复高斯分布一维复高斯随机变量如果实随机变量X和Y都服从高斯分布，而且是不相关的（这时也是独立的），均值分别为mx和my，方差都为σ2，则其联
合概率密度函数（probabilitydensityfunction，pdf）为：对应的复随机变量Z=X+iY则称为复高斯
随机变量。Z的均值mz和方差分别为：特殊的，当均值mx和my均为0时，复随机变量Z称为（零均值）循环对称复高斯(Zero
MeanCircularSymmetricComplexGaussian,ZMCSCG)随机变量。σ2称为Z的每个实数维
上的方差(varianceperrealdimension)。图1二维高斯分布当实部虚部随机变量都是不相关的高斯RV，且具
有相同方差，则复高斯随机变量Z=X+iY的概率密度函数为：可以看出，当用实部＋i虚部的方式来表示复数后，式和式其实是等同的。但是
更加紧凑（更像一个“一维”的随机变量的概率密度函数）。但是在计算期望进行积分的时候，还是要对实部虚部来进行积分（利用式）。这也适用
于多维复随机变量的情况。复高斯随机矢量首先补充一下循环对称(CircularSymmetric，或CS)的含义([2],sec
2.6-1)：如果复随机矢量Z满足：以任意角度旋转后，所获得的新矢量跟原矢量有相同的概率密度函数，则称复随机矢量Z为循环对称的。
即,和Z的概率密度函数相同。显然，由此定义可以推出：E[Z]=0,E[ZZt]=0当Z为高斯随机矢量时，循环对称条件跟
等价。特别的，且当Z为一维时，E[Z2]=0。故，对于d维的复高斯随机矢量Z=X+iY?(粗体表示列矢量)，当其满足时([2]称
这样的Z是proper的,即满足E[(Z-mZ)(Z-mZ)t)]=0)，新随机矢量Z-mZ是循环对称（对于复随机矢量，
零均值＋proper条件即对应循环对称）的，变量代换后的概率密度函数为其中,mz=E[z]是随机矢量z的均值,Σ=E[(z
-mz)(z-mz)H]是互协方差矩阵（假设非奇异）,|Σ|是Σ的行列式，zH?表示z的共轭转置.如果这个复高斯随机矢量
Z不是proper的，则其概率密度函数不能这样表示，而应以对应的2d维实随机矢量的联合分布来表示：其中且。幸运的是，在大
多数应用环境下，我们都可以假设复随机矢量Z－mz为循环对称的，甚至可以假设Z本身就是循环对称的。当对复高斯随机变量取模时，可以得到
另两种特殊的分布：瑞利分布(Rayleighdistribution)和莱斯分布（Ricedistribution）。设有复高
斯随机变量z=x+iy，令a=|E[z]|，σ2=E[|z|2]，则r=|z|的pdf可以通过坐标变换：x=rcosθ,y=r
sinθ,并求边缘分布来获得。·当a=0时，r的pdf为瑞利分布：·当a>0时，r的pdf为莱斯分布：其中I0(.)表示零
阶一类修正贝塞尔函数，定义为莱斯分布常用K因子（莱斯因子）来描述，K=a2/2σ2。在多径无线通信环境中，它描述了直射径（主径）
的功率跟散射径功率之比。K＝0时，r为瑞利分布。K非常大时，r接近高斯分布。在无线信道中，莱斯分布是一种最常见的用于描述接收信号包
络统计时变特性的分布类型。莱斯因子是反映信道质量的重要参数，在计算信道质量和链路预算、移动台移动速度以及测向性能分析等都发挥着重要
的作用。信号在传输过程中由于多径效应，接收信号是直视信号（主径信号）和多径信号的叠加，此时接收信号的包络服从莱斯分布。图2莱斯分
布的概率密度函数复高斯分布在工程上有很广泛的应用。例如，在通信理论中，高斯白噪声进入接收机后，经过低通滤波处理变成窄带高斯噪声，叠
加在解调的信号之上，形成一个复高斯随机变量（正交调制）。注：本文在[1]的基础之上进行翻译、并参考了[2]和[3]对[1]中的描述
进行了修改、补充，最终完成。图片均来自网络。REFERENCES[1]complexGaussiandistribution
,http://everything2.com/title/complex+Gaussian+distributionhttp:
//everything2.com/title/complex+Gaussian+distribution[2]J.Proak
is,M.Salehi,DigitalCommunications,5th,McGraw-HillCompany,
NewYork:2008[3]莱斯分布，百度百科.http://baike.baidu.com/link?url=tGSIqleByObem0cjEDAlMzb7Ac_St3L4dS9-b8OgRbzISsiG6WY6LnaUyzr5iCiK |
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