高考数学课时训练9-3

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A组考点基础演练

一、选择题

1．(2014年高考陕西卷)设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi

＝xi＋a(a为非零常数，i＝1,2，…，10)，则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为()

A．1＋a,4B．1＋a,4＋a

C．1,4D．1,4＋a

解析：给每个数据都加上常数a后，均值也增加a，方差不变，故选A.

答案：A

2.(2015年惠州模拟)某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比

赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员的中位数分别为()



A．19、13

B．13、19

C．20、18

D．18、20

解析：由茎叶图可知，甲的中位数为19，乙的中位数为13.故选A.

答案：A

3．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那

么由此求出的平均数与实际平均数的差为()

A．3.5B．－3

C．3D．－0.5

解析：设这30个数据为105，x1，x2，…，x29，

∴实际的平均数为130(105＋x1＋x2＋…＋x29)

＝130[90＋(15＋x1＋x2＋…＋x29)]

＝3＋130(15＋x1＋x2＋…＋x29)

∴由此求出的平均数与实际平均数的差为

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1

30(15＋x1＋x2＋…＋x29)－

1

30(105＋x1＋x2＋…＋x29)＝－3，应选B.

答案：B

4．为了研究大学生就业后的收入问题，一个研究机构调查了在2009年已经就业且工作

满两年的10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如图所示)．为了分析其收

入与学历、职业、性别等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出200人作

进一步调查，其中月收入低于1500元的称为低收入者，高于3000元的称为高收入者，则

应在低收入者和高收入者中分别抽取的人数是()



A．1000,2000B．40,80

C．20,40D．10,20

解析：低收入者的频率是0.0002×500＝0.1，故从低收入者中抽取200×0.1＝20人；

高收入者的频率是(0.0003＋0.0001)×500＝0.2，

故从高收入者中抽取200×0.2＝40人．故选C.

答案：C

5．(2015年西安中学月考)为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学

生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为mo，平

均值为x，则()



A．me＝mo＝xB．me＝mo
C．me
解析：由题目所给的统计图可知，30个得分中，按大小顺序排好后，中间的两个得分

为5,6，故中位数me＝6＋52＝5.5，又众数mo＝5，平均值x＝

3×2＋4×3＋5×10＋6×6＋7×3＋8×2＋9×2＋10×2

30

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＝17930，

∴mo
答案：D

二、填空题

6．一组数据是19,20，x,43，已知这组数据的平均数是整数，且24
的平均数及方差分别为________、________.

解析：∵14(19＋20＋x＋43)＝82＋x4为整数，且24
∴x＝26，

∴这组数据的平均数x＝82＋264＝27，

方差s2＝14[(19－27)2＋(20－27)2＋(26－27)2＋(43－27)2]

＝14(64＋49＋1＋256)

＝14×370

＝92.5.

答案：2792.5

7．(2014年高考江苏卷)为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的

底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80,130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽

测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100cm.



解析：由题意，在抽测的60株树木中，底部周长小于100cm的株数为(0.015＋

0.025)×10×60＝24.

答案：24

8.下面茎叶图是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平

均成绩超过乙的平均成绩的概率是________．

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解析：由图可知，甲的5次成绩分别是88,89,90,91,92，易知甲的平均分为90.乙的成绩

分别是83,83,87,99，其中被污损的那次成绩为90到99中的某一个．设被污损的那次成绩为

x，由甲的平均成绩超过乙的平均成绩，得83＋83＋87＋x＋995<90.所以x<98.又x是90到99

的十个整数中的其中一个，其中有8个整数小于98，所以x<98的概率为810＝45.

答案：45

三、解答题

9．从甲、乙两名学生中选拔一人参加射击比赛，对他们的射击水平进行了测试，两人

在相同条件下各射击10次，命中的环数如下：

甲：7,8,6,9,6,5,9,9,7,4.

乙：9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.

(1)分别计算甲、乙两人射击命中环数的极差、众数和中位数；

(2)分别计算甲、乙两人射击命中环数的平均数、方差、标准差；

(3)比较两人的成绩，然后决定选择哪一个人参赛．

解析：(1)对于甲：极差是9－4＝5，众数是9，中位数是7；

对于乙：极差是9－5＝4，众数是7，中位数是7.

(2)x甲＝7＋8＋6＋9＋6＋5＋9＋9＋7＋410＝7，

s2甲＝110[(7－7)2＋(8－7)2＋(6－7)2＋(9－7)2＋(6－7)2＋(5－7)2＋(9－7)2＋(9－7)2＋(7－

7)2＋(4－7)2]＝2.8，

s甲＝s2甲＝2.8≈1.673；

x乙＝9＋5＋7＋8＋7＋6＋8＋6＋7＋710＝7，

s2乙＝110[(9－7)2＋(5－7)2＋(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(6－7)2＋(7－

7)2＋(7－7)2]＝1.2，

s乙＝s2乙＝1.2≈1.095；

(3)∵x甲＝x乙，s甲>s乙，

∴甲、乙两人的平均成绩相等，乙的成绩比甲的成绩稳定一些，从成绩的稳定性考虑，

可以选择乙参赛．

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10．(2015年济南模拟)从某校高三年级800名男生中随机抽取50名学生测量其身高，

据测量，被测学生的身高全部在155cm到195cm之间．将测量结果按如下方式分成8组：

第一组[155,160)，第二组[160,165)，…，第八组[190,195]，下图是按上述分组得到的频率分

布直方图的一部分．已知第一组与第八组的人数相同，第七组与第六组的人数差恰好为第八

组与第七组的人数差．



求下列频率分布表中所标字母的值，并补充完成频率分布直方图．

频率分布表：

分组频数频率频率/组距

…………

[180,185)xyz

[185,190)mnp

…………

解析：由频率分布直方图可知前五组的频率和是(0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5

＝0.82，第八组的频率是0.008×5＝0.04，所以第六、七组的频率和是1－0.82－0.04＝0.14，

所以第八组的人数为50×0.04＝2，第六、七组的总人数为50×0.14＝7.

由已知得x＋m＝7，m－x＝2－m，

解得x＝4，m＝3，

所以y＝0.08，n＝0.06，z＝0.016，p＝0.012.

补充完成频率分布直方图如图所示．



B组高考题型专练

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1．(2014年高考山东卷)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所

有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，

将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组．如图是根据试验数据制

成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第

三组中有疗效的人数为()



A．6B．8

C．12D．18

解析：由题图可知，第一组和第二组的频率之和为(0.24＋0.16)×1＝0.40，故该试验共

选取的志愿者有200.40＝50人．所以第三组共有50×0.36＝18人，其中有疗效的人数为18－6

＝12.

答案：C

2．某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如下：



根据上图对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确的是()

A．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差

B．甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数

C．甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值

D．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定

解析：由茎叶图可得，甲运动员得分的极差为47－18＝29，乙运动员得分的极差为33

－17＝16，即可得A正确；甲运动员得分的中位数为30，乙运动员得分的中位数为26，即

B正确；甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值，即C正确；乙运动员的成绩

分布较甲运动员的更集中，即D不正确，故应选D.

答案：D

3．由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于

1，则这组数据为________．

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解析：不妨设x1≤x2≤x3≤x4，由中位数及平均数均为2，得x1＋x4＝x2＋x3＝4，故这四

个数只可能为1,1,3,3或1,2,2,3或2,2,2,2，由标准差为1可得这四个数只能为1,1,3,3.

答案：1,1,3,3

4.一个容量为200的样本的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在[5,9)内的频率和

频数分别为________．



解析：利用等量关系：频率＝小长方形的面积＝小长方形的高×组距来求解，可得样本

数据落在[5,9)内的频率为0.05×4＝0.2.

求样本数据落在某个区间上的频数时，我们可以利用频率＝频数总数这个等量关系来求解，

已知样本容量为200，所以所求频数为200×0.2＝40.

答案：0.240

5．(2013年高考湖北卷)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都

在50至350度之间，频率分布直方图如图所示．

(1)直方图中x的值为________；

(2)在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为________．



解析：(1)由频率分布直方图知[200,250)小组的频率为1－(0.0024＋0.0036＋0.0060＋

0.0024＋0.0012)×50＝0.22，于是x＝0.2250＝0.0044.

(2)数据落在[100,250)内的频率是(0.0036＋0.0060＋0.0044)×50＝0.7，所以月用电量在

[100,250)内的户数为100×0.7＝70.

答案：(1)0.0044(2)70

6.随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数

据的茎叶图如图所示．

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(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；

(2)计算甲班的样本方差；

(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm

的同学被抽中的概率．

解析：(1)由茎叶图可知：甲班身高集中160cm～179cm之间，而乙班身高集中于170

cm～179cm之间．因此乙班平均身高高于甲班．

(2)甲班的平均身高为

x＝158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋179＋18210

＝170(cm)．

甲班的样本方差为s2＝110[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168

－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2(cm2)．

(3)设身高为176cm的同学被抽中的事件为A.从乙班10名同学中抽中两名身高不低于

173cm的同学有：(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(179,178)，

(178,173)，(178,176)，(176,173)共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件，

∴P(A)＝410＝25.