Gothedistance
A组考点基础演练
一、选择题
1．数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}中连续的三项，则
数列{bn}的公比为()
A.2B．4
C．2D.12
解析：设数列{an}的公差为d(d≠0)，由a23＝a1a7得(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，解得a1＝2d，
故数列{bn}的公比q＝a3a
1
＝a1＋2da
1
＝2a1a
1
＝2.
答案：C
2．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，12a3,2a2成等差数列，则a9＋a10a
7＋a8
＝()
A．1＋2B．1－2
C．3＋22D．3－22
解析：设等比数列的公比为q，由题意知a3＝a1＋2a2，即a1q2＝a1＋2a1q，
∴q2－2q－1＝0，解得q＝1＋2或q＝1－2(舍去)．
∴a9＋a10a
7＋a8
＝?a7＋a8?q
2
a7＋a8＝q
2＝(1＋2)2＝3＋22，故选C.
答案：C
3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1，n∈N)，第k项满足
750
A．8B．7
C．6D．5
解析：由an＋1＝3Sn及an＝3Sn－1(n≥2)，
得an＋1－an＝3an，即an＋1＝4an(n≥2)，
又a2＝3S1＝3，∴an＝
??
??
?1?n＝1?，
3×4n－2?n≥2?，
又750
答案：C
4．(2014年海淀模拟)已知数列{an}满足：a1＝1，an>0，a2n＋1－a2n＝1(n∈N)，那么使an<5
成立的n的最大值为()
A．4B．5
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C．24D．25
解析：由a2n＋1－a2n＝1(n∈N)知，数列{}a2n是首项为1，公差为1的等差数列，则a2n＝1
＋(n－1)×1＝n，由an<5得n<5，∴n<25，故选C.
答案：C
5．设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题错误的是()
A．若d<0，则数列{Sn}有最大项
B．若数列{Sn}有最大项，则d<0
C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N，均有Sn>0
D．若对任意n∈N，均有Sn>0，则数列{Sn}是递增数列
解析：设{an}的首项为a1，则Sn＝na1＋12n(n－1)d＝d2n2＋????a1－d2n.由二次函数性质知Sn
有最大值时，则d<0，故A、B正确；因为{Sn}为递增数列，则d>0，不妨设a1＝－1，d＝2，
显然{Sn}是递增数列，但S1＝－1<0，故C错误；对任意n∈N，Sn均大于0时，a1>0，d>0，
{Sn}必是递增数列，D正确．
答案：C
二、填空题
6．从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升纯酒精，然后填满水，再倒出1升混合溶液后
又用水填满，以此继续下去，则至少应倒________次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之
比低于10%.
解析：设倒n次后纯酒精与总溶液的体积比为an，
则an＝????12n，由题意知????12n<10%，∴n≥4.
答案：4
7．已知数列{an}为等差数列，公差为d，若a11a
10
<－1，且它的前n项和Sn有最大值，则
使得Sn<0的n的最小值为________．
解析：根据Sn有最大值知，d<0，则a10>a11，由a11a
10
<－1知，a10>0>a11，
且a11<－a10即a10＋a11<0，从而S19＝19?a1＋a19?2＝19a10>0，S20＝20?a1＋a20?2＝10(a10＋
a11)<0，
则使Sn<0的n的最小值为20.
答案：20
8．设曲线y＝xn＋1(n∈N)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则xn＝
________，令an＝lgxn，则a1＋a2＋…＋a99的值为________．
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解析：∵y＝xn＋1，∴y′＝(n＋1)xn，
它在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，与x轴交点的横坐标为xn＝1－1n＋1＝
n
n＋1，
由an＝lgxn得an＝lgn－lg(n＋1)，
于是a1＋a2＋…＋a99＝lg1－lg2＋lg2－lg3＋…＋lg99－lg100＝lg1－lg100＝0－2
＝－2.
答案：nn＋1－2
三、解答题
9．已知{an}为等差数列，且a1＋a3＝8，a2＋a4＝12.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记{an}的前n项和为Sn，若a1，ak，Sk＋2成等比数列，求正整数k的值．
解析：(1)设数列{an}的公差为d，则题意知
??
??
?2a1＋2d＝8，
2a1＋4d＝12，解得???
??a1＝2，
d＝2.
所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n，即an＝2n.
(2)由(1)可得Sn＝n?a1＋an?2＝n?2＋2n?2＝n(n＋1)．
因为a1，ak，Sk＋2成等比数列，所以a2k＝a1Sk＋2.
从而(2k)2＝2(k＋2)(k＋3)，即k2－5k－6＝0，
解得k＝6或k＝－1(舍去)，因此k＝6.
10．(2015年武汉模拟)某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价
值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从
第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%.
(1)求第n年初M的价值an的表达式；
(2)设An＝a1＋a2＋…＋ann，若An大于80万元，则M继续使用，否则需在第n年初对M
更新．证明：需在第9年初对M更新．
解析：(1)当n≤6时，数列{an}是首项为120，公差为－10的等差数列，an＝120－10(n
－1)＝130－10n；
当n≥7时，数列{an}是以a6为首项，公比为34的等比数列，又a6＝70，所以an＝70×????34
n－6.
因此，第n年初，M的价值an的表达式为
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an＝
??
??
?130－10n，n≤6，
70×????34n－6，n≥7.
(2)证明：设Sn表示数列{an}的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得当1≤n≤6
时，Sn＝120n－5n(n－1)，An＝120－5(n－1)＝125－5n；
当n≥7时，由于S6＝570，故Sn＝S6＋(a7＋a8＋…＋an)＝570＋70×34×4×????1－????34n－6
＝780－210×????34n－6，An＝
780－210×????34n－6
n.
因为{an}是递减数列，所以{An}是递减数列，又A8＝
780－210×????342
8＝82
47
64>80，A9＝
780－210×????343
9＝76
79
96<80，
所以需在第9年初对M更新．
B组高考题型专练
1．(2014年高考湖北卷)已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式．
(2)记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn＞60n＋800？若存在，求n
的最小值；若不存在，说明理由．
解析：(1)设数列{an}的公差为d，依题意，2,2＋d,2＋4d成等比数列，
故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，
化简得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4.
当d＝0时，an＝2；
当d＝4时，an＝2＋(n－1)·4＝4n－2，
从而得数列{an}的通项公式为an＝2或an＝4n－2.
(2)当an＝2时，Sn＝2n.
显然2n＜60n＋800，
此时不存在正整数n，使得Sn＞60n＋800成立．
当an＝4n－2时，
Sn＝n[2＋?4n－2?]2＝2n2，
令2n2＞60n＋800，即n2－30n－400＞0，
解得n＞40或n＜－10(舍去)，
此时存在正整数n，使得Sn＞60n＋800成立，n的最小值为41.
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综上，当an＝2时，不存在满足题意的n；
当an＝4n－2时，存在满足题意的n，其最小值为41.
2．已知首项为32的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N)，且－2S2，S3,4S4成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明Sn＋1S
n
≤136(n∈N)．
解析：(1)设等比数列{an}的公比为q，因为－2S2，S3,4S4成等差数列，
所以S3＋2S2＝4S4－S3，即S4－S3＝S2－S4，可得2a4＝－a3，于是q＝a4a
3
＝－12.
又a1＝32，所以等比数列{an}的通项公式为an＝32×????－12n－1＝(－1)n－1·32n.
(2)证明：Sn＝1－????－12n，Sn＋1S
n
＝1－????－12n＋1
1－????－12n
＝
?
?
?2＋12n?2n＋1?，n为奇数，
2＋12n?2n－1?，n为偶数.
当n为奇数时，Sn＋1S
n
随n的增大而减小，所以Sn＋1S
n
≤S1＋1S
1
＝136.
当n为偶数时，Sn＋1S
n
随n的增大而减小，所以Sn＋1S
n
≤S2＋1S
2
＝2512.
故对于n∈N，有Sn＋1S
n
≤136.
3．(2014年高考四川卷)设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图象上
(n∈N)．
(1)证明：数列{bn}为等比数列；
(2)若a1＝1，函数f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－1ln2，求数列
{}anb2n的前n项和Sn.
解析：(1)证明：由已知，bn＝2an>0，
当n≥1时，bn＋1b
n
＝2an＋1－an＝2d.
所以，数列{bn}是首项为2a1，公比为2d的等比数列．
(2)函数f(x)＝2x在(a2，b2)处的切线方程为y－2a2＝(2a2ln2)(x－a2)，
它在x轴上的截距为a2－1ln2.
由题意，a2－1ln2＝2－1ln2.
解得a2＝2.
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所以，d＝a2－a1＝1，an＝n，bn＝2n，anb2n＝n·4n.
于是，Sn＝1×4＋2×42＋3×43＋…＋(n－1)·4n－1＋n·4n，
4Sn＝1×42＋2×43＋…＋(n－1)×4n＋n·4n＋1.
因此，Sn－4Sn＝4＋42＋…＋4n－n·4n＋1
＝4
n＋1－4
3－n·4
n＋1
＝?1－3n?4
n＋1－4
3.
所以，Sn＝?3n－1?4
n＋1＋4
9.
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