第二节平面向量的基本定理及坐标运算1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个__________向量，那么对于该平面内任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝_______________．2．平面向量的正交分解把一个向量分解为两个___________的向量，叫做把向量正交分解．4．平面向量的坐标运算【提示】不正确．求两向量的夹角时，两向量起点应相同，向量a与b的夹角为π－∠ABC.【解析】②中，e2＝2e1，e1与e2共线；③中e1＝4e2，e1与e2共线，故选A.【答案】A2．若a＝(3，2)，b＝(0，－1)，则2b－a的坐标是()A．(3，－4) B．(－3，4)C．(3，4) D．(－3，－4)【解析】2b－a＝2(0，－1)－(3，2)＝(－3，－4)．【答案】D【解析】∵a∥b，∴4y－40＝0，∴y＝10.【答案】B【答案】A【答案】(1，2)(0，－1)1．解答本题的关键是根据平面向量基本定理列出关于λ，μ的方程组．2．(1)利用平面向量基本定理表示向量时，要选择一组恰当的基底来表示其他向量，即用特殊向量表示一般向量．常与待定系数法、方程思想紧密联系在一起解决问题．(2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用三角形法则进行向量的加减运算，在解题时，注意方程思想的运用．【思路点拨】利用向量的坐标运算及向量的坐标与其起点、终点坐标的关系求解．1．向量的坐标运算主要是利用向量加减、数乘运算的法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标，注意方程思想的应用．2．平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．【答案】(1)(－4，－2)(2)(－1，1)或(－3，1)1．两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；(2)若a∥b(a≠0)，则b＝λa.2．向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．从近两年高考试题来看，平面向量基本定理的应用、向量的坐标运算及共线向量的坐标表示是考查的重点，题型以客观题为主，常与三角函数、平面向量的数量积等知识结合命题，并且常考常新．【答案】(2－sin2，1－cos2)创新点拨：(1)以单位圆、角的弧度表示为背景，考查向量的坐标，同时考查学生的阅读理解和知识迁移能力．(2)以单位圆从一点运动到另一点为条件，考查学生观察和分析问题的能力．应对措施：(1)把待求问题和已知条件联系起来，分析它们之间的联系，寻找解决问题的方案．(2)分析单位圆的运动过程，从点P的运动轨迹，寻找解决问题的条件．【答案】A【答案】A菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）不共线λ1e1＋λ2e2互相垂直菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）3．平面向量的坐标表示(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底．对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x、y，使a＝xi＋yj，把有序叫做向量a的坐标，记作a＝，其中叫做a在x轴上的坐标，叫做a在y轴上的坐标．(2)设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是的坐标，即若＝(x，y)，则A点坐标为，反之亦成立(O是坐标原点)．(x，y)
(x，y)
x
y
终点A
(x，y)
1．(人教版教材习题改编)下列各组向量：①e＝(－1，2)，e＝(5，7)；②e＝(3，5)e2＝(6，10)；③e＝(2，－3)，e＝(，－)，能作为表示它们所在平面内所有向量基底的是()．．．3．已知a＝(4，5)，b＝(8，y)且a∥b，则y等于() D．15
4．(2012·广东高考)若向量＝(1，2)，＝(3，4)，则＝()(4，6)．(－4，－6)(－2，－2)．(2，2)【解析】∵＝＋，∴＝(1，2)＋(3，4)＝(4，6)．5．在平行四边形ABCD中，若＝(1，3)，＝(2，5)，则＝________，＝________．【解析】＝＝－＝(2，5)－(1，3)＝(1，2)，＝－＝(1，2)1，3)＝(0，－1)．(2013·扬州模拟)在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若＝＋，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________．【思路点拨】以，为基底分别表示，，，根据平面向量基本定理列方程组求解．【尝试解答】选择，作为平面向量的一组基底，则＝＋，＝＋，＝＋，又＝λ＋μ＝(＋μ)＋(λ＋)，所以λ＋μ＝【答案】
(2013·苏北四市模拟)如图4－2－1，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设＝a，＝b，若＝2，则＝________(用向量a和b表示)．【解析】由＝2知，AB∥DC且|＝2|，从而|＝2|＝(－)＝(a－b)，＝＋＝b＋(a－b)＝＋.
【答案】＋
已知O(0，0)，A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b，(1)求：3a＋b－3c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(3)求M、N的坐标及向量的坐标．【尝试解答】a＝＝(3－(－2)，－1－4)＝(5，－5)，＝＝(－3－3，－41))＝(－6，－3)，＝＝(－2－(－3)，4－(－4))＝(1，8)．(1)3a＋b－3c＝(15，－15)＋(－6，－3)－(3，24)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)由a＝mb＋nc，得(5，－5)＝(－6m，－3m)＋(n，8n)＝(－6m＋n，－3m＋8n)．(3)∵＝－＝3c，＝3c＋＝(3，24)3，－4)＝(0，20)．(0，20)．又∵＝－＝－2b，＝－2b＋＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，(9，2)．＝(9，－18)．
已知向量＝(3，1)，＝(－1，a)，a∈R.(1)若D为BC中点，＝(m，2)，求a、m的值；(2)若△ABC是直角三角形，求a的值．
【解】(1)因为＝(3，1)，1，a)，所以＝(＋)＝(1，)．又＝(m，2)，(2)因为△ABC是直角三角形，所A＝90或B＝90或C＝90当A＝90时，由，得3×(－1)＋1·a＝0，所以a＝3；当B＝90时，因为＝－＝(－4，a－1)，所以由，得3×(－4)＋1·a－1)＝0，所以a＝13；当C＝90时，由，得－1×(－4)＋a·(a－1)＝0，即a－a＋4＝0，因为a∈R，所以无解．综上所述，a＝3或13.
(1)(2013·长沙模拟)设向量a，b满足|a|＝2，b＝(2，1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________．(2)(2013·无锡模拟)若平面向量a，b满足|a＋b|＝1，a＋b平行于x轴，b＝(2，－1)，则a＝________．【思路点拨】(1)根据a与b的关系，设出a的坐标，再根据|a|＝2求解；(2)直接设出a的坐标，根据条件列方【尝试解答】(1)∵a与b的方向相反且b＝(2，1)，设a＝λb＝(2λ，λ)，λ＜0，又|a|＝2，＋λ＝20，即λ＝4，又λ＜0，∴λ＝－2，因此a＝(－4，－2)．(2)设向量a＝(m，n)，则a＋b＝(m＋2，n－1)，＋b|＝1，且a＋b平行于x轴，因此a＝(－1，1)a＝(－3，1)．(1)已知向量a＝(1，2)，b＝(1，0)，c＝(3，4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝()．．(2)已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，若点A、B、C能构成三角形，则实数m满足的条件是________．【解析】(1)∵a＝(1，2)，b＝(1，0)，＋λb＝(1，2)＋λ(1，0)＝(1＋λ，2)，由于(a＋λb)∥c，且c＝(3，4)，(1＋λ)－6＝0，解得λ＝(2)因为＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，所以＝(3，1)，＝(－m－1，－m)．由于点A、B、C能构成三角形，所以与不共线，而当与共线时，有＝，解得m＝，故当点A、B、C能构成三角形时实数m满足的条件是m≠【答案】(1)(2)m≠向量坐标与点的坐标的区别：在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量＝a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与a的坐标统一为(x，y)，但应注意其表示形式的区别，如点A(x，y)，向量a＝＝(x，y)．当平面向量平行移动到时，向量不变，即＝＝(x，y)，但的起点O和终点A的坐标都发生了变化．1.要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．若a＝(x，y)，b＝(x，y)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x，y有可能等于0，所以应表示为x－x＝0.
创新探究之五以三角函数和向量为背景的创新题(2012·山东如图4－2－2，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P的位置在(0，0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2，1)时，的坐标为________．【解析】设圆心运动到C时，圆与x轴的切点为D，则弧PD长为2，所以∠PCD＝2，点P的横坐标为2－(2－)＝2－，
点P的纵坐标为1＋(2－)＝1－，所以点P坐标为(2－，1－2)，即的坐标为(2－，1－)．1．(2012·广东高考)若向量＝(2，3)，＝(4，7)，则＝()(－2，－4)．(2，4)(6，10)．(－6，－10)【解析】∵＝(4，7)，∴＝(－4，－7)．＝＋，＝(2，3)＋(4，－7)＝(－2，－4)．2．(2013·南昌模拟)已知向量m＝(2，0)，n＝(，)．在△ABC中，＝2m＋2n，＝2m－6n，D是BC边的中点，则|等于()B．4C．6D．8【解析】由题意知＋＝2，∴＝(＋)＝2m－2n＝2(2，0)－2(，)＝(1，－)．|＝＝2.1．在△ABC中，设＝a，＝b，则向量a与b的夹角为∠ABC是否正确？2．若a＝(x，y)，b＝(x，y)，则a∥b的充要条件能不能＝？【提示】不能．因为当b＝(0，0)时，有a∥b，但此时不能写成＝的形式． |
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