第一章第一节

第一节集合1．集合的基本概念(1)集合中元素的三个特性：________、___________、_____________．(2)元素与集合的关系：属于或不属于，表示符号分别为____和_____．(3)集合的三种表示方法：________、__________、____________．2．集合间的基本关系(1)子集：若对?x∈A，都有_______，则A?B或B?A.(2)真子集：若A?B，但_________________，则AB或BA.(3)相等：若A?B，且_______，则A＝B.(4)空集的性质：?是______集合的子集，是__________集合的真子集．3．集合的基本运算1．集合A＝{y|y＝x2＋1}，B＝{(x，y)|y＝x2＋1}是否是相同的集合？【提示】集合A，B不同，集合A＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}是数集，表示函数y＝x2＋1的值域；集合B是点集，表示抛物线y＝x2＋1上所有点组成的集合．2．若全集U＝A∪B，则?UB＝A成立吗？2．(2013·慈溪模拟)设集合M＝{x|x＜2013}，N＝{x|0＜x≤2013}，则M∪N＝()A．M B．NC．{x|x≤2013} D．{x|0＜x＜2012}【解析】M∪N＝{x|x≤2013}．【答案】C3．(2012·广东高考)设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，则?UM＝()A．U B．{1，3，5}C．{3，5，6} D．{2，4，6}【解析】∵U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，∴?UM＝{3，5，6}．【答案】C4．若P＝{x|x＜1}，Q＝{x|x＞－1}，则()A．P?Q B．Q?PC．?RP?Q D．Q??RP【解析】∵P＝{x|x＜1}，∴?RP＝{x|x≥1}，因此?RP?Q.【答案】C5．若集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|x≥a}，且A∩B≠?，则实数a的取值范围为()A．{a|a≤1} B．{a|a＜1}C．{a|a≥1} D．{a|a＞1}【解析】∵A∩B≠?，∴a＜1，故选B.【答案】B (1)(2013·洛阳模拟)设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0，2，5}，Q＝{1，2，6}，则P＋Q中元素的个数为()A．9B．8C．7D．6(2)(2013·连云港模拟)已知集合A＝{m＋2，2m2＋m，－3}，若3∈A，则m的值为________．【思路点拨】(1)先确定a值，再确定b值，注意元素的互异性．(2)根据元素与集合的关系知，m＋2＝3或2m2＋m＝3，注意元素的互异性．【尝试解答】(1)当a＝0，b＝1，2，6时，P＋Q＝{1，2，6}；当a＝2，b＝1，2，6时，P＋Q＝{3，4，8}；当a＝5，b＝1，2，6时，P＋Q＝{6，7，11}．∴当P＝{0，2，5}，Q＝{1，2，6}时，P＋Q＝{1，2，3，4，6，7，8，11}．故集合P＋Q有8个元素．1．解答本题(1)时，若不按分类讨论计算，易漏掉元素，对于本题(2)易忽视元素的互异性而得到错误答案．2．用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其它的集合．3．对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．(1)若定义：AB＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1，2}，B＝{0，2}，则集合AB的所有元素之和为()A．0B．2C．3D．6(2)已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}，若A＝?，则实数a的取值范围为________．【解析】(1)∵AB＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，又A＝{1，2}，B＝{0，2}，∴AB＝{0，2，4}，其所有元素之和为6，故选D.【答案】(1)－1(2)(－∞，3]1．解答本题(2)时应注意两点：一是A∪B＝A?B?A；二是B?A时，应分B＝?和B≠?两种情况讨论．2．集合A中元素的个数记为n，则它的子集的个数为2n，真子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2.3．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常合理利用数轴、Venn图化抽象为直观．(2012·芜湖毕业班模拟)已知A＝{－1，1}，B＝{x|mx＝1}，且A∪B＝A，则m的值为()A．1 B．－1C．1或－1 D．1或－1或0 (1)(2012·浙江高考)设集合A＝{x|10}，N＝{x|x2≤4}，则M∩N＝()A．(1，2)B．[1，2)C．(1，2] D．[1，2]【解析】M＝{x|lgx>0}＝{x|x>1}，N＝{x|x2≤4}＝{x|－2≤x≤2}，∴M∩N＝(1，2]．【答案】C正如数轴是研究实数的工具，Venn图是研究集合的工具，借助Venn图和数轴即数形结合能使抽象问题直观化，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．1.空集在解题时具有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，应时刻关注对空集的讨论，防止漏解．2．在解决含参数的集合问题时，要检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误.从近两年课标区高考试题看，集合间的关系与集合的运算是高考命题的重点，常与函数、方程、不等式等知识结合命题，而以集合为背景的新定义题，则是高考命题的热点． (2012·课标全国卷)已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为()A．3B．6C．8D．10【解析】因为A＝{1，2，3，4，5}，所以集合A中的元素都为正数，若x－y∈A，则必有x－y＞0，即x＞y.当y＝1时，x可取2，3，4，5，共有4个数；当y＝2时，x可取3，4，5，共有3个数；当y＝3时，x可取4，5，共有2个数；当y＝4时，x只能取5，共有1个数；当y＝5时，x不能取任何值．综上，满足条件的实数对(x，y)的个数为4＋3＋2＋1＝10，即集合B中的元素共有10个，故选D.【答案】D创新点拨：(1)本题以元素与集合的关系为载体，用附加条件“x∈A，y∈A，x－y∈A”定义以有序实数对(x，y)为元素的集合B，通过对新定义的理解与应用来考查阅读理解能力与知识迁移能力．(2)考查创新意识、化归转化能力，以及分类讨论思想．应对措施：(1)准确理解集合B是解决本题的关键，集合B中的元素是有序实数对(x，y)，并且要求x∈A，y∈A，x－y∈A，所以要判断集合B中元素的个数，需要根据x－y是否是集合A中的元素进行判断．(2)为化复杂为简单，以y取何值为标准分类，分别求值．1．(2012·湖北高考)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0
(2)∵A＝，∴方程ax－3x＋2＝0无实根，当a＝0时，x＝不合题意，当a≠0时，Δ＝9－8a＜0，∴a＞【答案】(1)(2)(，＋∞)

(1)已知a∈R，b∈R，若{a，，1}＝{a，a＋b，0}，则a＋b＝________．(2)已知集合A＝{x|x－3x－10≤0}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若A∪B＝A，则实数m的取值范围是________．【思路点拨】(1)0∈{a，，1}，则b＝0，1∈{a，a，0}，则a＝1，a≠1，从而a，b可求．(2)A∪B＝A，分B＝和B≠两种情况求解．【尝试解答】(1)由已知得＝0及a≠0，所以b＝0a2＝1，即a＝1或a＝－1.又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a＋b＝(－1)＝－1.(2)A＝{x|x－3x－10≤0}＝{x|－2≤x≤5}，又A∪B＝A，所以B①若B＝，则2m－1＜m＋1，此时m＜2.②若B≠，则解得2≤m≤3.由①、②可得，符合题意的实数m的取值范围为m3.

【解析】因为A∪B＝A，当m＝0时，B＝，满足题意，当m≠0时，B＝{，则＝－1或＝1，解得m＝－1或m＝1，故m的值为－1或1或0.