Gothedistance
A组考点基础演练
一、选择题
1．(2014年高考新课标全国卷Ⅱ)若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)单调递增，则k
的取值范围是()
A．(－∞，－2]B．(－∞，－1]
C．[2，＋∞)D．[1，＋∞)
解析：依题意得f′(x)＝k－1x≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k≥1x在(1，＋∞)上恒成立，
∵x>1，∴0<1x<1.
∴k≥1，故选D.
答案：D
2．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，
则函数y＝xf′(x)的图象可能是()
解析：∵f(x)在x＝－2处取得极小值，∴在x＝－2附近的左侧f′(x)<0，当x<－2
时，xf′(x)>0；在x＝－2附近的右侧f′(x)>0，当－2
答案：C
3．(2014年云南联考)设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且f(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是()
A．(－3,0)∪(3，＋∞)B．(－3,0)∪(0,3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)
解析：设h(x)＝f(x)g(x)，又h′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0知x<0时，h(x)为增
函数，又f(x)，g(x)分别是奇函数和偶函数，∴h(x)为奇函数且在(0，＋∞)上为增函数，且
h(3)＝0，所以f(x)g(x)<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)，故选D.
答案：D
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4．可导函数f(x)的导函数为g(x)，且满足：①g?x?－1x－1>0；②f(2－x)－f(x)＝2－2x.记a
＝f(2)－1，b＝f(π)－π＋1，c＝f(－1)＋2，则a，b，c的大小顺序为()
A．a>b>cB．a>c>b
C．b>c>aD．b>a>c
解析：由f(2－x)－f(x)＝2－2x知f(x)为增函数，设h(x)＝f(x)－x＋1，h′(x)＝f′(x)
－1＝g(x)－1，又g?x?－1x－1>0知，h(x)在(1，＋∞)上递增，所以a＝f(2)－2＋1＝h(2)，b＝f(π)
－π＋1＝h(π)，c＝f(－1)＋2＝f(3)－2＝f(3)－3＋1＝h(3)，而π>3>2，所以b>c>a，故选C.
答案：C
5．(2015年沈阳质检)已知函数y＝f(x)是R上的可导函数，当x≠0时，有f′(x)＋f?x?x>0，
则函数F(x)＝xf(x)＋1x的零点个数是()
A．0B．1
C．2D．3
解析：当x≠0时，f′(x)＋f?x?x＝xf′?x?＋f?x?x＝[x?f?x]′x>0，当x>0时，[xf(x)]′>0，
则h(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上为增函数，且h(0)＝0，∴h(x)＝xf(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，
又1x>0，∴F(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，即F(x)在(0，＋∞)上无零点．当x<0时，[xf(x)]′<0，
∴h(x)＝xf(x)在(－∞，0)上为减函数，且h(0)＝0，∴h(x)＝xf(x)>0在(－∞，0)上恒成立，所
以F(x)＝xf(x)＋1x在(－∞，0)上为减函数，当x→0时，xf(x)→0，1x→－∞，则F(x)<0，∴F(x)
在(－∞，0)上有唯一零点．综上所述，F(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上有唯一零点，故选B.
答案：B
二、填空题
6．已知f(x)＝sinx＋2x，x∈R，且f(1－a)＋f(2a)<0，则a的取值范围是________．
解析：由f(x)＝sinx＋2x，x∈R，得f′(x)＝cosx＋2>0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上递增
且是奇函数，由f(1－a)＋f(2a)<0，即f(2a)
答案：(－∞，－1)
7．已知函数f(x)＝x2(x－a)，若f(x)在(2,3)上不单调，则实数a的取值范围是________．
解析：由f(x)＝x3－ax2，得f′(x)＝3x2－2ax＝3x????x－2a3，若f(x)在(2,3)上不单调，
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则有
?
??
2a
3≠0，
2<2a3<3，
可得3
答案：????3，92
8．(2014年保定调研)若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范
围是________．
解析：f′(x)＝3x2－6b，若f(x)在(0,1)内有极小值，则f′(0)f′(1)<0，即－6b·(3
－6b)<0，解得0
答案：????0，12
三、解答题
9．设函数f(x)＝x(ex－1)－ax2.
(1)若a＝12，求f(x)的单调区间；
(2)若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围．
解析：(1)当a＝12时，f(x)＝x(ex－1)－12x2，
f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0；当x∈(－1,0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，
f′(x)>0.
故f(x)在(－∞，－1]，[0，＋∞)上单调递增，在[－1,0]上单调递减．
(2)f(x)＝x(ex－1－ax)．
令g(x)＝ex－1－ax，则g′(x)＝ex－a.
若a≤1，则当x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)为增函数，而g(0)＝0，从而当x≥0
时，g(x)≥0，即f(x)≥0.
若a>1，则当x∈(0，lna)时，g′(x)<0，g(x)为减函数，而g(0)＝0，从而当x∈(0，
lna)时g(x)<0，即f(x)<0.综合得a的取值范围为(－∞，1]．
10．(2014年忻州联考)设函数f(x)＝xex－x????a2x＋1＋2.
(1)若a＝1，求f(x)的单调区间；
(2)当x≥0时，f(x)≥x2－x＋2恒成立，求a的取值范围．
解析：(1)∵a＝1，∴f(x)＝xex－x????12x＋1＋2＝xex－12x2－x＋2，
∴f′(x)＝(ex－1)(x＋1)，∴当－1≤x≤0时，f′(x)<0；
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当x≤－1或x≥0时，f′(x)>0，
∴f(x)在[－1,0]上单调递减，在(－∞，－1]，[0，＋∞)上单调递增．
(2)由f(x)≥x2－x＋2，得x????ex－a＋22x≥0，即要满足ex≥a＋22x，
当x＝0时，显然成立；当x>0时，即e
x
x≥
a＋2
2，记g(x)＝
ex
x，
则g′(x)＝e
x?x－1?
x2，
易知g(x)的最小值为g(1)＝e，∴a＋22≤e，得a≤2(e－1)．
B组高考题型专练
1．(2015年大连双基测试)已知函数f(x)＝x3＋ax2－x＋c(x∈R)，下列结论错误的是()
A．函数f(x)一定存在极大值和极小值
B．若函数f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上是增函数，则x2－x1≥233
C．函数f(x)的图象是中心对称图形
D．函数f(x)一定存在三个零点
解析：对于A，f′(x)＝3x2＋2ax－1，Δ＝4a2＋12>0，因此函数f′(x)＝3x2＋2ax
－1恒有两个相异零点x3，x4(其中x3
减区间是(x3，x4)，函数f(x)一定存在极大值与极小值，选项A正确．对于B，由A知，x3
＋x4＝－2a3，x3x4＝－13，则x4－x3＝?x3＋x4?2－4x3x4＝????－2a32＋43≥233，又x1≤x3，x4≤x2，
因此x2－x1≥x4－x3≥233，选项B正确．对于C，注意到f(x)的图象关于点????－a3，f????－a3中
心对称，因此选项C正确(注：函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(x≠0)的图象关于点????－b3a，f????－b3a
中心对称)．对于D，取a＝－c＝1，得f(x)＝x3＋x2－x－1＝(x＋1)2(x－1)，此时函数f(x)仅
有两个相异零点，因此选项D不正确．综上所述，选D.
答案：D
2．已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，g(x)≠0，f′(x)g(x)>f(x)g′(x)，且f(x)
＝axg(x)(a>0，且a≠1)，f?1?g?1?＋f?－1?g?－1?＝52.若数列??????f?n?g?n?的前n项和大于62，则n的最小值为
()
A．6B．7
C．8D．9
解析：∵f(x)＝axg(x)，∴f?x?g?x?＝ax，∵f′(x)·g(x)>f(x)g′(x)，∴????f?x?g?x?′＝(ax)′＝
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f′?x?g?x?－f?x?g′?x?
[g?x?]2＝a
xlna>0，即lna>0，∴a>1.∵f?1?
g?1?＋
f?－1?
g?－1?＝
5
2，
∴a＋a－1＝52，∴a＝2，∴f?x?g?x?＝2x，∴f?n?g?n?＝2n，
∴数列??????f?n?g?n?为等比数列，∴Sn＝2?1－2
n?
1－2＝2
n＋1－2，令S
n>62，得n＋1>6，n>5，∴n
的最小值为6，故选A.
答案：A
3.已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表：
x－10245
y12021
f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示．
(1)f(x)的极小值为________；
(2)若函数y＝f(x)－a有4个零点，则实数a的取值范围为________．
解析：(1)由y＝f′(x)的图象可知，
f′(x)与f(x)随x的变化情况如下表：
x(－1,0)0(0,2)2(2,4)4(4,5)
F′(x)＋0－0＋0－
f(x)极大值极小值极大值
∴f(2)为f(x)的极小值，f(2)＝0.
(2)y＝f(x)的图象如图所示．
若函数y＝f(x)－a有4个零点，则a的取值范围为1≤a<2.
答案：(1)0(2)[1,2)
4．已知函数f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2在x＝－1时有极值0，则m＋n＝________.
解析：∵f′(x)＝3x2＋6mx＋n，
∴由已知可得
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??
??
?f?－1?＝?－1?3＋3m?－1?2＋n?－1?＋m2＝0，
f′?－1?＝3×?－1?2＋6m?－1?＋n＝0，
∴
??
??
?m＝1，
n＝3或???
??m＝2，
n＝9，
当
??
??
?m＝1，
n＝3时，f′(x)＝3x
2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0恒成立与x＝－1是极值点矛盾，
当
??
??
?m＝2，
n＝9时，f′(x)＝3x
2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)，
显然x＝－1是极值点，符合题意，∴m＋n＝11.
答案：11
5．(2014年江西七校联考)设函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，a∈R.
(1)若x＝1时，函数f(x)取得极值，求函数f(x)的图象在x＝－1处的切线方程；
(2)若函数f(x)在区间????12，1内不单调，求实数a的取值范围．
解析：(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋1，由f′(1)＝0，得a＝－2，
∴f(x)＝x3－2x2＋x＋1，当x＝－1时，y＝－3，即切点(－1，－3)，k＝f′(x0)＝3x20－
4x0＋1，令x0＝－1，得k＝8，∴切线方程为8x－y＋5＝0.
(2)f(x)在区间????12，1内不单调，即f′(x)＝0在????12，1有解，所以3x2＋2ax＋1＝0,2ax
＝－3x2－1，由x∈????12，1，∴2a＝－3x－1x，令h(x)＝－3x－1x，
∴h′(x)＝－3＋1x2<0，知h(x)在????33，1单调递减，在????12，33单调递增，所以
h(1)
－3时，f′(x)＝3x2－23x＋1＝(3x－1)2≥0，∴舍去，综上，a∈(－2，－3)．
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