1-1-2 集合间的包含关系

第一章集合与函数概念新课标A版·数学·必修1第页高考调研第页第一章1.11.1.2新课标A版·数学·必修1第一章集合与函数概念1.1集合1．1.2集合间的包含关系第一章集合与函数概念新课标A版·数学·必修1第页高考调研第页第一章1.11.1.2新课标A版·数学·必修1课时学案

课时作业



要点1子集

(1)理解子集的三种语言：

文字语言：对于两个集合A与B，若集合A的都是集合B的元素，则称A是B的子集．



符号语言：若xA?x∈B，则AB(或BA)．

图形语言(Venn图)．

任何一个元素

(2)子集的性质：

A?A.

②若AB，BC，则AC.即子集具有传递性．

A.即空集是任何集合的子集．

要点2集合相等

(1)若AB，且BA，则A＝B.

(2)证明A＝B，只要证AB，且.



?

?

?

B?A

要点3真子集

(1)若集合AB，但存在元素xB，且xA，则AB.

(2)空集是集合的真子集，即A(A非空)．

(3)性质：若AB，BC，则AC.

要点4空集

不含任何元素的集合；{x|x2－x＋1＝0}＝；{xN|x＋2＝0}＝.



∈

?

任何非空





1．集合A＝{x|x≤1}与集合B＝{1,0}之间有包含关系吗？

答：因为B中的元素1,0都满足小于等于1，故满足包含关系，即BA.



2．若AB，则A的元素一定是B的元素的一部分，对吗？



答：不对．A的元素是B的一部分或是B的全部．



3．“”与“≤”一样吗？



答：不一样．“”专表示集合的关系；“≤”表示代数式间的关系．



4．(1)0＝吗？(2)0吗？(3)________{0}．



答：(1)0≠，0是数，是集合；

(2)0，不含任何元素；

(3){0}.



课时学案

例1填写下表，并回答问题

原集合 子集 子集的个数 ________ ________ {a} ________ ________ {a，b} ________ ________ {a，b，c} ________ ________

题型一子集与真子集的概念

由此猜想，含n个元素的集合的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集个数呢？



【答案】

原集合 子集 子集的个数 ? 1 {a} ?，{a} 2 {a，b} ，{a}，{b}，{a，b} 4 {a，b，c} ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，

{a，c}，{b，c}，{a，b，c} 8

猜想：含n个元素的集合的子集共有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．



探究1熟练写出给定集合的子集是学生必须掌握的基本功．

思考题1已知集合M满足{1,2}M?{1,2,3,4,5}，写出集合M.



【答案】M＝{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．

例2判断下列关系是否正确．

(1){1,2}{1,2,3}；(2){1,2,3}{1,2,4}；

(3){a}{a};(4)?＝{0}；

(5){0};(6)???.



【解析】(1)集合{1,2}中的元素1,2都是集合{1,2,3}的元素，而集合{1,2,3}中的元素3不是集合{1,2}的元素，故{1,2}{1,2,3}正确；

(2)3?{1,2,4}，{1,2,3}?{1,2,4}错误；

(3)任何一个集合是它本身的子集，因此{a}{a}正确；

(4)中没有任何元素，而{0}中有一个元素，两者不相等，故＝{0}错误；



(5)空集是任何非空集合的真子集，因此{0}正确；

(6)空集是任何集合的子集，因此正确．



探究2要注意区分“与”，“与”．“”表示元素与集合之间的从属关系，而“”表示集合之间的包含关系，“”与“”均表示集合间的包含关系，但后者是前者“≠”情形时的包含情况．



思考题2设a＝＋，M＝{x|x≤}，给出下列关系：a?M；M?{a}；{a}∈M；{?}∈{a}；2a?M.

其中正确的关系式有________．



【解析】a2＝5＋2＝5＋<5＋5＝()2，

a＝＋<.a是集合M中的一个元素．

又2a>，2a不是集合M中的元素．而元素与集合之间的关系应由“属于或不属于”来描述，是错误的，是正确；再由{a}是以a为元素的集合，{}表示的是以为元素的集合，且集合与集合之间的关系由“包含或不包含”来描述，从而可以断定错误，正确．

【答案】

例3已知集合A＝{x|x＝k＋，kZ}，B＝{x|x＝k，kZ}，则A与B的关系为________．



【解析】方法一：(列举法)

对于集合A，取k＝…，0,1,2,3，…，得

A＝{…，，，，，…}．

对于集合B，取k＝…，0,1,2,3,4,5，…，得

B＝{…，0，，1，，2，，…}．故AB.



方法二：(特征性质法)

集合A：x＝(kZ)，分子为奇数．

集合B：x＝(kZ)，分子为整数，

AB.



【答案】AB

探究3几种等价表示方法(nZ)．

“2n－1”等价于“2n＋1”．

“2n－1”等价于“4n±1”．

③“4n＋3”等价于“4n－1”等．



思考题3设集合M＝{x|x＝2k＋1，kN}，N＝{x|x＝2k－1，kN}，则M，N之间的关系为()

A．MNB．MN

C．MN D．M＝N



【答案】A

例4已知A＝{x|x＝3k＋1，kZ}，B＝{x|x＝3n－2，nZ}，则A与B的关系为__________．



题型二集合相等

【解析】(1)任取x1A，则x1＝3k1＋1＝3(k1＋1)－2，k1＋1Z.∴x1∈B，故AB.

(2)任取x2B，则x2＝3n2－2，n2Z.

∵3n2－2＝3(n2－1)＋1，n2－1Z，

x2∈A，B?A.

由(1)(2)可知A＝B.



【答案】A＝B



探究4若AB，且BA，则A＝B.

思考题4集合X＝{x|x＝2n＋1，nZ}，Y＝{y|y＝4k±1，kZ}，则X与Y的关系是________．



【答案】相等



例5(1)设集合A＝{x|x是菱形}，B＝{x|x是平行四边形}，C＝{x|x是正方形}，指出A，B，C之间的关系．

(2)已知集合A＝{x|1≤x<4}，B＝{x|x


题型三“直观化”判定集合间的关系

【解析】(1)用Venn图表示集合A，B，C，如下图，

CAB.



(2)将数集A表示在数轴上(如下图)，要满足AB，表示数a的点必须在表示4的点处或在表示4的点的右边，所以所求a的集合为{a|a≥4}．



探究5(1)数形结合形象、直观、有利于呈现集合之间的关系，使问题变得简洁而清晰，因此要善于运用它解决问题．

(2)用不等式表示的集合之间的关系往往用数轴(数形结合)的方法解决．



思考题5已知A＝{x|x＜5}，B＝{x|x＜a}．

(1)若BA，求a的取值范围；

(2)若AB，求a的取值范围．



【答案】(1)a≤5，(2)a≥5



例6若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且BA.求由m的可取值组成的集合．



题型四子集的应用

【解析】A＝{－3,2}，

当m＝0时，B＝，有BA.

当m≠0时，方程mx＋1＝0解为x＝－，又B?A，

－＝－3或－＝2，即m＝或m＝－.

故所求集合为{0，，－}．

【误区警示】本题易漏掉m＝0这种情况，原因是忽略对空集的讨论．



探究6(1)解决集合问题时，若遇到“BA，BA(A为非空集合)”这些条件时，要首先考虑B＝这种情况．

(2)在解决有关分类讨论的问题时，根据实际问题分类要恰当、合理，做到不重复、不遗漏，克服分类讨论问题中的主观性和盲目性．



思考题6在例6中，若BA，其它条件不变，求m的可取值组成的集合．



【解析】A＝{－3,2}，而B中至多有一个元素，若BA，则必有BA.故求解过程与例6相同．

【答案】{0，，－}

课后巩固

1．下列命题中正确的是()

A．空集没有子集

B．空集是任何一个集合的真子集

C．任何一个集合必有两个或两个以上的子集

D．设集合BA，那么，若xA，则xB



答案D



2．若集合M＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1,0,1}，则M与T的关系是()

A．MTB．MT

C．M＝TD．MT



答案A



3．设2014{x，，x2}，则满足条件的所有x组成的集合的真子集的个数为()

A．3B．4

C．7D．8



答案A



解析由题意得x＝－2014或x＝－，所以集合{－2014，－}的真子集有22－1＝3个．



4．设A＝{x|x>1}，B＝{x|x>a}，且AB，则实数a的取值范围为()

A．a<1B．a≤1

C．a>1D．a≥1



答案B



解析如图，结合数轴可知a≤1时，有AB.





5．设a，bR，集合{1，a＋b，a}＝{0，，b}，则b－a等于()

A．1B．－1

C．2D．－2



答案C



解析a≠0，a＋b＝0，＝－1.

b＝1，a＝－1，b－a＝2，故选C.



6．给出下列五个关系：

{1}∈{0,1,2}；{1，－3}＝{－3,1}；{0,1,2}?{1,0,2}；{0,1,2}；{0}．

其中表示不正确的序号是________．



答案