1．周期函数和最小正周期对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有______________，则称f(x)为周期函数，T为它的一个周期．若在所有周期中，有一个____的正数，则这个最小的正数叫做f(x)的________________．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质1．是否每一个周期函数都有最小正周期？【提示】不一定．如常数函数f(x)＝a，每一个非零数都是它的周期．2．正弦函数和余弦函数的图象的对称轴及对称中心与函数图象的关键点是什么关系？【提示】y＝sinx与y＝cosx的对称轴方程中的x都是它们取得最大值或最小值时相应的x.对称中心的横坐标都是它们的零点．1．求三角函数的定义域实际上是解三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．求解三角函数的值域(最值)的常见类型及方法．(1)形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)；(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；(3)形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求解．【思路点拨】(1)求定义域时考虑分母不为零，然后对f(x)解析式进行化简，转化成正弦型函数的形式，再求周期；(2)求单调递减区间时利用整体代换，把ωx＋φ当作一个整体放入正弦的减区间内解出x即为减区间，不要忽略对定义域．1．求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”．2．求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中，ω＞0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．【思路点拨】本题是一个开放性题目，依据正弦函数的图象及单调性、周期性以及对称性逐一判断．1．判断三角函数的奇偶性和周期性时，一般先将三角函数式化为一个角的一种三角函数，再根据函数奇偶性的概念、三角函数奇偶性规律、三角函数的周期公式求解．2．求三角函数的周期主要有三种方法：(1)周期定义；(2)利用正(余)弦型函数周期公式；(3)借助函数的图象．求三角函数值域(最值)的方法：(1)利用sinx、cosx的有界性；(2)化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sinx或cosx看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．从近两年高考试题看，三角函数的周期性、奇偶性、单调性、值域等是高考的热点内容，常与三角变换等知识交汇，在考查三角函数图象与性质的同时，注重考查三角变换的技能，及数形结合、转化与化归等数学思想．创新探究之四三角函数单调性的创新应用创新点拨：(1)题目背景创新，已知三角函数在给定区间上的单调性，求参数的取值范围，考查了学生的逆向思维．(2)解法创新，本题有多种解法，但每种解法都是建立在对三角函数的单调性深刻理解基础之上的．应对措施：(1)此类题目不管背景如何新颖，都是考查对基础知识的理解与掌握，求解时可从基础知识、基本方法入手．【答案】A【答案】A菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·理科数学（浙江专用）第三节三角函数的图象与性质f(x＋T)＝f(x)最小最小正周期x∈Rx∈R[－1，1][－1，1]R[2kπ，2kπ＋π]－1x＝kπ，k∈Z【答案】D【答案】A【答案】C【答案】＞函数 y＝＝＝ 图象 定义域 值域
x∈R且x≠＋k，k∈Z
单调性 递增区间是(k∈Z)，递减区间是(k∈Z) 递增区间是(k∈Z)，递减区间是(k∈Z) 递增区间是(k∈Z)
[2kπ－，2kπ＋]
[2kπ＋，2kπ＋]
[2kπ－，2kπ]
(kπ－，kπ＋)
最值ymax＝1；＝－1ymax＝1；＝无最大值 奇偶性 奇函数偶函数奇函数 对称性 对称中心 对称轴无对称轴 最小正周期 2 2π π
(kπ，0)，k∈Z
(，0)，k∈Z
1．(人教版教材习题改编)函数y＝的定义域为()π＋3k，k∈Z}．＋k，k∈Z}－＋k，k∈Z}．＋，k∈Z}【解析】由3x≠＋k，k∈Z得x≠＋，k∈Z，故选2．函数f(x)＝(x＋)是()最小正周期为2的奇函数最小正周期为2的偶函数最小正周期为2的非奇非偶函数最小正周期为的偶函数【解析】f(x)＝(x＋)＝(x＋)＝－，故f(x)是最小正周期为2的奇函数．3．(2012·福建高考)函数f(x)＝(x－)的图象的一条对称轴是()＝＝＝－＝－【解析】法一∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点，故令x－＝k＋，k∈Z，∴x＝k＋，k∈Z.取k＝－1，则x＝－法二x＝时，y＝(－)＝0，不合题意，排除；x＝时，y＝(－)＝，不合题意，排除；x＝－时，y＝(－－)＝－1，符合题意，项正确；而x＝－时，y＝(－－)＝－，不合题意，故项也不正确．4．比较大小：sin(－)________(－)．【解析】∵－＜－＜－＜0，(－)＞(－)．
5．函数y＝2－3(x＋)的最大值为________，此时x＝________．【解析】当(x＋)＝－1时，函数有最大值5，此时，x＋＝＋2k，k∈Z，即x＝＋2k，k∈Z.【答案】5＋2k，k∈Z
(1)(2012·山东高考)函数y＝2(－)(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为()－．－1．－1－(2)函数y＝的定义域为________．【尝试解答】(1)∵0≤x≤9，∴－x－，(x－)∈[－，1]．[－，2]，∴y＋y＝2－(2)要使函数有意义，必须有，即故函数的定义域为{x|x≠＋k且x≠＋k，k∈Z}．【答案】(1)A(2){x|x≠＋k且x≠＋k，k∈Z
(2012·北京高考)已知函数f(x)＝(1)求f(x)的定义域及最小正周期；(2)求f(x)的单调递减区间．【尝试解答】(1)由得x≠k(k∈Z)，故f(x)的定义域为{x∈R|x≠k，k∈Z}．因为f(x)＝＝2(sinx－)
＝－－1＝(2x－)－1，所以f(x)的最小正周期T＝＝(2013·武汉模拟)已知函数y＝(－2x)，求：(1)函数的周期；(2)求函数在[－，0]上的单调递减区间．【解】由y＝(－2x)可化为＝－(2x－)．(1)周期T＝＝＝(2)令2k－－＋，k∈Z，得k－＋，k∈Z.所以x∈R时，y＝(－2x)的减区间为[k－，k＋]，k∈Z.取k＝－1，0可得函数在[－，0]上的单调递减区间为[－，－]和[－，0].
设函数f(x)＝(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)，给出以下四个论断：它的最x＝成轴对称图形；它的图象关于点(，0)成中心对称图形；在区间[－，0)上是增函数．以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________(用序号表示)．
1.若f(x)＝Ax＋φ)(A，ω≠0)，则(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋k(k∈Z)；(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝k(k∈Z)．对称性：正、余弦函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形且最值点在对称轴上，正切函数的图象只是中心对称图形．(2012·课标全国卷)已知ω>0，函数f(x)＝(ωx＋)在(，)上单调递减，则ω的取值范围是()[，]．[，]C．(0，]．(0，2]【解析】由＜x＜得＋＜ωx＋＜＋，由题意知(＋，＋)[，]，，∴，故选(2)解答本题时，可根据x的范围求出ωx＋的范围，再与单调减区间[，]相比较求解；也可先求f(x)的单调减区间，，)与单调减区间的关系求解．(kπ＋，0)，k∈Z
x＝k＋，k∈Z
【思路点拨】(1)先确定－的范围，再数形结合求最值；(2)由－1≠0且x≠k＋，k∈Z求解．(2)函数y＝的单调递增区间为[2kπ－，2k＋](k∈Z)．由2k≤2x－＋，x≠k(k∈Z)，得k－x≤kπ＋，x≠k(k∈Z)．所以f(x)的单调递增区间为[k－，k)和(k，k＋](k∈Z)．【尝试解答】若①、②成立，则ω＝＝2；令2·＋φ＝k＋，k∈Z，且|φ|＜，故k＝0，∴φ＝此时f(x)＝(2x＋)，当x＝时，(2x＋)＝＝0，
∴f(x)的图象关于(，0)成中心对称；又f(x)在[－，]上是增函数，∴在[－，0)上也是增函数，因此①②，用类似的分析可得①③因此填①②或①③【答案】①②或①③
2．(2012·陕西高考)函数f(x)＝A(ωx－)＋1(A>0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为(1)求函数f(x)的解析式；(2)设α∈(0，)，f()＝2，求α的值．【解】(1)∵函数f(x)的最大值为3，∴A＋1＝3，即A＝2.函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，最小正周期T＝，∴ω＝2，∴函f(x)的解析式为y＝2(2x－)＋1.(2)∵f()＝2(α－)＋1＝2，(α－)＝，∴－－，－＝，∴α＝
(1)函数y＝的定义域为________．(2)当x∈[，]时，函数y＝3－－的最小值是________，最大值是________．【解析】(1)由－1≥0得，∴2k＋＋，k∈Z，故函数的定义域为[2k＋，2k＋](k∈Z)．(2)∵x∈[，]
∴－，又y＝3－－＝－＋1＝2(－)＋，当＝时，y＝，当＝1或－时，y＝2.【答案】(1)[2k＋，2k＋](k∈Z)(2)2
(2012·黄冈质检)定义运算：＝a－a，将函数f(x)＝的图象向左平移m个单位(m＞0)，若所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值为()
【解析】由题意可得f(x)＝＋＝(x＋)，平移后，令函数解析式为g(x)＝(x＋＋m)，
若函数y＝g(x)为偶函数，则必有＋m＝k＋(k∈Z)，即m＝k＋(k∈Z)，又m＞0，故取k＝0可得m的最小值为1．(2013·沈阳模拟)已知函数f(x)＝(ω＞0)在区间[－，]上的最小值为－2，则ω的取值范围是()[6，＋∞)．[，＋∞)[3，＋∞)．[2，＋∞)【解析】由－得－ω，ω≤－，∴ω≥ |
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