)判定定理2：a∥b，a⊥α；(4)面面平行的性质：α∥β，a⊥α；(5)面面垂直l，a，a⊥l3．边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则AC的长为()a B.a C.a D．a

(2012·广东高考)如图7－5－1所示，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中点，F是DC上的点且DF＝，PH为△PADAD边上的高．【思路点拨】(1)证PH⊥AB，PH⊥AD.(2)连接BH，取BH的中点G，证明EG⊥平面ABCD，且EG＝(3)取PA的中点M，连接MD，ME，证明MD⊥平面PAB，MD∥EF.(3)取PA中点M，连接MD，ME.因为E是PB的中点，所以ME綊又因为DF綊，所以ME綊DF，所以四边形MEFD是平行四边形，所以EF∥MD.因为PD＝AD，所以MD⊥PA.因为AB⊥平面PAD，所以MD⊥AB.因为PA∩AB＝A，所MD⊥平面PAB，所以EF⊥平面PAB.

【尝试解答】(1)因为∠DAB＝60，AB＝2AD，由余弦定理，BD＝，从而AB＝AD＋BD，故AD⊥BD，又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD，所以BD⊥平面PAD，故PA⊥BD.(2)如图，作DE⊥PB，垂足为E.已知PD⊥底面ABCD，则PD⊥BC.由(1)知BD⊥AD，又BC∥AD，【解】(1)由长方体ABCD－A知，平面CDD，点A到平面CDD的距离等于AD＝1.又S＝＝＝1，－MCC＝＝(2)证明将侧面CDD绕DD逆时针转90展开，与侧面ADD共面(如图)，当A，M，C′共线时，A＋MC取得最小值．由AD＝CD＝1，AA＝2，得M为DD的中点．连接A、B，在△C中，MC＝，MC＝，CC＝2，∴CC＝MC＋MC，得∠CMC＝90，即CM⊥MC又由长方体ABCD－A知，B平面CDD∴B1C1⊥CM.

又B＝C，∴CM⊥平面B，得CM⊥B同理可证，B又AM∩MC＝M，∴B平面MAC.