第五节数列的综合应用1．解答数列应用题的步骤(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意．(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征．(3)求解——求出该问题的数学解．(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中．具体解题步骤用框图表示如下：2．数列应用题常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an＋1的递推关系，还是前n项和Sn与Sn＋1之间的递推关系．银行储蓄单利公式及复利公式是什么模型？【提示】单利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和an＝a(1＋rn)，属于等差模型．复利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和an＝a(1＋r)n，属于等比模型．1．(人教A版教材习题改编)等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，且4a1，2a2，a3成等差数列，则S4＝()A．7B．8C．15D．16【答案】C2．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要()A．6秒钟B．7秒钟C．8秒钟D．9秒钟【答案】B4．(2013·东城调研)已知{an}是等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N，则S10＝________．【答案】110【答案】41．(1)本题的切入点是求a1，从而得an与Sn的关系，转化成等比数列求通项公式；(2)递减的等差数列的前n项和有最大值，运用函数思想求解．2．等差数列与等比数列的联系：(1)若数列{an}是等差数列，则数列{aan}是等比数列，公比为ad，其中a是常数，d是{an}的公差．(a＞0且a≠1)．(2)若数列{an}是等比数列，且an＞0，则数列{logaan}是等差数列，公差为logaq，其中a是常数且a＞0，a≠1，q是{an}的公比．【思路点拨】(1)an与bn分别是两个等比数列的前n项和．(2)解不等式bn＞an，求n的最小值．1．解答本题时，理解题意是关键，其中an，bn是等比数列的前n项和，而非第n项．2．数列应用问题的核心是建立数学模型，往往从给出的初始条件入手，推出若干项，逐步探索数列通项或前n项和或前后两项的递推关系，从而建立等比数列模型．3．与等比数列联系密切的是“增长率”、“递减率”的概念，在经济上多涉及利润、成本、效益的增减问题；在人口数量的研究中也要研究增长率问题；金融问题更多涉及复利的问题，这都与等比数列有关．(2012·湖南高考)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年奖金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元．(1)用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式；(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)．数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角函数、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度，解决此类题目要重视知识的交汇．1.数列是一种特殊的函数，故应用函数的观点与思想认识数列．2．等差(或等比)数列是最基本、最重要的数列，有的数列常转化为等差或等比数列，然后应用等差、等比数列的相关知识解决问题．1.数列与函数方程相结合时主要考查函数的思想及函数的性质(多为单调性)．2．转化化归思想，an与Sn转化，一般数列与特殊数列的转化等．数列的综合应用是高考的重点内容，重点考查学生分析问题和解决问题的能力．从高考命题来看，本考点突出知识的交汇，题型多样，小题“以小见大”，解答题往往需运用数列与其他知识(方程、不等式、函数)综合解决，创新能力要求高，突出数学思想方法的考查．思想方法之十化归与转化思想在数列中的应用(2012·天津高考)已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝27，S4－b4＝10.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)记Tn＝anb1＋an－1b2＋…＋a1bn，n∈N，证明Tn＋12＝－2an＋10bn(n∈N)．易错提示：(1)错位相减求和，弄错数列的项数．(2)转换运算能力差，求错{an}，{bn}的通项公式，难以将{anbn}的前n项和转化为特殊数列求和．防范措施：(1)抓住数列的特征，正确计算，掌握一些特殊数列求和的方法．(2)在写出“Tn”与“qTn”的表达式时，注意将两式“错项对齐”，转化为等比数列求和．1．(2012·四川高考改编)设函数f(x)＝(x－3)3＋x－3，{an}是公差不为0的等差数列，f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a7)＝0，则a1＋a2＋…＋a7＝()A．0B．7C．14D.21【解析】∵y＝x3＋x是单调递增的奇函数，∴f(x)＝(x－3)3＋(x－3)关于点(3，0)对称，且是增函数，又∵{an}是等差数列，f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a7)＝0，∴f(a4)＝0，即(a4－3)3＋(a4－3)＝0，则a4＝3，于是a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝21.【答案】D菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）【解析】设数列{a的公比为q，则4a＝4a＋a3，＝4a＋a，即q－4q＋4＝0，∴q＝2.＝＝15.3．(2012·福建高考)已知△ABC的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为________．【解析】设三角形的三边长从小到大依次为a，b，c，由题意得b＝，c＝2a.在△ABC中，由余弦定理得＝＝＝－【答案】－5．若数列{n(n＋4)()}中的最大项是第k项，则k＝________．【解析】依题意a＋1且a－1，
解之得＋1，且k∈N，＝4.(2012·四川高考改编)已知数列{a的前n项和为S，常数λ＞0，a，且λa＝S＋S对一切正整数n都成立．(1)求数列{a的通项公式；(2)设λ＝100，当n为何值时，数列{}的前n项和最大？已知在公比为实数的等比数列{a中，a＝4，且a，a＋4，a成等差数列．(1)求数列{a的通项公式；(2)设数列{a的前n项和为S，求的最大值．
【解】(1)设数列{a}的公比为q(q∈R)，依题意可得2(a＋4)＝a＋a，即2(4q＋4)＝4q＋4q，整理得，(q＋1)(q－2)＝0.，∴q＝2，a＝1.数列{a的通项公式为a＝2－1(2)由(1)知，a＝2－1＝＝2－1，＝＝1＋，∴2－1≥1.∴1＋，当n＝1时，的最大值为3.
从社会效益和经济效益出发，某旅游县区计划投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，2012年投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加(1)设n年内(2012年为第一年)总投入为a万元，旅游业总收入为b万元，写出a，b的表达式；(2)至少经过几年，旅游业
【尝试解答】(1)第1年投入为800万元，第2年投入为800×(1－)万元，…，第n年投入为800×(1－)－1万元，所以，n年内的总投入为＝800＋800×(1－)＋…＋800×(1－)－1＝4000×[1－()]．
第1年旅游业收入400万元，第2年旅游业收入400×(1＋)万元，…，第n年旅游业收入400×(1＋)－1万元，所以，n年内的旅游业总收入为＝400＋400×(1＋)＋…＋400×(1＋)－1＝1600×[()－1]．
(2)设经过n年，总收入超过bn－a＞0，即1600×[()－1]－4000×[1－()]＞0，令x＝()，代入上式得5x－7x＋2＞0，解此不等式，得x＜，或x＞1(舍去)，即()＜，由此得n≥5.答：至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入．
在等比数列{a中，a＞0(n∈N)，公比q∈(0，1)，且a＋2a＋a＝25，又a与a的等比中项为2.(1)求数列{a的通项公式；(2)设b＝，求数列{b的前n项和S；(3)是否k∈N，使得＋＋…＋＜k对任意n∈N恒成立，若存在，求出k的最小值，若不存在，请说明理由．
【尝试解答】(1)∵a＋2a＋a＝25，＋2a＋a＝25，∴(a＋a)2＝25，又a＞0，∴a＋a＝5，又a与a的等比中项为2a3a5＝4，而q∈(0，1)，＞a，∴a＝4，a＝1，∴q＝，a＝16，＝16×()－1＝2－n【解析】设至少需要n秒钟，则1＋2＋2＋…＋2－1，≥100，∴n≥7.【思路点拨】(1)由a与S的关系，得a与a－1的递推公式，利用等比数列的定义求a；(2)根据等差(比)数列的性质，求{}前n项和的最值．【尝试解答】(1)当n＝1时，λa＝2S＝2a，，∴a，从而2a＝＋S，①
当n≥2时，2a－1＝＋S－1，②
由①－②，得2a－2a－1＝a，＝2a－1(n≥2)，故数列{a是公比为2，首项a＝的等比数列，因此a＝－1＝(2)当λ＝100时，令blg，由(1)知，b＝＝2－n，于是数列{b是公差为－的递减数列．＝＝>lg1＝0，当n≥7时，b＝＝
【解】(1)由题意a＝2000(1＋50)－d＝3000－d，＝a(1＋50%)－d＝a1－d＝4500－d.
an＋1＝a(1＋50)－d＝an－d.(2)由an＋1＝an－d，得an＋1－2d＝(an－2d)，－2d}是公比为的等比数列，则a－2d＝(3000－3d)·()－1，＝3000－3d)·()－1＋2d，又a＝4000，()m－1(3000－3d)＋2d＝4000，解得d＝＝故该企业每年上缴资金d的值为时，经过m(m≥3)年4000万元．【思路点拨】第(1)问由等比数列的性质转化为aa5与a的关系，求a与a进而求a；第(2)问先判断数列{b，再由求和公式求S；第(3)问由确定正负项，进而求＋＋…＋的最大值，从而确定k的最小值．(2)∵bn＝＝5－n，＋1－b1，＝＝＝＝4，是以b＝4为首项，－1为公差的等差数列，＝(3)由(2)知S＝，∴＝当n≤8时，＞0；当n＝9时，＝0；当n＞9时，＜0.当n＝8或9时，＋＋＋…＋＝18最大．故存在k∈N，使得＋＋…＋＜k对任意n∈N恒成立，k的最小值为19.
1．第(3)问求解，利用{的单调性，转化为求和的最大值．
．解决此类问题要抓住一个中心——函数，两个密切联系：一是数列和函数之间的密切联系，数列的通项公式是数列问题的核心，函数的解析式是研究函数问题的基础；二是方程、不等式与函数的联系，利用它们之间的对应关系进行灵活的处理．(2013·徐州模拟)已知数列{a，{b，其中a＝，数列{a的前n项和S＝n(n≥1)，数列{b满足b＝2，b＋1＝2b(1)求数列{a，{b的通项公式；(2)是否存在自然数，使得对于任意n∈N，n≥2，有1＋＋＋…＋＜恒成立？若存在，求出m的最小值．【解】(1)因为S＝n(n≥1)，当n≥2时，S－1＝(n－1)－1所以a＝S－S－1＝n－(n－1)－1所以(n＋1)a＝(n－1)a－1，即＝又a＝，所以a＝·…··a1
＝·…··
＝当n＝1时，a＝适合，故a＝(n∈N)．因为b＝2，b＋1＝2b，所以{b是首项为2，公比为2的等比数列，故b＝2(2)由(1)知，1＋＋＋…＋＝1＋＋＋…＋＝2－假设存在自然数，使得对于任意n∈N，n≥2，有1＋＋＋…＋＜恒成立，即2－＜恒成立．只需，解得m≥16.所以存在自然数，使得对于任意n∈N，n≥2，有1＋＋＋…＋＜恒成立，此时m最小值为16.【解析】由题意知，a＝a，∴(a－12)＝(a－4)(a－16)解得a＝20，∴S＝10×20＋(－2)＝110.【规范解答】(1)设等差数列{a的公差为d，等比数列{b的公比为q.由a＝b＝2，得a＝2＋3d，b＝2q，S＝8＋6d.由条件，得方程组解得所以a＝3n－1，b＝2，n∈N.
(2)法一由(1)得T＝2a＋2－1＋2－2＋…＋2，①＝2＋2－1＋…＋2＋2＋1－①，得＝－2(3n－1)＋3×2＋3×2＋…＋3×2＋2＋2＝＋2＋2－6n＋2＝10×2－6n－10.而2an＋10b－12＝－2(3n－1)＋10×2－12＝10×2－6n－10，故T＋12＝－2a＋10b，n∈N.
法二(1)当n＝1时，T＋12＝a＋12＝16，－2a＋10b＝16，故等式成立；(2)假设当n＝k时等式成立，即T＋12＝－2a＋10b，则当n＝k＋1时有＋1＝a＋1＋ab2＋a－1＋…＋a＋1＝a＋1b＋q(a＋a－1＋…＋a)
＝a＋1＋qT＝a＋1＋q(－2a＋10b－12)＝2a＋1－4(a＋1－3)＋10b＋1－24＝－2a＋1＋10b＋1－12，即T＋1＋12＝－2a＋1＋10b＋1因此n＝k＋1时等式也成立．由1)和(2)，可知对任意n∈N，T＋12＝－2a＋10b成立．2．(2012·安徽两所名校联考)设S为数列{a的前n项和，若(n∈N)是非零常数，则称该数列为“和等比数列”，若数列{c是首项为2，公差为d(d≠0)的等差数列，且数列{c是“和等比数列”，则d＝________．【解析】由题意可知，数列{c的前n项和为Sn＝，前2n项和为S＝，所以＝＝2＋＝2＋因为数列{c是“和等比数列”，即为非零d＝4.【答案】4 |
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