Gothedistance
A组考点基础演练
一、选择题
1．(2014年亳州调研)已知函数f(x)＝x3＋bx的图象在点A(1，f(1))处的切线的斜率为4，
则函数g(x)＝3sin2x＋bcos2x的最大值是()
A．1B．2
C.2D.3
解析：∵f′(x)＝3x2＋b，
∴f′(1)＝3＋b＝4，∴b＝1.
∴g(x)＝3sin2x＋cos2x
＝2sin????2x＋π6≤2.
答案：B
2．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使体积最大，则其高为()
A.2033cmB．100cm
C．20cmD.203cm
解析：设圆锥的体积为Vcm3，高为hcm，
则V＝13π(400－h2)h
＝13π(400h－h3)，
∴V′＝13π(400－3h2)，
由V′＝0，得h＝2033.
所以当h＝2033cm时，V最大．故选A.
答案：A
3.(2014年抚州模拟)函数f(x)满足f(0)＝0，其导函数f′(x)的图象如图，则f(x)在[－
2,1]上的最小值为()
A．－1B．0
C．2D．3
解析：由函数f(x)的导函数f′(x)的图象可知，函数f(x)为二次函数，且其图象的对称
轴为x＝－1，开口方向向上．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，
∵f(0)＝0，∴c＝0，f′(x)＝2ax＋b，
又f′(x)的图象过点(－1,0)与点(0,2)，
则有
??
??
?2a×?－1?＋b＝0
2a×0＋b＝2，
∴a＝1，b＝2，∴f(x)＝x2＋2x，
则f(x)在[－2,1]上的最小值为f(－1)＝－1.
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答案：A
4．函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则
实数t的最小值是()
A．20B．18
C．3D．0
解析：因为f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，令f′(x)＝0，得x＝±1，所以－1,1为
函数的极值点．又f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，所以在区间[－3,2]上f(x)max
＝1，f(x)min＝－19.又由题设知在区间[－3,2]上f(x)max－f(x)min≤t，从而t≥20，所以t的最小
值是20.
答案：A
5．已知a≤1－xx＋lnx对任意x∈????12，2恒成立，则a的最大值为()
A．0B．1
C．2D．3
解析：设f(x)＝1－xx＋lnx＝1x＋lnx－1，则f′(x)＝－1x2＋1x＝x－1x2.
当x∈????12，1时，
f′(x)<0，故函数f(x)在????12，1上单调递减；
当x∈(1,2]时，f′(x)>0，故函数f(x)在(1,2]上单调递增．
∴f(x)min＝f(1)＝0，∴a≤0，故a的最大值为0.故选A.
答案：A
二、填空题
6．函数f(x)＝12ex(sinx＋cosx)在区间????0，π2上的值域为________．
解析：f′(x)＝12ex(sinx＋cosx)＋12ex(cosx－sinx)＝excosx，当00，
∴f(x)是????0，π2上的增函数．
∴f(x)的最大值为f????π2＝12eπ2
f(x)的最小值为f(0)＝12.
∴f(x)的值域为????12，12eπ2
答案：????12，12eπ2
7．若函数f(x)＝xx2＋a(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a的值为________．
解析：f′(x)＝x
2＋a－2x2
?x2＋a?2＝
a－x2
?x2＋a?2，
当x>a时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当－a0，f(x)单调递增，
当x＝a时，令f(x)＝a2a＝33，a＝32<1，不合题意．
∴f(x)max＝f(1)＝11＋a＝33，a＝3－1.
答案：3－1
8．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的
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最小值为________．
解析：∵f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，
∴f(x)在(－2,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，
因此，当x＝0时，f(x)取得最大值，即f(0)＝m＝3，
然而f(－2)＝－37，f(2)＝－5，因此f(x)min＝f(－2)＝－37.
答案：－37
三、解答题
9．(2015年惠州模拟)已知函数f(x)＝ax＋lnx(a∈R)．
(1)若a＝2，求曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)设g(x)＝x2－2x＋2，若对任意x1∈(0，＋∞)，均存在x2∈[0,1]使得f(x1)
的取值范围．
解析：(1)由已知得f′(x)＝2＋1x(x>0)，所以f′(1)＝2＋1＝3，所以斜率k＝3.
又切点为(1,2)，所以切线方程为y－2＝3(x－1)，即3x－y－1＝0，
故曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为3x－y－1＝0.
(2)f′(x)＝a＋1x＝ax＋1x(x>0)，
①当a≥0时，由于x>0，故ax＋1>0，f′(x)>0，所以f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．
②当a<0时，由f′(x)＝0，得x＝－1a.
在区间????0，－1a上，f′(x)>0，在区间????－1a，＋∞上，f′(x)<0，所以函数f(x)的单
调递增区间为????0，－1a，单调递减区间为????－1a，＋∞.
(3)由已知知所求可转化为f(x)max
g(x)＝(x－1)2＋1，x∈[0,1]，所以g(x)max＝2，
由(2)知，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，值域为R，故不符合题意．
当a<0时，f(x)在????0，－1a上单调递增，
在????－1a，＋∞上单调递减，故f(x)的极大值即为最大值，是f????－1a＝－1＋ln????－1a＝－
1－ln(－a)，
所以2>－1－ln(－a)，解得a<－1e3.
10．(2014年高考新课标全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝x3－3x2＋ax＋2，曲线y＝f(x)在点(0,2)
处的切线与x轴交点的横坐标为－2.
(1)求a；
(2)证明：当k＜1时，曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点．
解析：(1)f′(x)＝3x2－6x＋a，f′(0)＝a.
由题设得－2a＝－2，所以a＝1.
(2)由(1)知，f(x)＝x3－3x2＋x＋2.
设g(x)＝f(x)－kx＋2＝x3－3x2＋(1－k)x＋4.
由题设知1－k＞0.
当x≤0时，g′(x)＝3x2－6x＋1－k＞0，g(x)单调递增，g(－1)＝k－1＜0，g(0)＝4，所
以g(x)＝0在(－∞，0]上有唯一实根．
当x＞0时，令h(x)＝x3－3x2＋4，则g(x)＝h(x)＋(1－k)x＞h(x)．
h′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，h(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以g(x)
＞h(x)≥h(2)＝0.
所以g(x)＝0在(0，＋∞)上没有实根．
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综上，g(x)在R上有唯一实根，即曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点．
B组高考题型专练
1．设函数f(x)＝ex(sinx－cosx)(0≤x≤2012π)，则函数f(x)的各极小值之和为()
A．－e
2π?1－e2012π?
1－e2πB．－
e2π?1－e1006π?
1－eπ
C．－e
2π?1－e1006π?
1－e2πD．－
e2π?1－e2010π?
1－e2π
解析：f′(x)＝ex·(sinx－cosx)＋ex(cosx＋sinx)＝2exsinx，令f′(x)<0，则sinx<0，
解得x∈(π＋2kπ，2π＋2kπ)，k∈Z；f′(x)>0，即sinx>0，解得x∈(2π＋2kπ，3π＋2kπ)，
k∈Z.所以当x＝2π＋2kπ，k∈Z时，f(x)取得极小值，其极小值为f(2π＋2kπ)＝e2kπ＋2π[sin(2π
＋2kπ)－cos(2π＋2kπ)]＝－e2kπ＋2π，所以函数f(x)的各极小值之和S＝－e2π－e4π－…－e2010π
＝－e
2π?1－e2010π?
1－e2π，故选D.
答案：D
2．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有两个极值点x1，x2，若f(x1)＝x1
程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数为()
A．3B．4
C．5D．6
解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋b，令f′(x)＝0，得x＝x1或x＝x2，令t＝f(x)，则方程为
3t2＋2at＋b＝0，由题意知t＝x1或t＝x2，f(x)＝x1有一解x1，f(x)＝x2有两解，∴方程3[f(x)]2
＋2af(x)＋b＝0有不同实根共3个．
答案：A
3．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)
的最小值是________．
解析：f′(x)＝－3x2＋2ax，
根据已知－3×4＋4a＝0，得a＝3，
即f(x)＝－x3＋3x2－4.
根据函数f(x)的极值点，可得函数f(m)在[－1,1]上的最小值为f(0)＝－4，f′(x)＝－3n2
＋6n在[－1,1]上单调递增，
所以f′(n)的最小值为f′(－1)＝－9.
[f(m)＋f′(n)]min＝f(m)min＋f′(n)min＝－4－9＝－13.
答案：－13
4．(2015年黑龙江质检)已知a∈R，若实数x，y满足y＝－x2＋3lnx，则(a－x)2＋(a＋2
－y)2的最小值是________．
解析：∵(a－x)2＋(a＋2－y)2≥?x－a＋a＋2－y?
2
2＝
?x＋x2－3lnx＋2?2
2，设g(x)＝x＋x
2－
3lnx(x>0)则g′(x)＝1＋2x－3x＝?2x＋3??x－1?x，易知g(x)在(0,1)上递减，在(1，＋∞)上递
增，∴g(x)≥g(1)＝2，(a－x)2＋(a＋2－y)2≥?2＋2?
2
2＝8.
答案：8
5．(2013年高考浙江卷)已知a∈R，函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax.
(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)若|a|>1，求f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值．
解析：(1)当a＝1时，f′(x)＝6x2－12x＋6，所以f′(2)＝6.
又因为f(2)＝4，所以切线方程为y＝6x－8.
(2)记g(a)为f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值．
f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a＝6(x－1)(x－a)．
令f′(x)＝0，得到x1＝1，x2＝a.
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当a>1时，
比较f(0)＝0和f(a)＝a2(3－a)的大小可得
g(a)＝
??
??
?0，1
a2?3－a?，a>3.
当a<－1时，
得g(a)＝3a－1.
综上所述，f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值为
g(a)＝
??
??
?3a－1，a<－1，
0，1
a2?3－a?，a>3.
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