Gothedistance
A组考点基础演练
一、选择题
1．设A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，AB的中点为M，则|CM|等于()
A.534B.532
C.532D.132
解析：设M(x，y，z)，则x＝3＋12＝2，y＝3＋02＝32，z＝1＋52＝3，即M????2，32，3，|CM|
＝?2－0?2＋????32－12＋?3－0?2＝532.故选C.
答案：C
2．(2015年茂名调研)已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)．若a，b，c
三向量共面，则实数λ等于()
A.627B.637
C.607D.657
解析：由题意得c＝ta＋μb＝(2t－μ，－t＋4μ，3t－2μ)，
∴
??
??
?7＝2t－μ，
5＝－t＋4μ，
λ＝3t－2μ.
∴
??
??
?t＝337，
μ＝177，
λ＝657.
答案：D
3.如图所示，已知平行六面体OABCO1A1B1C1，点G是上底面O1A1B1C1的中心，且OA→
＝a，OC→＝b，OO1→＝c，则用a，b，c表示向量OG→为()
A.12(a＋b＋2c)B.12(2a＋b＋c)
C.12(a＋2b＋c)D.12(a＋b＋c)
Gothedistance
解析：OG→＝OO1→＋O1G→＝OO1→＋12(OA→＋OC→)＝12a＋12b＋c，故选A.
答案：A
4．(2015年东营质检)已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)，OA→＋λOB→与OB→的夹角为120°，则λ
的值为()
A．±66B.66
C．－66D．±6
解析：OA→＋λOB→＝(1，－λ，λ)，
cos120°＝λ＋λ1＋2λ2·2＝－12，得λ＝±66.
经检验λ＝66不合题意，舍去，∴λ＝－66.
答案：C
5．设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若OG→
＝xOA→＋yOB→＋zOC→，则(x，y，z)为()
A.????14，14，14B.????34，34，34
C.????13，13，13D.????23，23，23
解析：如图所示，取BC的中点E，连接AE.
OG→＝34OG1→＝34(OA→＋AG1→)＝34OA→＋12AE→＝34OA→＋14(AB→＋AC→)＝34OA→＋14(OB→－OA→＋OC→－
OA→)
＝14(OA→＋OB→＋OC→)．
答案：A
二、填空题
6．(2015年南昌模拟)已知空间四边形OABC，点M，N分别是OA，BC的中点，用OA→
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＝a，OB→＝b，OC→＝c，用a，b，c表示向量MN→＝________.
解析：MN→＝12(MB→＋MC→)＝12[(OB→－OM→)＋(OC→－OM→)]＝12(OB→＋OC→－2OM→)＝12(OB→＋OC→
－OA→)＝12(b＋c－a)．
答案：12(b＋c－a)
7．已知向量a，b满足条件：|a|＝2，|b|＝2，且a与2b－a互相垂直，则a与b的夹
角为________．
解析：由于a与2b－a互相垂直，则a·(2b－a)＝0，即2a·b－|a|2＝0，所以2|a||ba，
b－|0|2＝0，则42a，b－4＝0，则a，b＝22，所以a与b的夹角为45°.
答案：45°
8．已知O(0,0,0)，A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，当QA→·QB→取最
小值时，点Q的坐标是________．
解析：设OQ→＝λOP→＝(λ，λ，2λ)，则QA→＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB→＝(2－λ，1－λ，2
－2λ)．
∴QA→·QB→＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6????λ－432－23.
∴当λ＝43时，QA→·QB→取最小值为－23.此时，OQ→＝????43，43，83，
即Q点的坐标是????43，43，83.
答案：????43，43，83
三、解答题
9．在长方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC的中点．设E是棱DD1上的点，且DE→＝23DD1→，
试用AB→，AD→，AA1→表示EO→.
解析：EO→＝ED→＋DO→＝23D1D→＋12DB→＝23D1D→＋12(DA→＋AB→)＝23A1A→＋12DA→＋12AB→＝12AB→－12
AD→－23AA1→.
10.如图，在直三棱柱ABCA′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别
为AB，BB′的中点．
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(1)求证：CE⊥A′D；
(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．
B组高考题型专练
1．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是()
A．－1B.43
C.53D.75
解析：因为(ka＋b)·(2a－b)＝0，即2ka2－b2＋(2－k)a·b＝0，即4k－5＋(2－k)×(－1)
＝0，解得k＝75.故选D.
答案：D
2.如图所示，已知空间四边形OABC中，|OB|＝|OC|，且∠AOB＝∠AOC，则OA→、CB→夹
角θ的余弦值为()
Gothedistance
A．0B.12
C.32D.22
解析：设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c.由已知条件∠AOB＝∠AOC，且|b|＝|c|，OA→·BC→＝a·(c
－b)＝a·c－a·b＝|a||c|cos∠AOC－|a||b|cos∠AOB＝0，得cosθ＝0.
答案：A
3．(2015年西安联考)已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝29且λ>0，则λ＝
________.
解析：λa＋b＝(4，－λ＋1，λ)，
所以|λa＋b|＝16＋?－λ＋1?2＋λ2＝2λ2－2λ＋17＝29，化简整理得λ2－λ－6＝0，解
得λ＝－2或λ＝3，
又λ>0，所以λ＝3.
答案：3
4．(2015年深圳联考)已知A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7，－5)，点P(x，－1,3)在平面ABC
内，则x＝________.
解析：根据共面向量定理设AP→＝λAB→＋μAC→，
即(x－4，－2,0)＝λ(－2,2，－2)＋μ(－1,6，－8)，
由此得
??
??
?x－4＝－2λ－μ，
－2＝2λ＋6μ，
0＝－2λ－8μ.
解得λ＝－4，μ＝1，
所以x＝4＋8－1＝11.
答案：11
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