第三节平面向量的数量积1．平面向量的数量积(1)数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则向量a与b的数量积是数量__________，记作a·b，即a·b＝___________．规定：零向量与任一向量的数量积为_______．(2)向量的投影：设θ为a与b的夹角，则向量a在b方向上的投影是________；向量b在a方向上的投影是_________．(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与______________________________的乘积．2．平面向量数量积的运算律(1)交换律：a·b＝b·a；(2)数乘结合律：(λa)·b＝__________＝__________；(3)分配律：a·(b＋c)＝______________．3．平面向量数量积的性质及其坐标表示已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．1．若a·b＝b·c，则a＝c吗？【提示】不一定．b＝0时就不成立．2．(a·b)c＝a(b·c)一定成立吗？【提示】不一定成立．(a·b)c是与c平行的向量，a(b·c)是与a平行的向量．而a与c关系不确定，故(a·b)c＝a(b·c)不一定成立．3．你能根据数量积的定义证明：－|a||b|≤a·b≤|a||b|吗？【提示】设向量a与b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cosθ，∵0≤θ≤π，∴－1≤cosθ≤1，∴－|a||b|≤a·b≤|a||b|.【答案】C【解析】|a·b|＝|a||b||cosθ|，故B错误．【答案】B【答案】D【解析】a·b＝(1，－1)·(2，x)＝2－x＝1?x＝1.【答案】D5．已知a＝(1，－3)，b＝(4，6)，c＝(2，3)，则(b·c)a等于()A．(26，－78) B．(－28，－42)C．－52 D．－78【解析】∵b·c＝4×2＋6×3＝26，∴(b·c)a＝(26，－78)．【答案】A(2)如图所示，以AB，AD所在的直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，由于正方形边长为1，故B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)．又E在AB边上，故设E(t，0)(0≤t≤1)．【答案】(1)－16(2)11 (1)(2012·安徽高考)设向量a＝(1，2m)，b＝(m＋1，1)，c＝(2，m)．若(a＋c)⊥b，则|a|＝________．(2)(2013·郑州模拟)已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________．【思路点拨】(1)求出a＋c的坐标后，利用(a＋c)·b＝0求出m；(2)利用向量垂直的充要条件和数量积的定义建立关于k的方程，进而解方程求k的值．1．(1)非零向量垂直的充要条件：a⊥b?a·b＝0?|a＋b|＝|a－b|?x1x2＋y1y2＝0.(2)本例(2)中常见的错误是不能利用条件判定a·b≠－1，导致求解受阻．2．(1)a⊥b?a·b＝0是对非零向量而言的，若a＝0时，a·b＝0，但不能说a⊥b.(2)a⊥b?a·b＝0，体现了“形”与“数”的转化，用之可解决几何问题中的线线垂直问题．(2012·江西高考)设单位向量m＝(x，y)，b＝(2，－1)．若m⊥b，则|x＋2y|＝________．1．(1)在进行向量模与夹角的计算时，关键是求出向量的数量积，注意避免错用公式．如a2＝|a|2是正确的，而a·b＝|a||b|和|a·b|＝|a||b|都是错误的．(2)①研究向量的夹角应注意“共起点”；②由于两个非零共线向量有方向相同和方向相反两种情况，故它们的夹角分别是0°与180°.2．(1)求两向量的夹角，进而确定两直线的夹角时，要注意两者的区别与联系．(2)求向量的长度，进而可解决平面上两点间的距离，求线段的长度问题．两个非零向量垂直的充要条件：a⊥b?a·b＝0.向量的数量积运算、向量的垂直是高考考查的热点，属中低档题目．平面向量数量积的计算，向量垂直条件与数量积的性质常以客观题形式命题；解答题以向量为载体，常与平面几何、三角函数、解三角形、解析几何知识交汇命题，主要考查运算能力及数形结合思想．【答案】D1．(2012·辽宁高考)已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是()A．a∥b B．a⊥bC．|a|＝|b| D．a＋b＝a－b【解析】因为|a＋b|＝|a－b|，所以(a＋b)2＝(a－b)2，即a·b＝0，故a⊥b.【答案】B【答案】A1.若a·b＞0，能否说明a和b的夹角为锐角？2．若a·b＜0，能否说明a和b的夹角为钝角？菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）|a||b|cosθ|a||b|cosθ0|a|cosθ|b|cosθb在a的方向上的投影|b|cosθλ(a·b)a·(λb)a·b＋a·c菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）结论 几何表示 坐标表示 模 |a|＝|＝数量积 a·b＝|a||b|a·b＝x＋y夹角 ＝＝a⊥b的充要条件 a·b＝0
x1x2＋y＝0
结论 几何表示 坐标表示 |a·b|与||b|的关系 |a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立) |x＋y
·
1．(人教版教材习题改编)已知向量a、b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为()
【解析】向量a、b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，设a与b的夹角为θ，则＝＝，∴θ＝2．已知向量a，b和实数λ，下列选项中错误的是()|＝·b|＝|a|·|b|(a·b)＝λa·b．·b|≤|a|·|b|
3．已知|a|＝4|b|＝3，a与b的夹角为120，则b在a方向上的投影为() C．－2．－【解析】b在a方向上的投影为|b|＝3×(－)＝－4．(2012·辽宁高考)已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若＝1，则x＝()－1．－ D．1
(1)(2012·浙江高考)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则＝________．(2)(2012·北京高考)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为________；的最大值为________．【思路点拨】(1)把，用，或表示；(2)建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示．【尝试解答】(1)如图所示，＝＋，＝＋＝－，∴·＝(＋)·(－)＝－＝|2－|＝9－25＝－16.则＝(t，－1)，＝(0，－1)．故＝1.又＝(1，0)，∴·＝(t，－1)·(1，0)＝t.又0≤t≤1，∴的最大值为1.1．平面向量的数量积的运算有两种形式，一是依据长度与夹角，二是利用坐标来计算．
．(1)要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量，如本题(1)中用、表示、等．(2)注意向量夹角的大小，以及夹角θ＝0，90，180三种特殊情形．应当注意：(1)向量数量积a·b中的“·”既不能省略，也不能写成“×”；(2)向量的数量积满足“交换律”、“分配律”，但不满足“结合律”．
【尝试解答】(1)a＋c＝(1，2m)＋(2，m)＝(3，3m)．(a＋c)⊥b，(a＋c)·b＝(3，3m)·(m＋1，1)＝6m＋3＝0，＝－＝(1，－1)，∴|a|＝(2)∵a与b是不共线的单位向量，∴|a|＝|b|＝1.又ka－b与a＋b垂直，∴(a＋b)·(ka－b)＝0，即ka＋ka·b－a·b－b＝0.－1＋ka·b－a·b＝0.即k－1＋k－＝0.(θ为a与b的夹角)(k－1)(1＋)＝0.又a与b不共线，－1，∴k＝1.【答案】(1)(2)1
【解析】设单位向量m＝(x，y)，则x＋y＝1，若m⊥b，则m·b＝0，即2x－y＝0，解得x＝，所以|x|＝，＋2y|＝＝【答案】
已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|；(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积．【思路点拨】→→
【尝试解答】(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，|2－4a·b－3|b|＝61.又|a|＝4，|b|＝3，64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6.＝＝＝－又0≤θ≤，∴θ＝(2)可先平方转化为向量的数量积．＋b|a＋b)＝|a|＋2a·b＋|b|＝4＋2×(－6)＋3＝13，＋b|＝(3)由(1)知，与的夹角θ＝，＝－＝又|＝|a|＝4，|＝|b|＝3，＝|||sin∠ABC＝＝3
(1)(2013·武汉模拟)若向量a＝(1，2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于()－
(2)(2012·课标全国卷)已知向量a，b夹角为45，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________．【解析】(1)2a＋b＝2(1，2)＋(1，－1)＝(3，3)，－b＝(1，2)－(1，－1)＝(0，3)，(2a＋b)·(a－b)＝9，|2a＋b|＝3，|a－b|＝3.设所求两向量夹角为α，则＝＝，＝(2)∵a，b的夹角为45，|a|＝1，·b＝|a|·|b|cos45°＝|，－b|＝4－4×|＋|b|＝10，∴|b|＝3【答案】(1)(2)31.数量积运算不满足消去律，若向量a，b，c满足a·b＝a·c(a0)，则不一定有b＝c.数量积运算不满足结合律，即(a·b)c≠a(b·c)，这是由于(a·b)c表示一个与c共线的向量，a(b·c)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，因此(a·b)c与a(b·c)不一定相等．领会向量夹角的概念，比如正三角形ABC中，与的夹角应为120，而不是60思想方法之八转化思想(2012·江西高考)在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝()．．．【解析】∵＝－，∴|＝－2＋＝－，∴|＝－2＋|2＋|＝(＋)－2(＋)22＝－2＋2又＝16，＝2，代入上式整理得|＋|2＝10|，故所求值为10.易错提示：(1)转化与化归思想意识不强，难以入手，盲目求解，无果而终．(2)运算过程中，对隐含条件＝2，＝16挖掘不够，无法正确解答本题．防范措施：(1)树立转化与化归意识，在平面向量数量积的计算过程中，对模和夹角均未知的向量一般是利用平面向量的加减和数乘运算，把未知向量转化为已知向量．(2)在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半．本题中出现斜边的中线这一条件，稍加联想不难发现隐含条件．2．(2012·天津高考)已知△ABC为等边三角形，AB＝2.设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R.若＝－，则λ＝() B.
C. D.
【解析】＝(＋)·(＋)＝[＋(1－λ)]·(＋λ)＝－，所以4λ－4λ＋1＝0，所以λ＝(2013·长沙模拟)在边长为1的正三角形ABC中，设＝2，＝3，则＝________．【解析】∵＝2，＝3，点D是线段BC的中点，点E是线段CA的三等分点，以向量，作为基向量，＝(＋)，＝－，·＝(＋)·(－)＝－－，又|＝|＝1，且〈，〉＝·＝－－|||cos＝－【答案】－
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