Gothedistance
A组考点基础演练
一、选择题
1．(2015年大连模拟)设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“”(即
对任意的a，b∈S，对于有序元素对(a，b)，在S中有唯一确定的元素ab与之对应)，若对
任意的a，b∈S，有a(ba)＝b，则对任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是()
A．(ab)a＝aB．[a(ba)](ab)＝a
C．b(bb)＝bD．(ab)[b(ab)]＝b
解析：由已知条件可得对任意a，b∈S，a(ba)＝b，则b(bb)＝b，[a(ba)](ab)
＝b(ab)＝a，(ab)[b(ab)]＝(ab)a＝b，即选项B、C、D中的等式均恒成立，仅选项
A中的等式不恒成立．故选A.
答案：A
2．(2014年安阳模拟)若a
A.1a<1bB．a＋1b>b＋1a
C．b＋1a>a＋1bD.ba
解析：(特值法)取a＝－2，b＝－1，验证C正确．
答案：C
3．(2015年张家口模拟)分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a
＋b＋c＝0，求证b2－ac<3a”索的因应是()
A．a－b>0B．a－c>0
C．(a－b)(a－c)>0D．(a－b)(a－c)<0
解析：由题意知b2－ac<3a?b2－ac<3a2?(a＋c)2－ac<3a2?a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0?－
2a2＋ac＋c2<0?2a2－ac－c2>0?(a－c)(2a＋c)>0?(a－c)(a－b)>0.
答案：C
4．已知函数f(x)满足：f(a＋b)＝f(a)·f(b)，f(1)＝2，则f
2?1?＋f?2?
f?1?＋
f2?2?＋f?4?
f?3?＋
f2?3?＋f?6?
f?5?
＋f
2?4?＋f?8?
f?7?＝()
A．4B．8
C．12D．16
解析：根据f(a＋b)＝f(a)·f(b)，得f(2n)＝f2(n)．又f(1)＝2，则f?n＋1?f?n?＝2.由f
2?1?＋f?2?
f?1?＋
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f2?2?＋f?4?
f?3?＋
f2?3?＋f?6?
f?5?＋
f2?4?＋f?8?
f?7?＝
2f?2?
f?1?＋
2f?4?
f?3?＋
2f?6?
f?5?＋
2f?8?
f?7?＝16.
答案：D
5．已知a>0，b>0，如果不等式2a＋1b≥m2a＋b恒成立，那么m的最大值等于()
A．10B．9
C．8D．7
解析：∵a>0，b>0，∴2a＋b>0.
∴不等式可化为m≤????2a＋1b(2a＋b)＝5＋2????ba＋ab.∵5＋2????ba＋ab≥5＋4＝9，即其最小值
为9，∴m≤9，即m的最大值等于9.
答案：B
二、填空题
6．(2015年华师附中一模)如果aa＋bb>ab＋ba，则a，b应满足的条件是________．
解析：∵aa＋bb>ab＋ba?(a－b)2·(a＋b)>0?a≥0，b≥0且a≠b.
答案：a≥0，b≥0且a≠b
7．已知点An(n，an)为函数y＝x2＋1图象上的点，Bn(n，bn)为函数y＝x图象上的点，
其中n∈N，设cn＝an－bn，则cn与cn＋1的大小关系为________．
解析：由条件得cn＝an－bn＝n2＋1－n＝1n2＋1＋n，∴cn随n的增大而减小．∴cn＋1
答案：cn＋1
8．(2014年荆门一模)若记号“※”表示求两个实数a和b的算术平均数的运算，即a
※b＝a＋b2，则两边均含有运算符号“※”和“＋”，且对于任意3个实数a，b，c都能成
立一个等式可以是________．
解析：∵a※b＝a＋b2，b※a＝b＋a2，∴a※b＋c＝b※a＋c.
答案：a※b＋c＝b※a＋c
三、解答题
9．已知a，b，m为非零实数，且a2＋b2＋2－m＝0，1a2＋4b2＋1－2m＝0.
(1)求证：1a2＋4b2≥9a2＋b2；
(2)求证：m≥72.
解析：(1)(分析法)要证1a2＋4b2≥9a2＋b2成立，只需证????1a2＋4b2(a2＋b2)≥9，
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即证1＋4＋b
2
a2＋
4a2
b2≥9，即证
b2
a2＋
4a2
b2≥4.
根据基本不等式，有b
2
a2＋
4a2
b2≥2
b2
a2·
4a2
b2＝4成立，
所以原不等式成立．
(2)(综合法)因为a2＋b2＝m－2，1a2＋4b2＝2m－1，
由(1)，知(m－2)(2m－1)≥9，即2m2－5m－7≥0，解得m≤－1或m≥72.
因为a2＋b2＝m－2>0，1a2＋4b2＝2m－1>0，所以m≥72.
10．在△ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数
列，a，b，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．
证明：由A，B，C成等差数列，有2B＝A＋C.①
因为A，B，C为△ABC的内角，所以A＋B＋C＝π.②
由①②得，B＝π3.③
由a，b，c成等比数列，有b2＝ac.④
由余弦定理及③可得，
b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac.
再由④得，a2＋c2－ac＝ac.即(a－c)2＝0，因此a＝c.从而有A＝C.⑤
由②③⑤得，A＝B＝C＝π3.
所以△ABC为等边三角形．
B组高考题型专练
1．(2014年高考山东卷)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至
少有一个实根”时，要做的假设是()
A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
解析：反证法中否定结论需全否定，“至少有一个”的否定为“一个也没有”．
答案：A
2．设{an}是公比为q的等比数列．
(1)推导{an}的前n项和公式；
(2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．
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解析：(1)设{an}的前n项和为Sn，
当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；
当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①
qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②
①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，
∴Sn＝a1?1－q
n?
1－q，∴Sn＝???
??na1，q＝1，
a1?1－qn?
1－q，q≠1.
(2)证明：假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N＋，
(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，
a2k＋1＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，
a21q2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1，
∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1.
∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，
∴q＝1，这与已知矛盾．
∴假设不成立，故{an＋1}不是等比数列．
3．(2013年高考新课标全国卷Ⅱ)设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：
(1)ab＋bc＋ac≤13；
(2)a
2
b＋
b2
c＋
c2
a≥1.
证明：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac得
a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，
即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.
所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤13.
(2)因为a
2
b＋b≥2a，
b2
c＋c≥2b，
c2
a＋a≥2c，
故a
2
b＋
b2
c＋
c2
a＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，
即a
2
b＋
b2
c＋
c2
a≥a＋b＋c，所以
a2
b＋
b2
c＋
c2
a≥1.
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