Gothedistance
A组考点基础演练
一、选择题
1．将点M的直角坐标(－3，－1)化成极坐标为()
A.????3，π6B.????2，7π6
C.????－2，7π6D.????2，π6
解析：ρ＝?－3?2＋?－1?2＝3＋1＝2，
tanθ＝－1－3＝33，点M在第三象限，θ＝7π6.
所以点M的极坐标为????2，7π6
答案：B
2．在极坐标系中，圆ρ＝－2sinθ的圆心的极坐标是()
A.????1，π2B.????1，－π2
C．(1,0)D．(1，π)
解析：该圆的直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，即x2＋(y＋1)2＝1，故圆心的直角坐标为(0，
－1)，化为极坐标为????1，－π2，故选B.
答案：B
3．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是()
A．两个圆B．两条直线
C．一个圆和一条射线D．一条直线和一条射线
解析：∵(ρ－1)(θ－π)＝0，∴ρ＝1或θ＝π.ρ＝1表示以极点为圆心、半径为1的圆，θ
＝π表示由极点出发的一条射线，∴C选项正确．
答案：C
4．在极坐标系中，点????2，π3与圆ρ＝2cosθ的圆心之间的距离为()
A．2B.4＋π
2
9
C.1＋π
2
9D.3
Gothedistance
解析：由
?
??
x＝ρcosθ＝2cosπ3＝1，
y＝ρsinθ＝2sinπ3＝3
可知，点????2，π3的直角坐标为(1，3)．圆ρ＝2cos
θ的直角坐标方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，则圆心(1,0)与点(1，3)之间的距离为3.
答案：D
5．(2014年高考安徽卷)以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立
极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是
??
??
?x＝t＋1，
y＝t－3(t为参数)，
圆C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为()
A.14B．214
C.2D．22
解析：由
??
??
?x＝t＋1，
y＝t－3消去t得x－y－4＝0，
C：ρ＝4cosθ?ρ2＝4ρcosθ，∴C：x2＋y2＝4x，
即(x－2)2＋y2＝4，∴C(2,0)，r＝2.
∴点C到直线l的距离d＝|2－0－4|2＝2，
∴所求弦长＝2r2－d2＝22.故选D.
答案：D
二、填空题
6.如图，在极坐标系中，过点M(2,0)的直线l与极轴的夹角α＝π6.若将l的极坐标方程写
成ρ＝f(θ)的形式，则f(θ)＝________.
解析：利用正弦定理求解．
如图，设P(ρ，θ)为直线上任一点，
在△OPM中，|OM|
sin????π6－θ
＝ρ
sin56π
，
Gothedistance
∴2
sin????π6－θ
＝ρ1
2
.
∴ρ＝1
sin????π6－θ
，即f(θ)＝1
sin????π6－θ
.
答案：1
sin????π6－θ
7．(2014年高考广东卷)(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，曲线C1与C2的方程
分别为2ρcos2θ＝sinθ与ρcosθ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，
建立平面直角坐标系，则曲线C1与C2交点的直角坐标为________．
解析：将2ρcos2θ＝sinθ两边同乘以ρ，得2(ρcosθ)2＝ρsinθ，化为直角坐标方程为2x2
＝y①，C2：ρcosθ＝1化为直角坐标方程为x＝1②，联立①②可解得
??
??
?x＝1，
y＝2，所以曲线
C1与C2交点的直角坐标为(1,2)．
答案：(1,2)
8．已知曲线C的参数方程为???
x＝2cost，
y＝2sint(t为参数)，C在点(1,1)处的切线为l.以坐
标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为________．
解析：由曲线C的参数方程???
x＝2cost，
y＝2sint(t为参数)，可知曲线C的普通方程为x
2＋
y2＝2，表示圆心为(0,0)，半径为2的圆，所以点(1,1)在圆上．由切线的性质可知切线l的
斜率为－1，故切线l的方程为x＋y－2＝0，由极坐标方程与直角坐标方程的互化公式可得
切线l的极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝2.
答案：ρcosθ＋ρsinθ＝2
三、解答题
9．已知圆的极坐标方程为：
ρ2－42ρcos????θ－π4＋6＝0.
(1)将极坐标方程化为普通方程；
(2)若点P(x，y)在该圆上，求x＋y的最大值和最小值．
解析：(1)原方程变形为：
ρ2－4ρcosθ－4ρsinθ＋6＝0.
x2＋y2－4x－4y＋6＝0.
Gothedistance
(2)圆的参数方程为???
x＝2＋2cosα，
y＝2＋2sinα(α为参数)，
所以x＋y＝4＋2sin????α＋π4.
所以x＋y的最大值为6，最小值为2.
10．(2014年高考辽宁卷)(选修4－4：坐标系与参数方程)将圆x2＋y2＝1上每一点的横
坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.
(1)写出C的参数方程；
(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极
轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．
解析：(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为C上的点(x，y)，依题意，得
??
??
?x＝x1，
y＝2y1，
由x21＋y21＝1得x2＋????y22＝1，即曲线C的方程为x2＋y
2
4＝1.
故C的参数方程为
??
??
?x＝cost，
y＝2sint(t为参数)．
(2)由
??
??
?x2＋y24＝1，
2x＋y－2＝0
解得
??
??
?x＝1，
y＝0或???
??x＝0，
y＝2.
不妨设P1(1,0)，P2(0,2)，则线段P1P2的中点坐标为????12，1，所求直线斜率为k＝12，于
是所求直线方程为y－1＝12????x－12，化为极坐标方程，并整理得2ρcosθ－4ρsinθ＝－3，即ρ
＝34sinθ－2cosθ.
B组高考题型专练
1．点M，N分别是曲线ρsinθ＝2和ρ＝2cosθ上的动点，则|MN|的最小值是()
A．1B．2
C．3D．4
解析：ρsinθ＝2化为普通方程为y＝2，
ρ＝2cosθ化为普通方程为x2＋y2－2x＝0即(x－1)2＋y2＝1，
圆(x－1)2＋y2＝1上的点到直线上点的距离的最小值为圆心(1,0)到直线y＝2的距离减去
半径，即为2－1＝1，故选A.
答案：A
2．在极坐标方程中，曲线C的方程是ρ＝4sinθ，过点????4，π6作曲线C的切线，则切线
Gothedistance
长为()
A．4B.7
C．22D．23
解析：ρ＝4sinθ化成普通方程为x2＋(y－2)2＝4，点????4，π6化为直角坐标为(23，2)，
切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形，由勾股定理得切线长为
?23?2＋?2－2?2－22＝22，故选C.
答案：C
3．设曲线C的参数方程为
??
??
?x＝t，
y＝t2(t为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x轴的
正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．
解析：消去曲线C中的参数t得y＝x2，将x＝ρcosθ代入y＝x2中，得ρ2cos2θ＝ρsinθ，
即ρcos2θ－sinθ＝0.
答案：ρcos2θ－sinθ＝0
4．(2015年华南师大模拟)在极坐标系中，点M????4，π3到曲线ρcos????θ－π3＝2上的点的
距离的最小值为________．
解析：依题意知，点M的直角坐标是(2,23)，
曲线的直角坐标方程是x＋3y－4＝0，因此所求的距离的最小值等于点M到该直线的
距离，即为|2＋23×3－4|
12＋?3?2
＝2.
答案：2
5．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为
??
??
?x＝2cosα，
y＝2＋2sinα(α为参数)．M是C1上
的动点，P点满足OP＝2OM，P点的轨迹为曲线C2.
(1)求C2的方程；
(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C1的异于极点的交
点为A，与C2的异于极点的交点为B，求AB.
解析：(1)设P(x，y)，则由条件知M????x2，y2.
由于M点在C1上，所以
??
?x2＝2cosα，
y
2＝2＋2sinα，
Gothedistance
即
??
??
?x＝4cosα，
y＝4＋4sinα，
从而C2的参数方程为
??
??
?x＝4cosα，
y＝4＋4sinα(α为参数)．
(2)曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sinθ，射线θ＝π3与
C1的交点A的极径为ρ1＝4sinπ3.射线θ＝π3与C2的交点B的极径为ρ2＝4sinπ3.
所以AB＝|ρ2－ρ1|＝23.
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