第四节平面向量应用举例2．向量在物理中的应用(1)向量的加法、减法在力的分解与合成中的应用．(2)向量在速度的分解与合成中的应用．(3)向量的数量积在合力做功问题中的应用：W＝f·s.3．向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)，解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题．过点(1，2)且与向量a＝(4，2)所在的直线平行的直线，其斜率与a的坐标有何关系？你能写出该直线的方程吗？【解析】由题意知f1＋f2＋f3＝0，∴f1＝－(f1＋f2)＝(0，－5)，∴|f3|＝5.【答案】D【答案】D【答案】D4．已知两个力F1、F2的夹角为90°，它们的合力F的大小为10N，合力与F1的夹角为60°，那么F1的大小为________．【答案】5N5．(2013·黄冈模拟)河水的流速为2m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为________．【答案】5平面几何问题的向量解法(1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．(2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解．【答案】9 如图4－4－1所示，已知力F与水平方向的夹角为30°(斜向上)，F的大小为50N，F拉着一个重80N的木块在摩擦因数μ＝0.02的水平平面上运动了20m，问F、摩擦力f所做的功分别为多少？【思路点拨】力在位移上所做的功，是向量数量积的物理含义，要先求出力F，f和位移的夹角．1．物理学中的“功”可看作是向量的数量积的原型．2．应善于将平面向量知识与物理有关知识进行类比．例如，向量加法的平行四边形法则可与物理中力的合成进行类比，平面向量基本定理可与物理中力的分解进行类比．3．用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向量运算解决问题；三是将结果还原为物理问题．【答案】A1．解答本题(1)的关键是把向量垂直转化为数量积为0，解答题(2)的前提是利用a·b的值求出cos(α－β)的值．2．平面向量与三角函数结合的题目的解题思路通常是将向量的数量积与模经过坐标运算后转化为三角问题，然后利用三角函数基本公式求解．实现平面向量与三角函数、平面几何与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算．从近两年的高考试题来看，用向量方法解决简单的平面几何问题，要求较低，但向量与三角函数、解析几何等知识交汇常常出现，平面向量在其中起一个穿针引线的作用．此类题目常以向量的运算为切入口，体现了向量的工具性作用．2．(2013·温州模拟)设向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)．(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；(2)求|b＋c|的最大值；(3)若tanαtanβ＝16，求证：a∥b.【解】(1)因为a与b－2c垂直，所以a·(b－2c)＝4cosαsinβ－8cosαcosβ＋4sinαcosβ＋8sinαsinβ＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，因此tan(α＋β)＝2.菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）用向量解决问题时，应注意数形结合思想和转化与化归思想的应用．一般是先画出向量示意图，把问题转化为向量问题解决．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）1．向量在几何中的应用(1)证明线段平行或点共线问题，常用共线向量定理：a∥b－x＝0(b≠0)．(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质：
a⊥b?______________?x1x2＋y＝0.(3)平面几何中夹角与线段长度计算，常用①〈a，b〉＝＝，②|AB|＝|＝＝a＝λb
a·b＝0
1．(人教版教材习题改编)已知三个力f，f，f作用于物体同一点，使物体处于平衡状态，若f＝(2，2)，f＝(－2，3)，则|f为()．．．2．已知O是△ABC所在平面上一点，若＝＝，则O是△ABC的()内心．重心．外心．垂心【解析】＝?·(－)＝0，·＝0同理：OA⊥BC，OC⊥AB，是△ABC的垂心．3．若＋＝0，则△ABC()钝角三角形．锐角三角形等腰直角三角形．直角三角形【解析】＋＝0可化为(＋)＝0，即＝0，所以.所以△ABC为直角三角形．(2013·潍坊模拟)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则＋3的最小值为________．【思路点拨】以直角顶点为原点建立平面直角坐标系，用参数表示出点P、C、B、A的坐标，进而表示出|＋3，然后转化为函数问题求解．【尝试解答】建立平面直角坐标系如图所示．设P(0，y)，C(0，b)，则B(1，b)，(2，0)，则＋3＝(2，－y)＋3(1，b－y)＝(5，3b－4y)．＋3＝25＋(3b－4y)(0≤y≤b)，当y＝时，|＋3最小，|＋3n＝5.(2013·西安模拟)已知△ABC的三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为AB边上任意一点，则(－)的最大值为________．【解析】法一(坐标法)以C为原点，建立平面直角坐标系如图，设P点坐标为(x，y)且0≤y≤3，0≤x≤4，则(－)＝＝(x，y)·(0，3)＝3y，当y＝3时，取得最大值9.法二(基向量法)∵＝＋，－＝，·(－)＝(＋)·＝＋＝9－
＝9－||·cos∠BAC＝9－3|，为正且为定值，当|最小即|＝0时，(－)取得最大值9.【尝试解答】设木块的位移为s，则F·s＝|F|·|s|＝50×20×＝500，在竖直方向上的分力大小为|sin30°＝50×＝25()，所以摩擦力f的大小为|f|＝(80－25)×0.02＝1.1()，所以f·s＝|f|·|s|＝1.1×20×(－1)＝－22，f所做的功分别是500，－22．
一质点受到平面上的三个力F、F、F(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F、F成60角，且F、F的大小分别为2和4，则F的大小为()．．．【解析】如图所示，由已知得F＋F＋F＝0，∴F3＝－(F＋F)．＝F＋F＋2
＝F＋F＋＝28.＝2(2013·潍坊模拟)设a＝(，(λ－1))，b＝(，)，(λ＞0，0＜α＜β＜)是平面上的两个向量，若向量a＋b与a－b互相垂直．(1)求实数λ的值；(2)若a·b＝，且＝，求的值．
【思路点拨】(1)利用(a＋b)⊥(a－b)得到|a|－|b|＝0，建立关于λ的方程求解．(2)根据a·b＝，求出(α－β)，然后求出(α－β)，再求【尝试解答】(1)由题设可得(a＋b)·(a－b)＝0，即|a|－|b|0，代入a，b坐标可得＋(λ－1)－－＝0.(λ－1)－in2α＝0，∵0＜α＜，∴，－2λ＝0，又λ＞0，∴λ＝2.(2)由(1)知，a·b＝＋＝(α－，＜α＜β＜，∴－＜α－β＜0，∴sin(α－β)＝－，(α－β)＝－＝[(α－β)＋β]＝＝＝＝
(2013·宁波模拟)已知O为坐标原点，向量＝(，1)，＝(，0)，＝(－，2)，点P满足＝(1)记函数f(α)＝，求函数f(α)的最小正周期；(2)若O、P、C三点共线，求|＋的值．【解】(1)＝(－，－1)，设＝(x，y)，则＝(x－，y)，由＝得x＝－，y＝－1，故＝(cosα－，－1)．＝(－，1)，＝(，－1)，(α)＝(－，1)·(1)
＝－－1＝－(＋)
＝－sin(2α＋)，(α)的最小正周期T＝(2)由O、P、C三点共线可得(－1)×(－)＝2×(－)，得＝，＝＝＝，＋＝＝＝规范解答之七平面向量在解析几何中的应用(12分)(2013·长沙模拟)已知平面上一定点(－1，0)和一定直线l：x＝－4，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且(＋2)·(－2)＝0.(1)求点P的轨迹方程；(2)点O是坐标原点，过点C的直线与点P的轨迹交于A，B两点，求的取值范围．【规范解答】(1)设P(x，y)，则Q(－4，y)，＝(－4－x，0)，＝(－1－x，－y)．(＋2)·(－2)＝0，∴－4＝0，∴||2＝4|2分(－4－x)＝4[(－1－x)＋(－y)]，整理得：＋＝1，即为点P的轨迹方程.4分(2)①当过点C的直线斜率不存在时，其方程为x＝－1.解得A(－1，－)，B(－1，)．此时＝－，5分当过点C的直线斜率存在时，设斜率为k，则直线AB的方程为y＝k(x＋1)．代入方程＋＝1，整理得(3＋4k)x2＋8k＋4k－12＝0.设A(x，y)，B(x，y)，则＋x＝－，x＝8分＝k(x1x2＋x＋x＋1)＝－·＝x＋y＝－
＝－－.······················10分k2≥0，∴－≤－＜0，∴·∈[－4，－)．综合①②知，的取值范围是[－4，－].12分【解题程序】第一步：设点P(x，y)，表示向量与；第二步：利用向量数量积与模的运算，得点P的轨迹方程；第三步：当斜率不存在即直线x＝－1时，求的值；第四步：当斜率k存在时，用参数k表示；第五步：利用函数的性质与不等式的性质求的取值范围；第六步：检验易错点，规范题目结论．易错提示：(1)不会对向量的条件进行转化，造成思维受阻，出现这种现象的原因是对平面向量代数化的思想理解不深刻．(2)忽略对过点C的直线斜率的讨论，导致解答不完整．变形能力差，部分同学虽得到＝－，却无法进一步求出其取值范围．防范措施：(1)加强坐标法的理解和运用，坐标法就是把向量的几何属性代数化，把对向量问题的处理程序化，从而降低了解决问题的难度．另外，坐标法又是实现把向量问题转化为代数问题的桥梁．因此我们要善于运用坐标法把几何问题、代数问题、向量问题进行相互转化．(2)通过向量的坐标运算把转化为关于k的函数，从而把求的取值范围问题转化为求函数的值域；根据式子的结构特征，分离法是较好的方法．1．(2012·江苏高考)如图4－4－2，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若＝，则的值是________．【解析】法一以A为坐标原点，AB，AD所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(，0)，E(，1)，(x，2)．故＝(，0)，＝(x，2)，＝(，1)，＝(x－，2)，∴＝(，0)·(x，2)＝又＝，∴x＝1，∴＝(1－，2)．·＝(，1)(1－，2)＝－2＋2＝法二设＝x，则＝(x－1)·＝(＋)＝(＋x)＝2＝2x，∴x＝＝＋＝＋(－1)·＝(＋)·[＋(－1)]＝(＋)[＋(－1)]＝(－1)＋＝(－1)×2＋＝【答案】(2)由b＋c＝(＋，－)，得＋c|＝＝.
又当β＝－＋k(k∈Z)时，等号成立，所以|b＋c|的最大值为4(3)证明由＝16得＝，即－＝0，所以a∥b.【提示】直线的斜率k＝＝，为a的纵坐标与横坐标的比值，∴直线方程为y－2＝(x－1)，即x－2y＋3＝0.【解析】如图所示．＝|F|＝10×＝5()．【解析】如图所示，υ表示河水的速度，υ表示小船在静水中的速度，υ表示小船的实际速度，则|υ＝＝＝2(【答案】2 |
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