Gothedistance
A组考点基础演练
一、选择题
1．直线x＋3y＋m＝0(m∈k)的倾斜角为()
A．30°B．60°
C．150°D．120°
解析：∵直线的斜率k＝－33，∴tanα＝－33.
又0≤α<180°，∴α＝150°.故选C.
答案：C
2．(2014年江门模拟)如果A·C<0，且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过()
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
解析：由题意知A·B·C≠0，
直线方程变为y＝－ABx－CB.
∵A·C<0，B·C<0，∴A·B>0，
∴其斜率k＝－AB<0，
又y轴上的截距b＝－CB>0，
∴直线过第一、二、四象限．
答案：C
3．已知{an}是等差数列，a4＝15，S5＝55，则过点P(3，a3)，Q(4，a4)的直线斜率为()
A．4B.14
C．－4D．－14
解析：∵{an}为等差数列，a4＝15，S5＝55，
∴a1＝3，d＝4，∴a3＝11.
∴kPQ＝a4－a34－3＝4.
答案：A
4．经过点P(－5，－4)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是()
A．8x＋5y＋20＝0或2x－5y－12＝0
B．8x－5y－20＝0或2x－5y＋10＝0
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C．8x＋5y＋10＝0或2x＋5y－10＝0
D．8x－5y＋20＝0或2x－5y－10＝0
解析：由题意设所求方程为y＋4＝k(x＋5)，即kx－y＋5k－4＝0.由12·|5k－4|·????4k－5＝5
得，k＝85或k＝25.
答案：D
5．(2015年哈尔滨模拟)函数y＝asinx－bcosx的一条对称轴为x＝π4，则直线l：ax－by
＋c＝0的倾斜角为()
A．45°B．60°
C．120°D．135°
解析：由函数y＝f(x)＝asinx－bcosx的一条对称轴为x＝π4知，f(0)＝f????π2，即－b＝a，
∴直线l的斜率为－1，
∴倾斜角为135°.
答案：D
二、填空题
6．(2014年韶关调研)已知函数f(x)＝x－4lnx，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方
程为________．
解析：由f′(x)＝1－4x，则k＝f′(1)＝－3，又f(1)＝1，故切线方程为y－1＝－3(x
－1)，即3x＋y－4＝0.
答案：3x＋y－4＝0
7．(2015年温州模拟)直线3x－4y＋k＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k＝
________.
解析：令x＝0，得y＝k4；令y＝0，得x＝－k3.
则有k4－k3＝2，所以k＝－24.
答案：－24
8．设直线系A：(x－1)cosθ＋(y－1)sinθ＝1(0≤θ＜2π)，对于下列五个命题：
①存在定点P不在A中的任一直线上；
②A中所有直线均经过一个定点；
③对于任意的正整数n(n≥3)，存在正n边形，其所有边均在A中的直线上；
④A中的直线所能围成的正三角形的面积都相等；
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⑤A中的直线所能围成的正方形的面积都相等．
其中所有真命题的序号是________．
解析：存在定点P(1,1)不在A中的任一直线上，故①正确；因为点P(1,1)到A中任一直
线的距离都等于1，所以A中所有直线均为圆P：(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，不经过一个
定点，故②错误；对于任意的正整数n(n≥3)，存在正n边形，使其内切圆为圆P，此时其
所有边均在A中的直线上，故③正确；A中的直线所能围成的正三角形，可能是以圆P为
内切圆的正三角形，也可能是以圆P为旁切圆的正三角形，所以面积不都相等，故④错误；
A中的直线所能围成的正方形，都使得圆P为正方形的内切圆，所以面积都相等，故⑤正确．
答案：①③⑤
三、解答题
9．(2015年临沂月考)设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
解析：(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为0，当然相等．∴a＝2，方
程即为3x＋y＝0.
当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，
得a－2a＋1＝a－2，即a＋1＝1，
∴a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.
综上，l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.
(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，
∴
??
??
?－?a＋1?>0，
a－2≤0或???
??－?a＋1?＝0，
a－2≤0.∴a≤－1.
综上可知a的取值范围是(－∞，－1]．
10．已知两点A(－1,2)，B(m,3)．
(1)求直线AB的方程；
(2)已知实数m∈????－33－1，3－1，求直线AB的倾斜角α的取值范围．
解析：(1)当m＝－1时，
直线AB的方程为x＝－1，
当m≠－1时，
直线AB的方程为y－2＝1m＋1(x＋1)．
即x－(m＋1)y＋2m＋3＝0.
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(2)①当m＝－1时，α＝π2；
②当m≠－1时，
m＋1∈????－33，0∪(0，3]，
∴k＝1m＋1∈(－∞，－3)∪????33，＋∞，
∴α∈????π6，π2∪????π2，2π3.
综合①②知，
直线AB的倾斜角α∈????π6，2π3.
B组高考题型专练
1．直线2x－my＋1－3m＝0，当m变动时，所有直线都通过定点()
A.????－12，3B.????12，3
C.????12，－3D.????－12，－3
解析：∵(2x＋1)－m(y＋3)＝0恒成立，
∴2x＋1＝0，y＋3＝0，∴x＝－12，y＝－3.
∴定点为????－12，－3.
答案：D
2.某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m
年的年平均产量最高，m值为()
A．5B．7
C．9D．11
解析：依题意Snn表示图象上的点(n，Sn)与原点连线的斜率．
由图象可知，当n＝9时，Snn最大，故m＝9.
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答案：C
3．(2014年海淀一模)已知点A(－1,0)，B(cosα，sinα)，且|AB|＝3，则直线AB的方
程为()
A．y＝3x＋3或y＝－3x－3
B．y＝33x＋33或y＝－33x－33
C．y＝x＋1或y＝－x－1
D．y＝2x＋2或y＝－2x－2
解析：|AB|＝?cosα＋1?2＋sin2α
＝2＋2cosα＝3，
所以cosα＝12，sinα＝±32，
所以kAB＝±33，即直线AB的方程为y＝±33(x＋1)，所以直线AB的方程为y＝33x＋33
或y＝－33x－33，选B.
答案：B
4．(2013年高考辽宁卷)已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB为直角三角形，
则必有()
A．b＝a3
B．b＝a3＋1a
C．(b－a3)????b－a3－1a＝0
D．|b－a3|＋????b－a3－1a＝0
解析：根据直角三角形的直角的位置求解．
若以O为直角顶点，则B在x轴上，则a必为0，此时O，B重合，不符合题意；
若∠A＝π2，则b＝a3≠0.
若∠B＝π2，根据斜率关系可知a2·a
3－b
a＝－1，
所以a(a3－b)＝－1，即b－a3－1a＝0.
以上两种情况皆有可能，故只有C满足条件．
答案：C
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5．已知实数x，y满足不等式组
??
??
?x－y＋1≥0，
x＋y－1≥0，
y≥3x－3，
则z＝y－1x＋1的最大值为________．
解析：作出实数x，y满足的可行域(如图)，
则z＝y－1x＋1可看作区域内的点(x，y)
与点(－1,1)连线的斜率，易知在点A处z取得最大值，由
??
??
?x－y＋1＝0
y＝3x－3
可得A(2,3)，∴zmax＝3－12＋1＝23.
答案：23
6．(2015年杭州调研)已知直线l过点P(2，－1)，在x轴和y轴上的截距分别为a，b，
且满足a＝3b.则直线l的方程为________．
解析：①若a＝3b＝0，则直线过原点(0,0)，
此时直线斜率k＝－12，直线方程为x＋2y＝0.
②若a＝3b≠0，设直线方程为xa＋yb＝1，
即x3b＋yb＝1.
由于点P(2，－1)在直线上，
所以b＝－13.
从而直线方程为－x－3y＝1，
即x＋3y＋1＝0.
综上所述，所求直线方程为x＋2y＝0或x＋3y＋1＝0.
答案：x＋2y＝0或x＋3y＋1＝0
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