Gothedistance
A组考点基础演练
一、选择题
1．直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝1的位置关系是()
A．相交
B．相切
C．相离
D．无法确定，与m的取值有关
解析：圆心到直线的距离d＝|－1－m＋1|m2＋1＝|m|m2＋1＜1＝r，故选A.
答案：A
2．由直线y＝x＋1上的一点向圆x2－6x＋y2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为()
A．1B．22
C.7D．3
解析：切线长的最小值在直线y＝x＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线
的距离为d＝|3－0＋1|2＝22，圆的半径为1，故切线长的最小值为d2－r2＝8－1＝7.
答案：C
3．(2015年三明一模)直线y＝kx＋3与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N两点，若
|MN|≥23，则k的取值范围是()
A.????－34，0B.????－33，33
C．[－3，3]D.????－23，0
解析：设弦心距为d，则由题意知d＝22－????MN22≤1，即|2k－3＋3|k2＋1≤1，解得－33
≤k≤33.
答案：B
4．(2013年高考天津卷)已知过点P(2,2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax
－y＋1＝0垂直，则a＝()
A．－12B．1
C．2D.12
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解析：由题意知圆心为(1,0)，由圆的切线与直线ax－y＋1＝0垂直，可设圆的切线方程
为x＋ay＋c＝0，由切线x＋ay＋c＝0过点P(2,2)，∴c＝－2－2a，∴|1－2－2a|1＋a2＝5，解得
a＝2.
答案：C
5．(2014年合肥二模)已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1外
切，则ab的最大值为()
A.62B.32
C.94D．23
解析：由两圆外切可得圆心(a，－2)，(－b，－2)之间的距离等于两圆半径之和，即(a
＋b)2＝(2＋1)2，即9＝a2＋b2＋2ab≥4ab，所以ab≤94，当且仅当a＝b时取等号，即ab的
最大值是94.
答案：C
二、填空题
6．(2014年高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y
＋1)2＝4截得的弦长为________．
解析：因为圆心(2，－1)到直线x＋2y－3＝0的距离d＝|2－2－3|5＝35，所以直线x＋
2y－3＝0被圆截得的弦长为24－95＝2555.
答案：2555
7．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为23，则a＝________.
解析：两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x2＋y2＋2ay－6)－(x2＋y2)＝0－4
?y＝1a，又a>0，结合图象(图略)，再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，
可知1a＝22－?3?2＝1?a＝1.
答案：1
8．(2014年高考重庆卷)已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相
交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________.
解析：易知△ABC是边长为2的等边三角形，故圆心C(1，a)到直线AB的距离为3，
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即|a＋a－2|a2＋1＝3，解得a＝4±15.经检验均符合题意，则a＝4±15.
答案：4±15
三、解答题
9．已知直线l：2mx－y－8m－3＝0和圆C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0.
(1)m∈R时，证明l与C总相交；
(2)m取何值时，l被C截得的弦长最短？求此弦长．
解析：(1)证明：直线的方程可化为y＋3＝2m(x－4)，
由点斜式可知，直线过点P(4，－3)．
由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0，
所以点P在圆内，故直线l与圆C总相交．
(2)圆的方程可化为(x－3)2＋(y＋6)2＝25.如图，当圆心C(3，－6)到直线l的距离最大时，
线段AB的长度最短．
此时PC⊥l，又kPC＝－3－?－6?4－3＝3，所以直线l的斜率为－13，
则2m＝－13，所以m＝－16.
在Rt△APC中，|PC|＝10，|AC|＝r＝5，
所以|AB|＝2|AC|2－|PC|2＝215.
故当m＝－16时，l被C截得的弦长最短，最短弦长为215.
10．已知圆M：x2＋(y－2)2＝1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两
点．
(1)若Q(1,0)，求切线QA，QB的方程；
(2)求四边形QAMB面积的最小值；
(3)若|AB|＝423，求直线MQ的方程．
解析：(1)设过点Q的圆M的切线方程为x＝my＋1，
则圆心M到切线的距离为1，
∴|2m＋1|m2＋1＝1，∴m＝－43或0，
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∴QA，QB的方程分别为3x＋4y－3＝0和x＝1.
(2)∵MA⊥AQ，∴S四边形MAQB＝|MA|·|QA|＝|QA|＝|MQ|2－|MA|2＝|MQ|2－1
≥|MO|2－1
＝3.
∴四边形QAMB面积的最小值为3.
(3)设AB与MQ交于P，
则MP⊥AB，MB⊥BQ，∴|MP|＝1－????2232＝13.
在Rt△MBQ中，|MB|2＝|MP||MQ|，即1＝13|MQ|，
∴|MQ|＝3，∴x2＋(y－2)2＝9.
设Q(x,0)，则x2＋22＝9，
∴x＝±5，∴Q(±5，0)，
∴MQ的方程为2x＋5y－25＝0或2x－5y＋25＝0.
B组高考题型专练
1．若直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，则k，b
的值分别为()
A.12，－4B．－12，4
C.12，4D．－12，－4
解析：因为直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，所
以直线y＝kx与直线2x＋y＋b＝0垂直，且直线2x＋y＋b＝0过圆心，所以
??
??
?k＝12，
2×2＋0＋b＝0，
解得k＝12，b＝－4.
答案：A
2．(2013年高考山东卷)过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，
则直线AB的方程为()
A．2x＋y－3＝0B．2x－y－3＝0
C．4x－y－3＝0D．4x＋y－3＝0
解析：如图，圆心坐标为C(1,0)，易知A(1,1)，又kAB·kPC＝－1，且kPC＝1－03－1＝12，
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∴kAB＝－2.
故直线AB的方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0.
答案：A
3．(2015年泉州质检)若直线3x－4y＝0与圆x2＋y2－4x＋2y－7＝0相交于A，B两点，
则弦AB的长为()
A．2B．4
C．22D．42
解析：圆x2＋y2－4x＋2y－7＝0的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝12，则圆心为(2，－1)，
半径r＝23，又圆心到直线3x－4y＝0的距离d＝|6＋4|5＝2，所以弦AB的长为2r2－d2＝
212－4＝42.
答案：D
4．两个圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)与C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0(b∈R)恰有
三条公切线，则a＋b的最小值为()
A．－6B．－3
C．－32D．3
解析：圆C1：(x＋a)2＋y2＝4，C2：x2＋(y－b)2＝1，∴圆C1的圆心C1(－a,0)，半径r1
＝2，圆C2的圆心C2(0，b)，半径r2＝1.已知两圆恰有三条公切线，则两圆相外切，圆心距
等于两圆半径之和，∴a2＋b2＝3，则|a＋b|＝?a＋b?2≤2?a2＋b2?＝32，∴－32≤a
＋b≤32，故a＋b的最小值为－32.
答案：C
5．(2013年高考安徽卷)直线x＋2y－5＋5＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为
()
A．1B．2
C．4D．46
解析：圆的方程可化为C：(x－1)2＋(y－2)2＝5，其圆心为C(1,2)，半径R＝5.如图所
示，取弦AB的中点P，连接CP，则CP⊥AB，圆心C到直线AB的距离d＝|CP|＝|1＋4－5＋5|12＋22
＝1.
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在Rt△ACP中，|AP|＝R2－d2＝2，故直线被圆截得的弦长|AB|＝4.
答案：C
6．(2013年高考浙江卷)直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长等于
________．
解析：圆的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25.故圆心为(3,4)，半径r＝5.又直线方程为2x
－y＋3＝0，所以圆心到直线的距离为d＝|2×3－4＋3|4＋1＝5，所以弦长为2r2－d2＝
2×25－5＝220＝45.
答案：45
7．(2014年高考新课标全国卷Ⅱ)设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得
∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．
解析：由题意可知M在直线y＝1上运动，设直线y＝1与圆x2＋y2＝1相切于点P(0,1)．当
x0＝0即点M与点P重合时，显然圆上存在点N(±1,0)符合要求；当x0≠0时，过M作圆的
切线，切点之一为点P，此时对于圆上任意一点N，都有∠OMN≤∠OMP，故要存在∠OMN
＝45°，只需∠OMP≥45°.特别地，当∠OMP＝45°时，有x0＝±1.结合图形可知，符合条件
的x0的取值范围为[－1,1]．
答案：[－1,1]
8．已知圆C的方程为x2＋(y－4)2＝4，点O是坐标原点．直线l：y＝kx与圆C交于M，
N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)设Q(m，n)是线段MN上的点，且2|OQ|2＝1|OM|2＋1|ON|2.请将n表示为m的函数．
解析：(1)将y＝kx代入x2＋(y－4)2＝4得
(1＋k2)x2－8kx＋12＝0，()
由Δ＝(－8k)2－4(1＋k2)×12>0得k2>3.
所以k的取值范围是(－∞，－3)∪(3，＋∞)．
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(2)因为M，N在直线l上，
可设点M，N的坐标分别为(x1，kx1)，(x2，kx2)，则|OM|2＝(1＋k2)x21，|ON|2＝(1＋k2)x22，
又|OQ|2＝m2＋n2＝(1＋k2)m2，
由2|OQ|2＝1|OM|2＋1|ON|2得
2
?1＋k2?m2＝
1
?1＋k2?x21＋
1
?1＋k2?x22，
所以2m2＝1x2
1
＋1x2
2
＝?x1＋x2?
2－2x
1x2
x21x22.
由()知x1＋x2＝8k1＋k2，x1x2＝121＋k2，
所以m2＝365k2－3.
因为点Q在直线l上，所以k＝nm，
代入m2＝365k2－3，
可得5n2－3m2＝36，
由m2＝365k2－3及k2>3得0
即m∈(－3，0)∪(0，3)．
依题意，点Q在圆C内，则n>0，
所以n＝36＋3m
2
5＝
15m2＋180
5，
于是，n与m的函数关系为
n＝15m
2＋180
5(m∈(－3，0)∪(0，3))．
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