Gothedistance
A组考点基础演练
一、选择题
1．函数y＝|x－4|＋|x－6|的最小值为()
A．2B.2
C．4D．6
解析：y＝|x－4|＋|x－6|≥|x－4＋6－x|＝2.
答案：A
2．对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为()
A．5B．4
C．8D．7
解析：由题易得，|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋|2(y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋
2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.
答案：A
3．不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为()
A．(－∞，－1]∪[4，＋∞)
B．(－∞，－1)∪(4，＋∞)
C．(－∞，－4]∪[1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪[4，＋∞)
解析：∵|x＋3|－|x－1|≤4，
∴a2－3a≥4，
即a2－3a－4≥0.
解得a≤－1或a≥4.
答案：A
4．已知命题p：任意x∈R，|x＋2|＋|x－1|≥m；命题q：存在x∈R，x2－2mx＋m2＋m
－3＝0.“命题p为真命题”是“命题q为真命题”的()
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
解析：由绝对值不等式的几何性质可知，任意x∈R，|x＋2|＋|x－1|≥|(x＋2)－(x－1)|
＝3，故若命题p为真命题，则m≤3；当命题q为真命题时，方程x2－2mx＋m2＋m－3＝0
有根，则Δ＝(－2m)2－4(m2＋m－3)＝12－4m≥0，解得m≤3；所以“命题p为真命题”是
“命题q为真命题”的充要条件．
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答案：A
5．当|a|≤1，|x|≤1时，关于x的不等式|x2－ax－a2|≤m恒成立，则实数m的取值范围
是()
A.????34，＋∞B.????54，＋∞
C.????32，＋∞D.????52，＋∞
解析：|x2－ax－a2|＝|－x2＋ax＋a2|≤|－x2＋ax|＋|a2|＝|－x2＋ax|＋a2，当且仅当－x2＋ax
与a2同号时取等号．故当－x2＋ax≥0时，有|x2－ax－a2|＝|－x2＋ax|＋a2＝－x2＋ax＋a2＝
－????x－a22＋54a2，当x＝a2时，有最大值54a2.而|a|≤1，|x|≤1，所以当a＝1，x＝12或a＝－1，x
＝－12时，|x2－ax－a2|有最大值，且|x2－ax－a2|max＝54，故m的取值范围是????54，＋∞.
答案：B
二、填空题
6．若不等式|3x－b|<4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b的取值范围为________．
解析：由|3x－b|<4得－4<3x－b<4，
即－4＋b3
∵不等式|3x－b|<4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则
?
?
?0≤－4＋b3<1，
3<4＋b3≤4
?
??
??
?4≤b<7，
5
答案：(5,7)
7．若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________．
解析：∵f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＝
??
??
?－2x＋1?x≤－1?，
3?－1
2x－1?x≥2?，
∴f(x)≥3.要使|a|≥|x＋1|＋|x－2|有解，
∴|a|≥3，即a≤－3或a≥3.
答案：(－∞，－3]∪[3，＋∞)
8．若关于x的不等式x＋|x－1|≤a有解，则实数a的取值范围为________．
解析：解法一当x≥1时，不等式化为x＋x－1≤a，即x≤1＋a2.
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此时不等式有解当且仅当1≤1＋a2，即a≥1.
当x<1时，不等式化为x＋1－x≤a，即1≤a.
此时不等式有解当且仅当a≥1.
综上所述，若关于x的不等式x＋|x－1|≤a有解，
则实数a的取值范围是[1，＋∞)．
解法二设f(x)＝x＋|x－1|，
则f(x)＝
??
??
?2x－1?x≥1?，
1?x<1?.
f(x)的最小值为1.
因为x＋|x－1|≤a有解，即f(x)≤a有解，所以a≥1.
答案：[1，＋∞)
三、解答题
9．(2014年高考福建卷)(选修4－5：不等式选讲)
已知定义在R上的函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为a.
(1)求a的值；
(2)若p，q，r是正实数，且满足p＋q＋r＝a，求证：p2＋q2＋r2≥3.
解析：(1)因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，
当且仅当－1≤x≤2时，等号成立，
所以f(x)的最小值等于3，即a＝3.
(2)证明：由(1)知p＋q＋r＝3，又因为p，q，r是正实数，
所以(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p×1＋q×1＋r×1)2＝(p＋q＋r)2＝9，
即p2＋q2＋r2≥3.
10．(2014年高考辽宁卷)(选修4－5：不等式选讲)设函数f(x)＝2|x－1|＋x－1，g(x)＝16x2
－8x＋1，记f(x)≤1的解集为M，g(x)≤4的解集为N.
(1)求M；
(2)当x∈M∩N时，证明：x2f(x)＋x[f(x)]2≤14.
解析：(1)f(x)＝
??
??
?3x－3，x∈[1，＋∞?，
1－x，x∈?－∞，1?.
当x≥1时，由f(x)＝3x－3≤1得x≤43，故1≤x≤43；
当x<1时，由f(x)＝1－x≤1得x≥0，故0≤x<1.
所以f(x)≤1的解集为M＝??????x??0≤x≤43.
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(2)证明：由g(x)＝16x2－8x＋1≤4得16????x－142≤4，
解得－14≤x≤34.
因此N＝??????x??－14≤x≤34，
故M∩N＝??????x??0≤x≤34.
当x∈M∩N时，f(x)＝1－x，于是x2f(x)＋x·[f(x)]2
＝xf(x)[x＋f(x)]＝x·f(x)＝x(1－x)＝14－????x－122≤14.
B组高考题型专练
1．(2015年潍坊模拟)不等式|x－2|－|x－1|>0的解集为()
A.????－∞，32B.????－∞，－32
C.????32，＋∞D.????－32，＋∞
解析：原不等式等价于|x－2|>|x－1|，则(x－2)2>(x－1)2，解得x<32.
答案：A
2．已知全集U＝R，集合M＝{x||x－1|≤2}，则?UM＝()
A．{x|－1
C．{x|x<－1或x>3}D．{x|x≤－1或x≥3}
解析：M＝{x|－1≤x≤3}，又知全集是R，所以其补集为?UM＝{x|x<－1或x>3}，故选
C.
答案：C
3．在实数范围内，不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6的解集为________．
解析：解法一分类讨论去绝对值号解不等式．
当x>12时，原不等式转化为4x≤6?x≤32；当－12≤x≤12时，原不等式转化为2≤6，恒
成立；当x<－12时，原不等式转化为－4x≤6?x≥－32.由上综合知，原不等式的解集为
?
??
?
??x??－32≤x≤32.
解法二利用几何意义求解．
原不等式可化为????x－12＋????x＋12≤3，其几何意义为数轴上到12，－12两点的距离之和不
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超过3的点的集合，数形结合知，当x＝32或x＝－32时，到12，－12两点的距离之和恰好为3，
故当－32≤x≤32时，满足题意，则原不等式的解集为??????x??－32≤x≤32.
答案：??????x??－32≤x≤32
4．已知关于x的不等式|x－1|＋|x|≤k无解，则实数k的取值范围是________．
解析：∵|x－1|＋|x|≥|x－1－x|＝1，∴当k<1时，不等式|x－1|＋|x|≤k无解，故k<1.
答案：(－∞，1)
5．设函数f(x)＝|2x－4|＋1.
(1)画出函数y＝f(x)的图象；
(2)若不等式f(x)≤ax的解集非空，求a的取值范围．
解析：(1)由于f(x)＝
??
??
?－2x＋5，x<2，
2x－3，x≥2，则函数
y＝f(x)的图象如图所示．
(2)由函数y＝f(x)与函数y＝ax的图象可知，当且仅当a≥12或a<－2时，函数y＝f(x)与
函数y＝ax的图象有交点．故不等式f(x)≤ax的解集非空时，a的取值范围为(－∞，－2)∪
????
1
2，＋∞.
6．设函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|.
(1)画出函数y＝f(x)的图象；
(2)若不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)(a≠0，a、b∈R)恒成立，求实数x的取值范围．
解析：(1)当x≤1时，
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f(x)＝－(x－1)－(x－2)＝－2x＋3，
当1
当x>2时，f(x)＝(x－1)＋(x－2)＝2x－3，
所以f(x)＝
??
??
?－2x＋3?x≤1?，
1?1
2x－3?x>2?.
图象如图所示：
(2)由|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)，
得|a＋b|＋|a－b||a|≥f(x)．
又因为|a＋b|＋|a－b||a|≥|a＋b＋a－b||a|＝2，
则有2≥f(x)，解不等式2≥|x－1|＋|x－2|，
得12≤x≤52.
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