1．正弦定理和余弦定理1．在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的什么条件？“A＞B”是“cosA＜cosB”的什么条件？2．如何利用余弦定理来判定三角形中角A为锐角、直角、钝角？【提示】应判断b2＋c2－a2与0的关系；当b2＋c2－a2＞0时，A为锐角；当b2＋c2－a2＝0时，A为直角；当b2＋c2－a2＜0时，A为钝角．【解析】在△ABC中，易知B＝30°，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos30°＝4，∴b＝2.【答案】A3．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有()A．无解 B．两解C．一解 D．解的个数不确定5．△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为________．【思路点拨】(1)在已知等式中，利用正弦定理消去sinB，再化简求值；(2)由条件结构特征，联想到余弦定理，求cosB，进而求出角B.1．运用正弦定理和余弦定理求解三角形时，要分清条件和目标．若已知两边与夹角，则用余弦定理；若已知两角和一边，则用正弦定理．2．在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．判断三角形形状的方法：(1)利用正(余)弦定理实施边角转换；(2)通过三角变换找出角之间的关系；(3)通过代数变形找出边之间的关系，如因式分解．提醒：等式两边的公因式不要约掉，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．【思路点拨】(1)根据正弦定理边化角，把B用A、C表示，借助三角变换求A的值；(2)根据三角形面积和余弦定理列关于b、c的方程组求解．1．本例(1)中，利用sinB＝sin(A＋C)进行转化是解题的关键．本例(2)中选择公式建立方程是解题的突破口．2．选择使用余弦定理和面积公式时，一般选择角确定的一组．已知两边及一边的对角，利用正弦定理求其它边或角．可能有一解、两解、无解．判定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．从近两年的高考试题看，正弦定理、余弦定理是高考的热点，常与三角函数，三角恒等变换等交汇命题，题型多样，属中、低档题目．规范解答之六正、余弦定理在解三角形中的应用(12分)(2012·安徽高考)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有2sinBcosA＝sinAcosC＋cosAsinC.(1)求角A的大小；(2)若b＝2，c＝1，D为BC的中点，求AD的长．易错提示：(1)逆用公式意识不强，无法求得cosA.(2)应用余弦定理时，不会选择公式无法得到a，b，c之间的关系．防范措施：(1)熟练掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的正用、逆用及变形使用是解答三角函数题的基础，平时应加强训练，增强逆用公式的意识．(2)应用余弦定理时，一般选择角度已知的那一组公式．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）第七节正弦定理和余弦定理b2＋c2－2bc·cosAc2＋a2－2ca·cosB①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角．解决问题【答案】A【答案】B定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝2R a＝，＝，＝a＋b－2ab·
＝＝
2.三角形常用面积公式(1)S＝(ha表示边a上的高)；(2)S＝＝＝(3)S＝(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．acsinB
bcsinA
2．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60，则＝()B.C．－－【解析】由正弦定理，得＝＝＞b，A＝60，＜60°，＝＝【解析】∵b＝＝12＜18，＜a＜b，故此三角形有两解．4．(2012·福建高考)在△ABC中，已知∠BAC＝60，∠ABC＝45，BC＝，则AC＝________．【解析】根据正弦定理，得＝，故AC＝＝＝＝【答案】【解析】由余弦定理知AC＝AB＋BC－2AB·BC，即49＝25＋BC＋5BC，解得BC＝3.故S＝×5×3×＝【答案】【尝试解答】(1)由正弦定理，得a＝b，又asin＋b＝，＋b＝，即b＝，因此＝(2)由c＝b＋及余弦定理，得＝＝，()又由(1)知，b＝，∴b＝2a，因此c2＝(2＋)a2，c＝a＝a.
代入()式，得＝，又0＜B＜，所以B＝.
(2012·浙江高考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝osB.
(1)求角B的大小；(2)若b＝3，＝2，求a，c的值．【解】(1)由b＝及正弦定理＝，得＝所以＝，所以B＝(2)由＝2及＝，得c＝2a.由b＝3及余弦定理b＝a＋c－2ac，得9＝a＋c－ac.所以a＝，c＝2
(2013·合肥模拟)已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(4，－1)，n＝(，)，且m·n＝1)求角A的大小；(2)若b＋c＝2a＝2，试判断△ABC的形状．【解】(1)由已知，根据正弦定理得＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a＝b＋c＋bc.由余弦定理，a＝b＋c－2bc，＝－2bc，＝－又0＜A＜，∴A＝(2)由(1)知＝＋＋sin，＝(＋)2－又＋＝1，且＝，＝，因此＝＝又B、C∈(0，)，故B＝C.所以△ABC是等腰的钝角三角形.
(2012·课标全国卷)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acos＋－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为，求b，c.(2012·浙江高考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝，B＝(1)求的值；(2)若a＝，求△ABC的面积．【解】(1)因为0
又∵b＋c＝2，∴b＝2－c，代入①式整理得c－2＋3＝0，解得c＝，∴b＝，于是a＝b＝c＝，即△ABC为等边三角形．
【尝试解答】(1)由a＋－b－c＝0及正弦定理得＋－－＝0.因为B＝－A－C，所以－－＝0.由于，所以(A－)＝又0
【解题程序】第一步：逆用两角和的正弦公式求；第二步：根据A的范围求A；第三步：根据余弦定理求a，b，c的关系，从而得B＝；第四步：根据勾股定理求AD.1．(人教版教材习题改编)已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.若a＝c＝＋，且A＝75，则b＝(＋2－2－【提示】在△ABC中，A＞B＞b＞＞，∴A＞B是＞的充要条件，易知A＞B是＜的充要条件．1．(2012·安徽省“江南十校”高三联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，bc，已知a＝2，c＝2，1＋＝，则∠C等于()B．45°C．45°或135°D．60°【解析】由1＋＝和正弦定理得＝，∠A＝60，又由正弦定理得＝，＝又∵c＜a，∴∠C＜60，∴∠C＝45，故选 |
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