第一章集合与函数概念新课标A版·数学·必修1第页高考调研第页第一章1.1习题课新课标A版·数学·必修1第一章集合与函数概念1.1集合1．1集合(习题课)第一章集合与函数概念新课标A版·数学·必修1第页高考调研第页第一章1.1习题课新课标A版·数学·必修1课时学案
课时作业
课时学案
例1若A＝{a，b}，B＝{x|xA}，则集合A与B之间的关系是()
A．ABB．AB
C．ABD．AB
【思路点拨】首先认识集合B，描述法给出，代表元素是A的子集，一一列举出A的子集即可．
题型一深刻认识集合中元素的广泛性
【解析】B＝，A∈B，选C.
【答案】C
【讲评】(1)元素与集合之间是从属关系，集合与集合之间是包含关系．
(2)某些集合在一些特殊情形下，也能以元素的身份出现．
例2设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．若BA，求由实数a的所有可能的值组成的集合，并写出它的所有非空真子集．
题型二关于空集
【解析】首先化简集合A＝{3,5}，由BA，B＝{x|ax－1＝0}，得
(1)若B＝，则a＝0；
(2)若B≠，则a≠0，这时有＝3或＝5，即a＝或.
综上所述，由实数a的所有可能的值组成的集合为{0，，}，其所有的非空真子集为{0}，{}，{}，{0，}，{0，}，{，}．
【讲评】(1)解答本题要注意条件BA，B可能为，这一点易被忽视．
(2)空集是一个特殊且重要的集合，在解题中易被遗漏或忽视，特别是在子集的题目中要注意想到的情形.
例3已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a的值．
(1)9A∩B；(2){9}＝A∩B.
题型三集合的交、并运算
【解析】(1)9∈A∩B且9B，9∈A.
∴2a－1＝9或a2＝9.a＝5或a＝±3.
而当a＝3时，a－5＝1－a＝－2，故舍去．
a＝5或a＝－3.
(2){9}＝A∩B，9∈A∩B.∴a＝5或a＝－3.
而当a＝5时，A＝{－4,9,25}，B＝{0，－4,9}，
此时A∩B＝{－4,9}≠{9}，故a＝5舍去．
a＝－3.
【讲评】9A∩B与{9}＝A∩B意义不同，9A∩B说明9是A与B的一个公共元素，但A与B允许有其他公共元素．而{9}＝A∩B说明A与B的公共元素有且只有一个9.
例4已知M＝{y|y＝x2＋1，xR}，N＝{y|y＝－x2＋1，xR}，则M∩N是()
A．{0,1}B．{(0,1)}
C．{1}D．以上答案均不对
【解析】误选B屡见不鲜，原因在于没有先研究(判断)集合中元素的属性、意义，错误地认为交集为两曲线的交点(两方程的公共解)，
即解得选B.
这样，就误把集合的元素当成是抛物线的点了．
正确的解为：M＝{y|y＝x2＋1，xR}表示y＝x2＋1中y的范围，即y≥1，M＝{y|y≥1}，同理N＝{y|y≤1}，在数轴上易得M∩N＝{1}．故选C.
【答案】C
【讲评】进行集合的交、并、补运算时，应先判断集合元素的属性，再进行集合的运算．这一点应引起我们高度重视．
例5如果方程ax＋b＝0的解集为A，cx＋d＝0的解集为B，利用A，B表示：
(1)(ax＋b)(cx＋d)＝0的解集；
(2)(ax＋b)(cx＋d)≠0的解集．
题型四方程的解集
【解析】(1){x|(ax＋b)(cx＋d)＝0}＝{x|ax＋b＝0}{x|cx＋d＝0}＝AB.
(2){x|(ax＋b)(cx＋d)≠0}＝{x|ax＋b≠0}∩{x|cx＋d≠0}＝(RA)∩(?RB)．
例6若A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋
6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}．
(1)若A∩B＝AB，求a的值；
(2)若A∩B，A∩C＝，求a的值．
【思路点拨】对于(1)，必须理解A∩B＝AB的意义．
注意：AA∩B＝AB?B?A?B；
AA∪B＝A∩BB?A?B，从而知：A＝B；
对于(2)，关键是抓住空集这个特殊集合的意义和性质，即由A∩BA∩B≠?.
【解析】由已知，得B＝{2,3}，C＝{2，－4}．
(1)A∩B＝AB，A＝B.
于是2,3是一元二次方程x2－ax＋a2－19＝0的两个根，由韦达定理，得
解之得a＝5.
(2)由A∩B，A∩C＝，得3A,2?A，－4A.
由3A，得32－3a＋a2－19＝0，解得a＝5或a＝－2.
当a＝5时，A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，与2A矛盾；
当a＝－2时，A＝{x|x2＋2x－15＝0}＝{3，－5}，符合题意．a＝－2.
【讲评】(1)选准解题的切入点是解题的关键．如何选准切入点呢，这就需要细致地观察、冷静地分析，抓住其主要矛盾．
(2)解决本题的关键是利用重要结论“由A∩B＝AB，得A＝B”及空集的特征，另外对求出的结果要检验，即是否满足集合中元素的互异性．
例7定义集合运算：AB＝{z|z＝xy，xA，yB}．设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合AB的所有元素之和为()
A．0B．2
C．3D．6
题型五信息迁移题
【解析】考查学生的理解能力，AB的元素由集合A中的元素与集合B中的元素的乘积组成，所以AB为{0,2,4}，其和为6.
【答案】D
【讲评】在知识交汇点处命题的信息迁移题是近几年高考中的热点题型，解决此类问题，既要有扎实的基本功，又要有创新意识，要迅速阅读理解题意准确把握新的信息，敢于下笔计算．
例8某集合S＝{2,3,7,8}具备以下两种特点：它的元素都是正整数；若xS，则10－xS.我们把这样的集合称作10的兑换集合，根据以上内容解答下列问题：
(1)除了上述集合外，写出两个10的兑换集合．
(2)10的兑换集合中存在元素个数为5的集合吗？存在元素个数为6的集合吗？试举例说明．
【答案】(1){1,4,6,9}，{1,3,5,7,9}．
(2)存在5个元素的集合，如{1,3,5,7,9}，{2,4,5,6,8}，存在6个元素的集合，如{1,2,4,6,8,9}，{2,3,4,6,7,8}．
课后巩固
1．设M，N是两个非空集合，定义M与N的差集为M－N＝
{x|xM且xN}，则M－(M－N)等于()
A．NB．M∩N
C．MN D．M
答案B
2．已知A＝{x|x<－5或x≥4}，B＝{x|a＋1≤x≤a＋3}，若BA，则实数a的取值范围是________．
答案a<－8或a≥3
解析B?A，a＋3<－5或a＋1≥4，解得a<－8或a≥3.
3．设A，B为两个集合，下列四个命题：
A?B?对任意xA，有xB；
A?B?A与B没有公共元素；
A?B?A?B；
A?B?存在xA，使得xB.
其中真命题序号是________．(把符合要求的真命题序号都写上)
答案
4．设U＝{0,1,2,3}，A＝{xU|x2＋mx＝0}，若UA＝{1,2}，则实数m＝________.
答案－3
5．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}，若AB＝A，求a的值．
解析A＝{1,2}，A∪B＝A，B?A.∴B＝或{1}或{2}或{1,2}．
当B＝时，无解．
当B＝{1}时，得a＝2.
当B＝{2}时，无解．
当B＝{1,2}时，得a＝3.
综上：a＝2或a＝3.
自助餐
集合中元素的个数
例1已知全集U＝AB中有m个元素，(UA)∪(?UB)中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B中的元素个数为()
A．mnB．m＋n
C．n－mD．m－n
【答案】D
【解析】(?UA)∪(?UB)中有n个元素，又U＝AB中有m个元素，故A∩B中有m－n个元素．
例250名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数为()
A．50B．45
C．40D．35
【解析】画出Venn图如图所示．选B.
例32014届新生入学，高一某班50人，其中有22人参加了数学课外小组，有18人参加了物理课外小组，同时参加这两个小组的有13人，问：
(1)数学和物理两个小组至少参加一个的学生有多少人？
(2)数学和物理两个课外小组都没参加的学生有多少人？
【思路点拨】这是一个现实生活中的例子，我们可以建立一个数学模型，将应用问题转化为数学的集合问题，利用公式card(AB)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)计算．
【解析】利用韦恩图来解，如图所示，从图上可直接看出上面(1)，(2)的结果：数学和物理两个小组至少参加一个的有9＋13＋5＝27人，数学和物理都没参加的有50－27＝23人．
例4为贯彻落实党中央关于全国要向某灾区捐赠御寒衣被的指示，帮助灾区困难群众安全过冬，民政人员对某灾区100户农户抽样调查，交来的统计表上：有御寒衣物的65户，有过冬棉被的84户，二者都有53户．那么御寒衣物与过冬棉被至少有一种的有________户．
【解析】设A＝{有御寒衣物的农户}，B＝{有过冬棉被的农户}，全集U＝{调查的100户农户}，由题可知A∩B＝{53户农户}．
结合韦恩图可知，御寒衣物与过冬棉被至少有一种的农户有96户．
自助餐·走向高考
1．(2013·课标全国)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，nA}，A∩B＝()
A．{1,4}B．{2,3}
C．{9,16}D．{1,2}
2．(2013·山东)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|xA，yA}中元素的个数是()
A．1B．3
C．5D．9
解析逐个列举可得．x＝0，y＝0,1,2时，x－y＝0，－1，－2；x＝1，y＝0,1,2时，x－y＝1,0，－1；x＝2，y＝0,1,2时，x－y＝2,1,0.根据集合中元素的互异性可知集合B的元素为－2，－1,0,1,2.共5个．
3．(2013·天津)已知集合A＝{xR||x|≤2}，B＝{xR|x≤1}，则A∩B＝()
A．(－∞，2]B．[1,2]
C．[－2,2]D．[－2,1]
解析解不等式|x|≤2，得－2≤x≤2，所以A＝[－2,2]，所以A∩B＝[－2,1]．
4．(2012·北京)已知集合A＝{xR|3x＋2>0}，B＝{xR|(x＋1)(x－3)>0}，则A∩B＝()
A．(－∞，－1)B．(－1，－)
C．(－，3)D．(3，＋∞)
解析A＝{x|x>－}，B＝{x|x>3或x<－1}，则A∩B＝{x|x>3}，故选D.
5．(2012·福建)已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{－2,2}，下列结论成立的是()
A．NM B．MN＝M
C．M∩N＝ND．M∩N＝{2}
解析A项，M＝{1,2,3,4}，N＝{－2,2}，M与N显然无包含关系，故A错．B项同A项，故B项错．C项，M∩N＝{2}，故C错，D对．
6．(2012·湖北)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，xR}，B＝{x|0
A．1B．2
C．3D．4
解析A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}，AC?B，集合C的个数为24－2＝22＝4，即C＝{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．故选D.
7．(2012·山东)已知集合U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4}，则(UA)∪B等于()
A．{1,2,4}B．{2,3,4}
C．{0,2,4}D．{0,2,3,4}
答案C
解析由题意知UA＝{0}，又B＝{2,4}，
(?UA)∪B＝{0,2,4}，故选C.
8．(2011·课标全国)已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有()
A．2个B．4个
C．6个D．8个
解析由题意得P＝M∩N＝{1,3}，
P的子集为，{1}，{3}，{1,3}，共4个，故选B.
9．(2010·大纲全国)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,4}，N＝{1,3,5}，则N∩(UM)＝()
A．{1,3}B．{1,5}
C．{3,5}D．{4,5}
10．(2010·北京)集合P＝{xZ|0≤x<3}，M＝{xR|
x2≤9}，则P∩M＝()
A．{1,2}B．{0,1,2}
C．{x|0≤x<3}D．{x|0≤x≤3}
11．(2010·福建)若集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x>2}，则A∩B等于()
A．{x|2
C．{x|2≤x<3}D．{x|x>2}
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