Gothedistance
A组考点基础演练
一、选择题
1．(2014年高考湖北卷)i为虚数单位，??????1－i1＋i2＝()
A．1B．－1
C．iD．－i
解析：??????1－i1＋i2＝?1－i?
2
?1＋i?2＝
－2i
2i＝－1.
答案：B
2．(2014年高考陕西卷)已知复数z＝2－i，则z·z的值为()
A．5B.5
C．3D.3
解析：因z＝2－i，所以z＝2＋i
∴z·z＝(2－i)(2＋i)＝4－i2＝5.
答案：A
3．若复数1＋bi2＋i的实部与虚部相等，则实数b等于()
A．3B．1
C.13D．－12
解析：依题意得
1＋bi
2＋i＝
?1＋bi??2－i?
?2＋i??2－i?＝
?2＋b?＋?2b－1?i
5，∴
2＋b
5＝
2b－1
5，∴b＝3.
答案：A
4．设i是虚数单位，若复数满足zi＝3－2i，则z＝()
A．3＋2iB．2－3i
C．－2－3iD．－2＋3i
解析：zi＝3－2i，则z＝3－2ii＝－2－3i，故选C.
答案：C
5．设复数z＝12＋32i，则zz＝()
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A．zB.z
C．－zD．－z
解析：由题意得，z＝12－32i，
∴zz＝
1
2＋
3
2i
1
2－
3
2i
＝1＋3i1－3i＝1－3＋?3＋3?i4＝－12＋32i＝－z.
选D.
答案：D
二、填空题
6．(2014年高考北京卷)若(x＋i)i＝－1＋2i(x∈R)，则x＝________.
解析：x＝－1＋2ii－i＝i＋2－i＝2.
答案：2
7．复数2－2i1＋i＝________.
解析：2－2i1＋i＝?2－2i??1－i??1＋i??1－i?＝(1－i)2＝1－2i＋i2＝－2i.
答案：－2i
8．(2014年高考浙江卷)已知i是虚数单位，计算1－i?1＋i?2＝________.
解析：1－i?1＋i?2＝1－i2i＝?1－i?·?－i??2i?·?－i?＝－12－12i.
答案：－12－12i
三、解答题
9．设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，试求实数m取何值时，(1)z是纯虚数；(2)z
是实数；(3)z对应的点位于复平面的第二象限．
解析：(1)由
??
??
?lg?m2－2m－2?＝0，
m2＋3m＋2≠0，得m＝3.
(2)由m2＋3m＋2＝0.得m＝－1或m＝－2.
(3)由
??
??
?lg?m2－2m－2?<0，
m2＋3m＋2>0，得－1
10．计算：(1)?－1＋i??2＋i?i3；
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(2)?1＋2i?
2＋3?1－i?
2＋i；
(3)1－i?1＋i?2＋1＋i?1－i?2；
(4)1－3i?3＋i?2.
解析：(1)?－1＋i??2＋i?i3＝－3＋i－i＝－1－3i.
(2)?1＋2i?
2＋3?1－i?
2＋i＝
－3＋4i＋3－3i
2＋i＝
i
2＋i＝
i?2－i?
5＝
1
5＋
2
5i.
(3)1－i?1＋i?2＋1＋i?1－i?2＝1－i2i＋1＋i－2i＝1＋i－2＋－1＋i2＝－1.
(4)1－3i?3＋i?2＝?3＋i??－i??3＋i?2
＝－i3＋i＝?－i??3－i?4＝－14－34i.
B组高考题型专练
1．在复平面内，复数z＝3－4i1＋3i(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于()
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
解析：z＝?3－4i??1－3i??1＋3i??1－3i?＝－9－13i10＝－910－1310i，其共轭复数z＝－910＋1310i，对应点为
????－
9
10，
13
10，位于第二象限．
答案：B
2．(2014年高考广东卷)对任意复数ω1，ω2，定义ω1]2，其中ω2是ω2的共轭复数，
对任意复数z1，z2，z3，有如下四个命题：
A．1B．2
C．3D．4
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答案：B
3．已知x，y∈R，i为虚数单位，且(x－2)·i－y＝1＋i，则(1＋i)x＋y＝________.
解析：由复数相等的条件知x－2＝1，－y＝1，解得x＝3，y＝－1，所以(1＋i)x＋y＝(1
＋i)2＝2i.
答案：2i
4．(2015年聊城七校联考)若a，b为非零实数，则下列四个命题都成立：
①a＋1a≠0；
②(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；
③若|a|＝|b|，则a＝±b；
④若a2＝ab，则a＝b.
则对于任意非零复数a，b，上述命题仍然成立的序号是________．
解析：当a＝i时，i＋1i＝i－i＝0，①错；
∵|i|＝1，∴a＝i，b＝1时，|a|＝|b|，但i≠±1，③错．
答案：②④
5．已知z是复数，z＋2i，z2－i均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面上对应
的点在第一象限，求实数a的取值范围．
解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则z＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意得y＝－2.
∵z2－i＝x－2i2－i＝15(x－2i)(2＋i)
＝15(2x＋2)＋15(x－4)i.
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由题意得x＝4，∴z＝4－2i.
∴(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i.
由于(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，
∴
??
??
?12＋4a－a2>0，
8?a－2?>0，解得2
∴实数a的取值范围是(2,6)．
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