第一章第二节

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以____________的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做_________，判断为假的语句叫做__________．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系：(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有_______的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性_______________．3．充分条件与必要条件(1)如果p?q，则p是q的_____条件，q是p的_____条件．(2)如果p?q，那么p与q互为_____________．(3)如果pD/?q，且qD/?p，则p是q的_______________________．1．“命题的否定”就是“否命题”这种判断是否正确？为什么？【提示】不正确，①概念不同，命题的否定是直接对命题的结论否定；否命题是对原命题的条件和结论分别否定．②构成不同，对于“若p，则q”形式的命题，命题的否定为“若p，则綈q”；其否命题是“若綈p，则綈q”，③真值不同，命题的否定与原命题真假相反；而否命题与原命题真假无关．2．命题“若p，则q”的逆命题为真，逆否命题为假，则p是q的什么条件？1．(人教A版教材习题改编)下列命题正确的是()①“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件；②“|a|＞|b|”是“a2＞b2”的必要条件；③“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件；④“a＞b”是“ac2＞bc2”的充要条件．A．②④B．②③C．②③④D．③④【解析】由于|a|＞|b|?a2＞b2，a＞b?a＋c＞b＋c，故②③正确．由于a＞bD/?a2＞b2，且a2＞b2D/?a＞b，故①错；当c2＝0时，a＞bD/?ac2＞bc2，故④错．【答案】B【答案】C3．命题“若a＞－3，则a＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4【解析】原命题正确，从而其逆否命题正确；其逆命题为“若a＞－6，则a＞－3”是假命题，从而其否命题也是假命题，故选B.【答案】B4．(2012·天津高考)设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】若φ＝0，则f(x)＝cosx是偶函数，但是若f(x)＝cos(x＋φ)是偶函数，则φ＝π也成立．故“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的充分而不必要条件．【答案】A (1)命题p：“若a≥b，则a＋b＞2012且a＞－b”的逆否命题是()A．若a＋b≤2012且a≤－b，则a＜bB．若a＋b≤2012且a≤－b，则a＞bC．若a＋b≤2012或a≤－b，则a＜bD．若a＋b≤2012或a≤－b，则a≤b(2)下列命题中为真命题的是()A．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题B．命题“x＞1，则x2＞1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2＞0，则x＞1”的逆否命题【思路点拨】(1)直接根据逆否命题的定义写出，但应注意“且”的否定是“或”．(2)分清命题的条件与结论，写出原命题的逆命题、否命题后再判断真假．【尝试解答】(1)“且”的否定是“或”，根据逆否命题的定义知，逆否命题为“若a＋b≤2012或a≤－b，则a＜b”，故选C.(2)A中逆命题为“若x＞|y|，则x＞y”是真命题；B中否命题为“若x≤1，则x2≤1”是假命题；C中否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”是假命题；D中原命题是假命题，从而其逆否命题为假命题．【答案】(1)C(2)A1．本例(1)中应注意“且”的否定是“或”，本例(2)中可利用原命题与逆否命题同真假来判断．2．(1)在判断四种命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再考查每个命题的条件与结论之间的关系．(2)当一个命题有大前提而需写出其他三种命题时，必须保留大前提不变．3．判定命题为真，必须推理证明；若说明为假，只需举出一个反例．互为逆否命题是等价命题，根据需要，可相互转化．(1)命题“若x、y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是()A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数(2)(2013·启东模拟)已知命题p：若a＞0，则方程ax2＋2x＝0有解，则其原命题、否命题、逆命题及逆否命题中真命题的个数为________．【解析】(1)“x＋y是偶数”的否定为“x＋y不是偶数”，“x，y都是偶数”的否定为“x，y不都是偶数”．因此其逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”．故选C.(2)命题p是真命题，从而其逆否命题也是真命题；命题p的逆命题是“若方程ax2＋2x＝0有解，则a＞0”是假命题，从而命题p的否命题也是假命题，故真命题的个数为2.【答案】(1)C(2)2【思路点拨】(1)把条件和结论转化为x的取值范围，通过集合间的关系来判断．(2)根据BA可求m的值，取其中的一个m值即可．【答案】(1)B(2)m＝0(答案不唯一)充分、必要条件的判断方法．(1)命题判断法：通过判断p?q与q?p是否成立确定p是q的什么条件．(2)集合判断法：建立命题p，q相应的集合p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}，那么从集合的观点看，①若A?B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件；②若B?A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件；③若A?B且B?A，即A＝B，则p是q的充要条件．下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是()A．a＞b＋1 B．a＞b－1C．a2＞b2 D．a3＞b3【解析】由a＞b＋1，且b＋1＞b，得a＞b；反之不成立．故选A.【答案】A (2013·大同模拟)设命题p：2x2－3x＋1≤0；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．【思路点拨】先解不等式把命题p、q具体化，再由互为逆否命题的等价性确定p、q之间的关系，最后根据集合的关系列不等式求解．1．本题也可先求出綈p，綈q，再根据綈p、綈q之间的关系，确定集合间的关系求解．2．解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．3．注意利用转化的方法理解充分必要条件：若綈p是綈q的充分不必要(必要不充分、充要)条件，则p是q的必要不充分(充分不必要、充要)条件．“A是B的充分不必要条件”中，A是条件，B是结论；“A的充分不必要条件是B”中，B是条件，A是结论．在进行充分、必要条件的判断中，要注意这两种说法的区别．1.逆命题与否命题互为逆否命题；2．互为逆否命题的两个命题同真假．充分条件、必要条件的判断方法1．定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p?q”为真，则p是q的充分条件．2．等价法：利用p?q与綈q?綈p，q?p与綈p?綈q，p?q与綈q?綈p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A?B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．从近两年高考命题来看，本节多是对充要条件的考查，少数涉及到四种命题及其真假判断，题型以客观题为主，属中、低档题，内容以数学概念、几何定理、函数或不等式的性质为载体，主要考查逻辑推理能力．常见错误是充要条件的两种不同的叙述方式不清致误． (2012·山东高考)设a＞0且a≠1，则“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【错解】“函数f(x)＝ax在R上是减函数”的充要条件是p：0＜a＜1.因为g′(x)＝3(2－a)x2，而x2≥0，又因为a＞0且a≠1，所以“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的充要条件是0＜a＜2且a≠1.故“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的必要不充分条件，故选B.【答案】B错因分析：(1)错选B，究其原因是将“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”混淆，导致颠倒充分性与必要性．(2)不会用集合法判断充要条件．防范措施：(1)在判断充要条件的问题中，“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”这两种叙述的含义是不同的，“p的一个充分不必要条件是q”等价于“q是p的充分不必要条件”，解决此类问题时应先将问题转化为第一种基本的叙述方式，然后再进行判断．(2)设p，q对应的集合分别为A，B，则p，q之间的关系可转化为相应的两个集合之间的关系，“函数f(x)＝ax在R上是减函数”为真时，a的取值集合A＝(0，1)；“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”为真时，a的取值集合B＝(0，1)∪(1，2)．显然AB，故p是q的充分不必要条件．【正解】“函数f(x)＝ax在R上是减函数”的充要条件是p：0＜a＜1.因为g′(x)＝3(2－a)x2，而x2≥0，所以“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的充要条件是2－a＞0，即a＜2.又因为a＞0且a≠1，所以“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的充要条件是q：0＜a＜2且a≠1.显然p?q，但qD/?p，所以p是q的充分不必要条件，即“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的充分不必要条件，故选A.【答案】A1．(2012·北京高考)设a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】当a＝0，且b＝0时，a＋bi不是纯虚数；若a＋bi是纯虚数，则a＝0.故“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要而不充分条件．【答案】B2．(2013·西安模拟)设n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________．【答案】3或4易错辨析之一两种不同的叙述方式不清致误菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）判断真假真命题假命题相同没有关系充分必要充要条件既不充分又不必要条件【提示】由逆命题为真，知qp；逆否命题为假，知pq；故p是q的必要不充分条件．【答案】[9，＋∞)菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）(1)(2013·郑州模拟)已知条件p：(1－x)(x＋1)＞0，条件q：(＋)有意义，则綈p是綈q的()充分不必要条件B．必要不充分条件充要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2013·泰安模拟)设集合A＝{x|x＋x－6＝0}，B＝＋1＝0}，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是________．【尝试解答】(1)由(1－x)(x＋1)＞0得－1＜x＜1，即条件p：－1＜x＜1；由得－1＜x≤1，即条件q：－1＜x≤1；从而綈p：x≤－1或x≥1，綈q：x≤－1或x＞1，由于{x|x≤－1或x＞1}－1或x≥1}，故綈p是綈q的必要不充分条件．(2)A＝{－3，2}，当B＝时，B，此时m＝0，当B≠时，B＝{－，则－＝－3或－＝2，＝或m＝－故B是A的真子集的一个充分不必要条件是m＝0(答案不唯一)．【尝试解答】由2x－3x＋1≤0得，由x－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0得＋1，由綈p是綈q的必要不充分条件知，p是q的充分不必要条件，即{x|1}{x|a≤x≤a＋1}，∴0≤a≤.

【答案】[0，]

(2013·苏北四市模拟)已知命题p：命题q：1－m≤x≤1＋m，m＞0，若q是p的必要而不充分条件，则m的取值范围为________．【解析】命题p：－2≤x≤10，由q是p的必要不充分条件知，－2≤x≤10}－m≤x≤1＋m}，或，，即m的取值范围是[9，＋∞)．【解析】∵x－4x＋n＝0有整数根，＝＝2±，－n为某个整数的平方且4－n≥0，∴n＝3或n＝4.当n＝3时，x－4x＋3＝0，得x＝1或x＝3；当n＝4时，x－4x＋4＝0，得x＝2.＝3或n＝4.2．(2012·湖南高考)命题“若α＝，则＝1”的逆否命题是()若α≠，则若α＝，则若，则α≠若，则α＝【解析】由命题与其逆否命题之间的关系可知，原命题的逆否命题是：若，则α≠

5．(2012·合肥一模)函数f(x)＝－m有零点的充要条件是________．【解析】函数f(x)有零点即f(x)＝0有解，即R使得m＝，即为求函数y＝的值域，令x＝，α[－，]，可得y＝(α∈[－，])，

设A(，)(α∈[－，])，B(－3，0)，则y＝＝k，如图所示，直线AB的斜率k[0，]，∴m∈[0，]．【答案】m∈[0，]