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Gothedistance
A组考点基础演练
一、选择题
1.(2014年青岛模拟)曲线y=x3-2x在(1,-1)处的切线方程为()
A.x-y-2=0B.x-y+2=0
C.x+y-2=0D.x+y+2=0
解析:y′=3x2-2,∴y′|x=1=1,切线方程为y-(-1)=x-1,即x-y-2=0.
答案:A
2.已知定义在R上的函数f(x)=ex+x2-x+sinx,则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线
方程是()
A.y=2x-1B.y=x+1
C.y=3x-2D.y=-2x+3
解析:令x=0,得f(0)=1.对f(x)求导,得f′(x)=ex+2x-1+cosx,令x=0,得f′(0)
=1,故曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=x+1.选B.
答案:B
3.(2015年泉州质检)若曲线f(x)=x,g(x)=xa在点P(1,1)处的切线分别为l1,l2,且l1
⊥l2,则a的值为()
A.-2B.2
C.12D.-12
解析:f′(x)=12x,g′(x)=axa-1,所以在点P(1,1)处的切线斜率分别为k1=12,k2
=a.因为l1⊥l2,所以k1k2=a2=-1,所以a=-2,选A.
答案:A
4.设函数f(x)在R上的导函数为f′(x),且2f(x)+xf′(x)>x2,下面的不等式在R
上恒成立的是()
A.f(x)>0B.f(x)<0
C.f(x)>xD.f(x) 解析:可令f(x)=12x2+12,则f(x)满足条件,验证各个选项,知B、C、D都不恒成立,
故选A.
答案:A
5.对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x+1)·f′(x)≥0,则有()
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A.f(0)+f(-2)<2f(-1)
B.f(0)+f(-2)≤2f(-1)
C.f(0)+f(-2)>2f(-1)
D.f(0)+f(-2)≥2f(-1)
解析:由题意得,当x≥-1时,f′(x)≥0,当x≤-1时,f′(x)≤0,∴f(x)的最小
值为f(-1),即对任意实数x,都有f(x)≥f(-1),∴f(0)≥f(-1),f(-2)≥f(-1),∴f(0)+f(-
2)≥2f(-1),故选D.
答案:D
二、填空题
6.(2014年高考江西卷)若曲线y=xlnx上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点
P的坐标是________.
解析:y′=lnx+x·1x=1+lnx,直线2x-y+1=0的斜率为2.设P(m,n),则1+lnm
=2,解得m=e,所以n=elne=e.即P(e,e).
答案:(e,e)
7.若函数f(x)=x3+ax2+bx为奇函数,其图象的一条切线方程为y=3x-42,则b的
值为________.
解析:由f(x)为奇函数可得a=0.设切点(x0,y0),则y0=x30+bx0=3x0-42,又f′(x)
=3x2+b,所以f′(x0)=3x20+b=3.解得x0=2,b=-3.
答案:-3
8.已知函数f(x)=x+1,g(x)=alnx,若在x=14处函数f(x)与g(x)的图象的切线平行,
则实数a的值为________.
解析:由题意可知f′????14=12x-12???x=14=g′????14=a1
4
,
可得a=14,经检验,a=14满足题意.
答案:14
三、解答题
9.求下列各函数的导数:
(1)y=x+x
5+sinx
x2;
(2)y=(1-x)????1+1x;
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(3)y=-sinx2????1-2cos2x4;
(4)y=tanx.
解析:(1)y′=-32x-52+3x2-2x-3sinx+x-2cosx.
(2)y′=-12x-32-12x-12.
(3)y′=????12sinx′=12(sinx)′=12cosx.
(4)y′=????sinxcosx′=sin
2x+cos2x
cos2x=
1
cos2x.
10.已知曲线y=13x3+43.
(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程;
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程;
(3)求满足斜率为1的曲线的切线方程.
解析:(1)∵y′=x2,
∴在点P(2,4)处的切线的斜率k=y′|x=2=22=4.
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.
(2)设曲线y=13x3+43与过点P(2,4)的切线相切于点A????x0,13x30+43,则切线的斜率k=
y′|x=x0=x20.
∴切线方程为y-????13x30+43=x20(x-x0),
即y=x20·x-23x30+43.
∵点P(2,4)在切线上,∴4=2x20-23x30+43,
即x30-3x20+4=0,解得x0=-1或x0=2.
故所求切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.
(3)设切点为(x0,y0).故切线的斜率为k=x20=1,
解得x0=±1,故切点为????1,53,(-1,1).故所求切线方程为y-53=x-1或y-1=x+
1.
即3x-3y+2=0或x-y+2=0.
B组高考题型专练
1.设函数f(x)的导函数为f′(x),对任意x∈R都有f(x)>f′(x)成立,则()
A.3f(ln2)>2f(ln3)
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B.3f(ln2)=2f(ln3)
C.3f(ln2)<2f(ln3)
D.3f(ln2)与2f(ln3)的大小不确定
解析:令F(x)=f?x?ex,则F′(x)=????f?x?ex′=f′?x?-f?x?ex<0,即F(x)为R上的减函数,
∴F(ln2)=f?ln2?2>F(ln3)=f?ln3?3,∴3f(ln2)>2f(ln3).
答案:A
2.等比数列{an}中,a1=2,a8=4,函数f(x)=x(x-a1)·(x-a2)·…·(x-a8),则f′(0)
等于()
A.26B.29
C.212D.215
解析:f′(x)=(x-a1)(x-a2)·…·(x-a8)+x·[(x-a1)(x-a2)·…·(x-a8)]′,
∴f′(0)=a1a2·…·a8.
∵{an}为等比数列,a1=2,a8=4,
∴f′(0)=a1a2·…·a8=(a1a8)4=84=212.
答案:C
3.(2014年高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+bx(a,b为常数)过点
P(2,-5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是________.
解析:由曲线y=ax2+bx过点P(2,-5)可得-5=4a+b2①.又y′=2ax-bx2,所以
在点P处的切线斜率为4a-b4=-72②.由①②解得a=-1,b=-2,所以a+b=-3.
答案:-3
4.(2015年南通一调)在平面直角坐标系xOy中,直线y=x+b是曲线y=alnx的切线,
则当a>0时,实数b的最小值是________.
解析:设切点坐标为(x0,alnx0),则
??
??
?alnx0=x0+b,
a
x0=1,
所以
??
??
?b=alna-a,
x0=a,a>0.对关于
a的函数b求导得b′=lna,令b′=0,得a=1,且当0 =alna-a单调递减;当a>1时,b′>0,函数b=alna-a单调递增,所以当a=1时,b
取得极小值,也是最小值,即bmin=-1.
答案:-1
5.设函数y=x2-2x+2的图象为C1,函数y=-x2+ax+b的图象为C2,已知过C1与
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C2的一个交点的两切线互相垂直.
(1)求a,b之间的关系;
(2)求ab的最大值.
解析:(1)对于C1:y=x2-2x+2,有y′=2x-2,
对于C2:y=-x2+ax+b,有y′=-2x+a,
设C1与C2的一个交点为(x0,y0),
由题意知过交点(x0,y0)的两条切线互相垂直.
∴(2x0-2)·(-2x0+a)=-1,
即4x20-2(a+2)x0+2a-1=0,①
又点(x0,y0)在C1与C2上,
故有
??
??
?y0=x20-2x0+2,
y0=-x20+ax0+b,
?2x20-(a+2)x0+2-b=0.②
由①②消去x0,可得a+b=52.
(2)由(1)知:b=52-a,
∴ab=a????52-a=-????a-542+2516.
∴当a=54时,(ab)max=2516.
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