1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示3.由y＝sinx的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的图象(1)先平移后伸缩(2)先伸缩后平移1．五点作法作y＝Asin(ωx＋φ)的图象，首先确定哪些数据？2．在图象变换时运用“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”两种途径，向左或向右平移的单位个数为什么不一样？(1)(2012·浙江高考)把函数y＝cos2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是()已知函数f(x)＝cos2x－2sinxcosx－sin2x.(1)将f(x)化为y＝Acos(ωx＋φ)的形式；(2)用“五点法”在给定的坐标中，作出函数f(x)在[0，π]上的图象．【思路点拨】(1)运用二倍角公式及两角和与差的余弦公式化为y＝Acos(ωx＋φ)的形式；(2)在表中列出[0，π]上的特殊点及两个区间端点，根据变化趋势画出图象．(2)列表：图象为：列表如下：画出图象如图所示．(1)(2013·无锡模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0)的部分图象如图3－4－3所示，则f(0)的值是________．【思路点拨】(1)观察函数f(x)的图象特征，可求A、T，根据图象过定点可求φ，最后求f(0)．(2)根据图象过点P(2，A)可求φ，根据周期可求点Q的横坐标，解直角三角形求A.如图3－4－5是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋2(A＞0，ω＞0)的图象的一部分，它的振幅、周期、初相各是()如图3－4－6为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m，60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面间的距离为h.(1)求h与θ间关系的函数解析式；(2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？【思路点拨】1．三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：一是已知三角函数模型，准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是合理建模．2．建模的方法是，认真审题，把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程．以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦曲线波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元，而该商品在商店的销售价格是在8元基础上按月份随正弦曲线波动的，并且已知5月份销售价最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设某商店每月购进这种商品m件，且当月售完，请估计哪个月盈利最大？并说明理由．从近两年的高考试题来看，函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的平移和伸缩变换以及根据图象确定A、ω、φ的问题是高考的热点，题型多样，难度中低档．主要考查识图、用图能力；同时考查利用三角公式进行三角恒等变换的能力，以及函数与方程、数形结合等数学思想．规范解答之四三角函数与平面向量的交汇问题【答案】C菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）第四节函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的应用【答案】A【答案】C【答案】D【答案】D【答案】C【答案】(1)A(2)C【答案】(1)D(2)Dy＝A(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，x≥0)
表示一个振动量时振幅周期频率相位初相 A T＝＝＝＋φ φ
1．(人教版教材习题改编)已知简谐运动f(x)＝(x＋φ)(|φ|＜)的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为()＝6，φ＝＝6，φ＝＝6，φ＝＝6，φ＝【解析】由题意知f(0)＝＝1，∴＝，又|φ|＜，∴φ＝，又T＝6，故选2．把y＝x的图象上点的横坐标变为原来的2倍得到＝的图象，则ω的值为() D．2
【解析】横坐标变为原来的2倍，则x变为，故得到的函数解析式为y＝x，故选3．将函数y＝的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所得图象上所有的点向右平行移动个单位，得到图象的函数解析式为()＝(2x－)．＝(2x－)＝(x－)．＝(x－)【解析】将y＝的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到的图象解析式为y＝x，再把所得图象上所有点向右平移个单位，得到的图象解析式为y＝(x－)＝(x－)．【解析】由图象知A＝1，T＝4(－)＝，＝，ω＝2，排除，B，再由2×＋φ＝，得φ＝－5．(2012·安徽高考)要得到函数y＝(2x＋1)的图象，只要将函数y＝的图象()向左平移1个单位．向右平移1个单位向左平移个单位．向右平移个单位【解析】∵y＝(2x＋1)＝(x＋)，只要将函数ycos2x的图象向左平移个单位即可，故选(2)(2013·大连模拟)设ω＞0，函数y＝(ωx＋)＋2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是A.B.C.D．3【尝试解答】(1)f(x)＝－－＝－＝(－)
＝(2x＋)．2x＋ π π 2π π x 0 π π π π f(x) 1 0 － 1
已知函数f(x)＝(2x＋)．(1)求函数y＝f(x)的单调递增区间；(2)画出y＝f(x)在区间[0，]上的图象．【解】(1)由2k－＋＋(k∈Z)得k－＋(k∈Z)，所求单调增区间为[k－，k＋](k∈Z)．(2)∵0≤x≤π，∴＋.
2x＋ π 2π x 0 π y 1 0 －1 0
【尝试解答】(1)以圆心O为原点，建立如图所示的直角坐标系，则以Ox为始边，OB为终边的角为θ－故点B的坐标为(4.(θ－)，4.8sin(θ－))，∴h＝5.6＋4.(θ－)．(2)点A在圆上转动的角速度是，故t秒转过的弧度数为，＝5.6＋4.(t－)，t∈[0，＋∞)．到达最高点时，h＝10.4由(t－)＝1且用时最少得－＝，＝30，∴缆车到达最高点时，用的时间最少为30秒．
【解】6月份盈利最大，由条件可得：出厂价格y与月份x的函数关系式为y＝(x－)＋6(1≤x≤12且x∈Z)销售价格y与月份x的函数关系式为＝(x－)＋8(1≤x≤12且xZ)
则利润函数关系式为：＝m(y－y)
＝m[(x－)＋8－(x－)－6]＝m(2－2x)(1≤x≤12且x∈Z)所以，当x＝6时，y＝(2＋2)m，即6月份盈利最大．在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A＝，b＝，ω由周期T确定，即由＝T求出，φ由特殊点确定．由y＝的y＝A(ωx＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω＞0)个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的．(12分)(2012·山东高考)已知向量m＝(，1)，nAcosx，2x)(A>0)，函数f(x)＝m·n的最大值为6.(1)求A；(2)将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在[0，]上的值域．【规范解答】(1)f(x)＝m·n＝＋＝A(sin2x＋cos2x)＝A(2x＋).····4分因为A>0，由题意知A＝6.6分(2)由(1)得f(x)＝6(2x＋)．将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位后得到y＝6[2(x＋)＋]＝6sin(2x＋)的图象；8分再将得到的图象上各点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到y＝6(4x＋)的图象.10分因此g(x)＝6(4x＋)．因为x∈[0，]，所以4x＋[，]，故g(x)在[0，]上的值域为[－3，6].12分【解题程序】第一步：写出f(x)并化简；第二步：根据A＞0求A；第三步：写出f(x)的图象向左平移个单位后的图象解析式；第四步：写出横坐标缩短为原来的倍后的图象解析式；第五步：根据x的范围计算4x＋的范围；第六步：写出g(x)的值域．易错提示：(1)伸缩变换时，弄错x的系数，错得g(x)＝(x＋)．(2)误以为g(x)在[0，]上单调致错．防范措施：(1)伸缩变换时，只是x的系数发生变化，横坐标缩短为原来的倍，则x变为2x，其他量不变．(2)求y＝A(ωx＋φ)的值域问题，应先根据x的范围，确定ωx＋φ的范围，再数形结合1．(2012·天津高考)将函数f(x)＝(其中ω>0)的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点(，0)，则ω的最小值是()．．【解析】根据题意平移后函数y＝(x－)，将(，0)代入得＝0，则ω＝2k，k∈Z，且ω>0，故ω的最小值为2.2．(2012·课标全国卷)已知ω>0，0<φ<，直线x＝和＝是函数f(x)＝(ωx＋φ)图() B. C. D.
【解析】由题意得周期T＝2(－)＝2，＝，即ω＝1，(x)＝(x＋φ)，()＝(＋φ)＝±1.，∴＋π，＋＝，∴φ＝4．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)的部分图象如图3－4－1所示，则()＝1，φ＝＝1，φ＝－＝2，φ＝＝2，φ＝－【思路点拨】(1)写出变换后的函数解析式，再根据图象变换找图象；(2)平移后与原图象重【尝试解答】(1)y＝＋1＝＋1＝(x＋1)＋1＝(x＋1)．结合选项可知应选(2)设函数的周期为T，由题kT＝，k∈Z，＝，∴ω＝，k∈Z，又ω＞0，∴k＝1时，ω有最小值，故选对y＝A(ωx＋φ)进行图象变换时应注意以下两点：
(1)平移变换时，x变为x±a(a＞0)，变换后的函数解析式为y＝A[ω(x±a)＋φ]；(2)伸缩变换时，x变为(横坐标变为原来的k倍)，变换后的函数解析式为y＝A(x＋φ)．1．寻找[0，]上的特殊点时，可先求出2x＋的范围，在此范围内找出特殊点，再求出对应的x值．
．用“五点法”作图应注意四点：(1)将原函数化为y＝A(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)或y＝A(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的形式；(2)求出周期T＝；(3)求出振幅A；(4)列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点和区间端点．【尝试解答】(1)由题图知A＝，＝－＝，T＝，又T＝，∴ω＝2，根据函数图象的对应关系，得2×＋φ＝2k＋，∴φ＝2k＋，k∈Z.令k＝0，取φ＝，函数解析式为f(x)＝(2x＋)，(0)＝＝(2)由题意知，A(×2＋φ)＝A，∴in(＋φ)＝1，又0＜φ＜，∴φ＝，∵∠PRQ＝，∴∠xRQ＝，周期T＝12，∴Q(8，－A)，＝，∴A＝2，因此函数f(x)的最大值为2，φ＝，故选【答案】(1)(2)
1．求参数φ是确定函数解析式的关键，由特殊点求φ时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点．
．用五点法求φ值时，往往以寻“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时ωx＋φ＝0.“第二点”(即图象的“峰点”)时，ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时ωx＋φ＝；“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝；“第五点”时ωx＋φ＝2A．A＝3，T＝，φ＝－．＝1，T＝，φ＝＝1，T＝，φ＝－＝1，T＝，φ＝－【解析】由图象知，A＝＝1，＝－＝，＝，ω＝，由＋φ＝＋2k，得φ＝－＋2k，k∈Z，令k＝0得φ＝－，故选【提示】先确定ωx＋φ，即先使ωx＋φ等于0，，，，2，然后求出x的值．【提示】可以看出，前者平移|φ|个单位，后者平移|个单位，原因在于相位变换和周期变换都是针对变量x而言的，因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误．(1)(2013·济南模拟)要得到函数y＝(2x－)的图象，只需将函数y＝的图象()向左平移个单位．向右平移个单位向左平移个单位．向右平移个单位(2)已知函数y＝f(x)图象上每个点的纵坐标保持不变，将横坐标伸长到原来的2倍，然后将整个图象沿x轴向左个单位，得到的图象与y＝的图象相同，则y＝(x)的函数表达式为()＝sin(x－)B．＝sin2(x＋)
C．y＝sin(x＋)D．＝sin(2x－)
【解析】(1)∵y＝(2x－)＝(x－)，只需将函数y＝的图象向右平移个单位即可．(2)将函数y＝的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为y＝(x－)，再把得到的图象横坐标缩短到原来的后得到的图象解析式为y＝(2x－)，故选(2)(2013·厦门模拟)已知函数f(x)＝A(x＋φ)(A＞0，0＜φ＜)的部分图象如图3－4－4所示，P、Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为(2，A)，点R的坐标为(2，0)．若∠PRQ＝，则y＝f(x)的最大值及φ的值分别是()，，，， |
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