Gothedistance
A组考点基础演练
一、选择题
1．参数方程为
??
??
?x＝3t2＋2，
y＝t2－1(0≤t≤5)的曲线为()
A．线段B．双曲线的一支
C．圆弧D．射线
解析：化为普通方程为x＝3(y＋1)＋2，
即x－3y－5＝0，
由于x＝3t2＋2∈[2,77]，
故曲线为线段．故选A.
答案：A
2．曲线???
x＝23cosθ，
y＝32sinθ(θ为参数)中两焦点间的距离是()
A.6B.3
C．26D．23
解析：曲线化为普通方程为x
2
12＋
y2
18＝1，∴c＝6，故焦距为26.
答案：C
3．若直线2x－y－3＋c＝0与曲线???
x＝5cosθ，
y＝5sinθ(θ为参数)相切，则实数c等于()
A．2或－8B．6或－4
C．－2或8D．4或－6
解析：将曲线???
x＝5cosθ，
y＝5sinθ(θ为参数)化为普通方程为x
2＋y2＝5，由直线2x－y－3
＋c＝0与圆x2＋y2＝5相切，可知|－3＋c|5＝5，解得c＝－2或8.
答案：C
4．(2015年淮南模拟)已知曲线C：
??
??
?x＝2cosθ，
y＝2sinθ(θ为参数)和直线l：???
??x＝t，
y＝t＋b(t为参
数，b为实数)，若曲线C上恰有3个点到直线l的距离等于1，则b＝()
A.2B．－2
Gothedistance
C．0D．±2
解析：将曲线C和直线l的参数方程分别化为普通方程为x2＋y2＝4和y＝x＋b，依题
意，若要使圆上有3个点到直线l的距离为1，只要满足圆心到直线的距离为1即可，得到|b|2
＝1，解得b＝±2.
答案：D
5．已知点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线
??
??
?x＝4t2，
y＝4t(t为参数)上，则|PF|＝()
A．1B．2
C．3D．4
解析：将抛物线的参数方程化为普通方程为y2＝4x，则焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1，
又P(3，m)在抛物线上，由抛物线的定义知|PF|＝3－(－1)＝4.
答案：D
二、填空题
6．已知直线l1：
??
??
?x＝1－2t，
y＝2＋kt(t为参数)，l2：???
??x＝s，
y＝1－2s(s为参数)，若l1∥l2，则k＝
________；若l1⊥l2，则k＝________.
解析：将l1、l2的方程化为直角坐标方程得l1：kx＋2y－4－k＝0，l2：2x＋y－1＝0，由
l1∥l2，得k2＝21≠4＋k1?k＝4，由l1⊥l2，得2k＋2＝0?k＝－1.
答案：4－1
7．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为???
x＝t，
y＝t(t为参数)和
??
?x＝2cosθ，
y＝2sinθ(θ为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为________．
解析：曲线C1的普通方程为y2＝x(y≥0)，
曲线C2的普通方程为x2＋y2＝2.
由
??
??
?y2＝x?y≥0?，
x2＋y2＝2，
解得
??
??
?x＝1，
y＝1，即交点坐标为(1,1)．
答案：(1,1)
8．直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B
Gothedistance
分别在曲线C1：
??
??
?x＝3＋cosθ，
y＝sinθ(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则|AB|的最小值为________．
解析：消掉参数θ，得到关于x、y的一般方程C1：(x－3)2＋y2＝1，表示以(3,0)为圆心，
以1为半径的圆；C2：x2＋y2＝1，表示的是以原点为圆心的单位圆，|AB|的最小值为3－1
－1＝1.
答案：1
三、解答题
9．已知曲线C的参数方程为
??
??
?x＝sinα，
y＝cos2α，α∈[0,2π)，曲线D的极坐标方程为ρsin?
???θ＋π4
＝－2.
(1)将曲线C的参数方程化为普通方程；
(2)曲线C与曲线D有无公共点？试说明理由．
解析：(1)由
??
??
?x＝sinα，
y＝cos2α，α∈[0,2π)得
x2＋y＝1，x∈[－1,1]．
(2)由ρsin????θ＋π4＝－2得曲线D的普通方程为x＋y＋2＝0.
??
??
?x＋y＋2＝0，
x2＋y＝1得x
2－x－3＝0.
解得x＝1±132?[－1,1]，故曲线C与曲线D无公共点．
10．(2014年高考新课标全国卷Ⅰ)(选修4－4：坐标系与参数方程)
已知曲线C：x
2
4＋
y2
9＝1，直线l：???
??x＝2＋t，
y＝2－2t(t为参数)．
(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小
值．
解析：(1)由题知曲线C的参数方程为
??
??
?x＝2cosθ，
y＝3sinθ(θ为参数)．
直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.
(2)曲线C上任意一点P(2cosθ，3sinθ)到l的距离为
d＝55|4cosθ＋3sinθ－6|.
Gothedistance
则|PA|＝dsin30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tanα＝43.
当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为2255.
当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为255.
B组高考题型专练
1．若直线的参数方程为???
x＝1＋3t，
y＝2－3t(t为参数)，则直线的倾斜角为()
A．30°B．60°
C．120°D．150°
解析：由直线的参数方程知，斜率k＝y－2x－1＝－3t3t＝－33＝tanθ，θ为直线的倾斜角，
所以该直线的倾斜角为150°.
答案：D
2．(2015年东莞模拟)若直线l：y＝kx与曲线C：
??
??
?x＝2＋cosθ，
y＝sinθ
(参数θ∈R)有唯一的公共点，则实数k＝________.
解析：曲线C化为普通方程为(x－2)2＋y2＝1，圆心坐标为(2,0)，半径r＝1.由已知l与
圆相切，则r＝|2k|1＋k2＝1?k＝±33.
答案：±33
3.如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2＋y2－x＝0的参数方程为________．
解析：利用直角坐标方程和参数方程的转化关系求解参数方程．
将x2＋y2－x＝0配方，得????x－122＋y2＝14，
所以圆的直径为1，设P(x，y)，
则x＝|OP|cosθ＝1×cosθ×cosθ＝cos2θ，
y＝|OP|sinθ＝1×cosθ×sinθ＝sinθcosθ，
即圆x2＋y2－x＝0的参数方程为
Gothedistance
??
??
?x＝cos2θ，
y＝sinθcosθ(θ为参数)．
答案：
??
??
?x＝cos2θ，
y＝sinθcosθ(θ为参数)
4．已知动点P、Q都在曲线C：
??
??
?x＝2cost，
y＝2sint(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t
＝2α(0<α<2π)，M为PQ的中点．
(1)求M的轨迹的参数方程；
(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．
解析：(1)依题意有P(2cosα，2sinα)，Q(2cos2α，2sin2α)，
因此M(cosα＋cos2α，sinα＋sin2α)．
M的轨迹的参数方程为
??
??
?x＝cosα＋cos2α，
y＝sinα＋sin2α(α为参数，0<α<2π)．
(2)M点到坐标原点的距离
d＝x2＋y2＝2＋2cosα(0<α<2π)．
当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．
5．在直角坐标系xOy中，圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：(x－2)2＋y2＝4.
(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，
并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)；
(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程．
解析：(1)圆C1的极坐标方程为ρ＝2，
圆C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ.
解
??
??
?ρ＝2，
ρ＝4cosθ得ρ＝2，θ＝±
π
3，
故圆C1与圆C2交点的坐标为????2，π3，????2，－π3.
注：极坐标系下点的表示不唯一．
(2)解法一由
??
??
?x＝ρcosθ，
y＝ρsinθ得圆C1与C2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．
故圆C1与C2的公共弦的参数方程为
??
??
?x＝1，
y＝t，－3≤t≤3.
(或参数方程写成
??
??
?x＝1，
y＝y，－3≤y≤3)
Gothedistance
解法二将x＝1代入
??
??
?x＝ρcosθ，
y＝ρsinθ得ρcosθ＝1，
从而ρ＝1cosθ.
于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为
??
??
?x＝1，
y＝tanθ，－
π
3≤θ≤
π
3.
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