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2-10
2015-10-12 | 阅:  转:  |  分享 
  
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A组考点基础演练

一、选择题

1.(2014年青岛模拟)曲线y=x3-2x在(1,-1)处的切线方程为()

A.x-y-2=0B.x-y+2=0

C.x+y-2=0D.x+y+2=0

解析:y′=3x2-2,∴y′|x=1=1,切线方程为y-(-1)=x-1,即x-y-2=0.

答案:A

2.已知定义在R上的函数f(x)=ex+x2-x+sinx,则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线

方程是()

A.y=2x-1B.y=x+1

C.y=3x-2D.y=-2x+3

解析:令x=0,得f(0)=1.对f(x)求导,得f′(x)=ex+2x-1+cosx,令x=0,得f′(0)

=1,故曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=x+1.选B.

答案:B

3.(2015年泉州质检)若曲线f(x)=x,g(x)=xa在点P(1,1)处的切线分别为l1,l2,且l1

⊥l2,则a的值为()

A.-2B.2

C.12D.-12

解析:f′(x)=12x,g′(x)=axa-1,所以在点P(1,1)处的切线斜率分别为k1=12,k2

=a.因为l1⊥l2,所以k1k2=a2=-1,所以a=-2,选A.

答案:A

4.设函数f(x)在R上的导函数为f′(x),且2f(x)+xf′(x)>x2,下面的不等式在R

上恒成立的是()

A.f(x)>0B.f(x)<0

C.f(x)>xD.f(x)
解析:可令f(x)=12x2+12,则f(x)满足条件,验证各个选项,知B、C、D都不恒成立,

故选A.

答案:A

5.对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x+1)·f′(x)≥0,则有()

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A.f(0)+f(-2)<2f(-1)

B.f(0)+f(-2)≤2f(-1)

C.f(0)+f(-2)>2f(-1)

D.f(0)+f(-2)≥2f(-1)

解析:由题意得,当x≥-1时,f′(x)≥0,当x≤-1时,f′(x)≤0,∴f(x)的最小

值为f(-1),即对任意实数x,都有f(x)≥f(-1),∴f(0)≥f(-1),f(-2)≥f(-1),∴f(0)+f(-

2)≥2f(-1),故选D.

答案:D

二、填空题

6.(2014年高考江西卷)若曲线y=xlnx上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点

P的坐标是________.

解析:y′=lnx+x·1x=1+lnx,直线2x-y+1=0的斜率为2.设P(m,n),则1+lnm

=2,解得m=e,所以n=elne=e.即P(e,e).

答案:(e,e)

7.若函数f(x)=x3+ax2+bx为奇函数,其图象的一条切线方程为y=3x-42,则b的

值为________.

解析:由f(x)为奇函数可得a=0.设切点(x0,y0),则y0=x30+bx0=3x0-42,又f′(x)

=3x2+b,所以f′(x0)=3x20+b=3.解得x0=2,b=-3.

答案:-3

8.已知函数f(x)=x+1,g(x)=alnx,若在x=14处函数f(x)与g(x)的图象的切线平行,

则实数a的值为________.

解析:由题意可知f′????14=12x-12???x=14=g′????14=a1

4



可得a=14,经检验,a=14满足题意.

答案:14

三、解答题

9.求下列各函数的导数:

(1)y=x+x

5+sinx

x2;

(2)y=(1-x)????1+1x;

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(3)y=-sinx2????1-2cos2x4;

(4)y=tanx.

解析:(1)y′=-32x-52+3x2-2x-3sinx+x-2cosx.

(2)y′=-12x-32-12x-12.

(3)y′=????12sinx′=12(sinx)′=12cosx.

(4)y′=????sinxcosx′=sin

2x+cos2x

cos2x=

1

cos2x.

10.已知曲线y=13x3+43.

(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程;

(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程;

(3)求满足斜率为1的曲线的切线方程.

解析:(1)∵y′=x2,

∴在点P(2,4)处的切线的斜率k=y′|x=2=22=4.

∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.

(2)设曲线y=13x3+43与过点P(2,4)的切线相切于点A????x0,13x30+43,则切线的斜率k=

y′|x=x0=x20.

∴切线方程为y-????13x30+43=x20(x-x0),

即y=x20·x-23x30+43.

∵点P(2,4)在切线上,∴4=2x20-23x30+43,

即x30-3x20+4=0,解得x0=-1或x0=2.

故所求切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.

(3)设切点为(x0,y0).故切线的斜率为k=x20=1,

解得x0=±1,故切点为????1,53,(-1,1).故所求切线方程为y-53=x-1或y-1=x+

1.

即3x-3y+2=0或x-y+2=0.

B组高考题型专练

1.设函数f(x)的导函数为f′(x),对任意x∈R都有f(x)>f′(x)成立,则()

A.3f(ln2)>2f(ln3)

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B.3f(ln2)=2f(ln3)

C.3f(ln2)<2f(ln3)

D.3f(ln2)与2f(ln3)的大小不确定

解析:令F(x)=f?x?ex,则F′(x)=????f?x?ex′=f′?x?-f?x?ex<0,即F(x)为R上的减函数,

∴F(ln2)=f?ln2?2>F(ln3)=f?ln3?3,∴3f(ln2)>2f(ln3).

答案:A

2.等比数列{an}中,a1=2,a8=4,函数f(x)=x(x-a1)·(x-a2)·…·(x-a8),则f′(0)

等于()

A.26B.29

C.212D.215

解析:f′(x)=(x-a1)(x-a2)·…·(x-a8)+x·[(x-a1)(x-a2)·…·(x-a8)]′,

∴f′(0)=a1a2·…·a8.

∵{an}为等比数列,a1=2,a8=4,

∴f′(0)=a1a2·…·a8=(a1a8)4=84=212.

答案:C

3.(2014年高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+bx(a,b为常数)过点

P(2,-5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是________.

解析:由曲线y=ax2+bx过点P(2,-5)可得-5=4a+b2①.又y′=2ax-bx2,所以

在点P处的切线斜率为4a-b4=-72②.由①②解得a=-1,b=-2,所以a+b=-3.

答案:-3

4.(2015年南通一调)在平面直角坐标系xOy中,直线y=x+b是曲线y=alnx的切线,

则当a>0时,实数b的最小值是________.

解析:设切点坐标为(x0,alnx0),则

??

??

?alnx0=x0+b,

a

x0=1,

所以

??

??

?b=alna-a,

x0=a,a>0.对关于

a的函数b求导得b′=lna,令b′=0,得a=1,且当0
=alna-a单调递减;当a>1时,b′>0,函数b=alna-a单调递增,所以当a=1时,b

取得极小值,也是最小值,即bmin=-1.

答案:-1

5.设函数y=x2-2x+2的图象为C1,函数y=-x2+ax+b的图象为C2,已知过C1与

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C2的一个交点的两切线互相垂直.

(1)求a,b之间的关系;

(2)求ab的最大值.

解析:(1)对于C1:y=x2-2x+2,有y′=2x-2,

对于C2:y=-x2+ax+b,有y′=-2x+a,

设C1与C2的一个交点为(x0,y0),

由题意知过交点(x0,y0)的两条切线互相垂直.

∴(2x0-2)·(-2x0+a)=-1,

即4x20-2(a+2)x0+2a-1=0,①

又点(x0,y0)在C1与C2上,

故有

??

??

?y0=x20-2x0+2,

y0=-x20+ax0+b,

?2x20-(a+2)x0+2-b=0.②

由①②消去x0,可得a+b=52.

(2)由(1)知:b=52-a,

∴ab=a????52-a=-????a-542+2516.

∴当a=54时,(ab)max=2516.



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(本文系云师堂首藏)