第一章集合与函数概念新课标A版·数学·必修1第页高考调研第页第一章1.21.2.2第1课时新课标A版·数学·必修1第一章集合与函数概念1．2函数及其表示1.2.2函数的表示法(第1课时)第一章集合与函数概念新课标A版·数学·必修1第页高考调研第页第一章1.21.2.2第1课时新课标A版·数学·必修1课时学案
课时作业
课时学案
例1下表给出的y与x的关系，是函数关系吗？
x 1921 1927 1949 1949
题型一列表法
【解析】x，y的取值范围分别是
A＝{1921,1927,1949,1997,2013,2014}{x|1949
它们都是非空数集，且按照表格中给出的对应关系，对任意的xA，在B中都有唯一确定的值与之对应，所以y是x的函数．
探究1列表法是表示函数的很浅显、很直接的方法．不需计算即可看出自变量及其函数值．
思考题1下表是某校高一(1)班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表.
(1)上表反映了几个函数关系？这些函数的自变量是什么？定义域是什么？
(2)上述4个函数能用解析式法表示吗？
答案(1)4个；测试序号：{1,2,3,4,5,6}．
(2)不能用解析式法表示．
例2作出下列函数的图像．
(1)y＝；(2)y＝1－x(xZ)．
题型二图像法
【解析】
(1)函数定义域是{x|xR，且x≠0}．
由于y＝
该函数的图像是除去端点(0,0)的两条射线．图像如图所示．
(2)∵定义域为一些独立的连续整数，
这个函数的图像由一些点组成，这些点都在直线y＝1－x上，这些点称为整点，如下图所示．
探究2(1)函数的图像通常是一段或几段光滑的曲线，但有时也可以由一些孤立的点或几段线段(或射线)组成．如本例中的(1)，(2)．
(2)有些函数应求定义域，在定义域上化简函数式后，再作图较合理．如(1)．
(3)作函数图像的一般步骤是：列表、描点、连线，如果我们对函数图像的大致形状比较熟悉，那么可不必列表，直接描点、连线，如(1)．
思考题2作函数y＝的图像．
【答案】
1.待定系数法
例3已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝16x－25，求f(x)．
【思路点拨】应该根据题意，设f(x)＝kx＋b(k≠0)的形式，再写出复合函数f[f(x)]的解析式来求k与b的值．
题型三求函数的解析式
【解析】设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则
f[f(x)]＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b，
所以k2x＋kb＋b＝16x－25.
所以或
所以f(x)＝4x－5或f(x)＝－4x＋.
【讲评】此类型题目一般说明函数的类型，需要我们确定其系数或一些常量，即“待定系数法”，而此题的关键在于根据“恒等式”的特点来写出等量关系的，这也是今后常用的一种思维方法．
探究3待定系数法
我们在解决某些问题时，常用一些字母来表示需要确定的系数，然后根据一些条件或要求来确定这些系数，从而解决问题，这样的思维方法叫做待定系数法．
待定系数法适用于：已知所要求的解析式f(x)的类型，如是一次函数、二次函数，等等，即可设出f(x)的解析式，然后根据已知条件确定其系数．
思考题3(1)已知f[f(x)]＝3x＋2，求一次函数f(x)的解析式．
(2)已知f(x)为多项式，f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－2x＋4.求f(x)的解析式．
【答案】(1)f(x)＝x＋－1或f(x)＝－x－(＋1)
(2)f(x)＝x2－x＋1
2．换元法、凑配法
例4已知f(＋1)＝x＋2＋1，求f(x)的解析式．
【思路点拨】如果把＋1视为t，那么左边就是一个关于t的函数f(t)．只要在等式＋1＝t中，用t表示x，将右边化成t的表达式，问题即可解决．
【解析】解法1：令t＝＋1，则x＝(t－1)2.
由于x≥0，所以t≥1.
代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＋1＝t2，
f(x)＝x2(x≥1)．
解法2(凑配法)：
由于f(＋1)＝x＋2＋1＝(＋1)2，
把＋1看作新的自变量x，则f(x)＝x2.
＋1≥1，其定义域应为{x|x≥1}，
即f(x)＝x2(x≥1)．
探究4换元法
换元法是已知y＝f[g(x)]的解析式，求f(x)的解析式的方法．其具体步骤是：令t＝g(x)，由t＝g(x)求出x，即用t表示x，代入y＝f[g(x)]中，得出f(t)，即可得到f(x)的解析式．值得注意的是，t的取值范围由t＝g(x)而定，也就是f(x)的定义域．
思考题4已知f＝，求f(x)的表达式．
【答案】f(x)＝(x≠0)
3．方程思想、消元法
例5如果函数f(x)满足方程2f(x)＋f＝2x，
xR且x≠0，求f(x)的解析式．
【思路点拨】欲求f(x)，必须消去已知方程中的f，不难想到再寻找一个方程，可由x与的倒数关系，用去替换已知式中的x，便可得另一个方程，然后联立解之．
【解析】2f(x)＋f＝2x，
将x换成，则换成x，
得2f＋f(x)＝.
由消去f，得3f(x)＝4x－.
f(x)＝x－，(xR且x≠0)．
探究5消元法
将函数中的自变量x适当地置换为别的自变量，得到一个新的函数方程，从两个函数方程组成的方程组中，通过消元，得到所求函数解析式．
思考题5已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x)的解析式．
【解析】
∴f(x)＝x2－2x.
课后巩固
1．下列结论正确的是()
A．任意一个函数都可以用解析式表示
B．函数y＝x，x{1,2,3,4}的图像是一条直线
C．表格
x 有理数 无理数 y 1 －1 可以表示y是x的函数
D．图像可表示函数y＝f(x)的图像
答案C
2．已知f(x)＝3x2＋1，则f[f(1)]的值等于()
A．25B．36
C．42D．49
答案D
3．函数f(x)＝x＋的图像是下图中的()
答案C
4．“龟兔赛跑”讲述了这样一个故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点……；用S1、S2分别表示乌龟和兔子所走的路程，x为时间，则如下图所示的图像中与故事情节相吻合的是()
答案D
5．已知f(2x＋1)＝3x－4，f(a)＝4，则a＝________.
答案
解析令3x－4＝4，得x＝.
当x＝时2x＋1＝2×＋1＝，即a＝.
6．车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有3500辆次，其中电动车保管费是每辆一次0.5元，自行车保管费是每辆一次0.3元．
(1)若设自行车停放的辆次数为x，总的保管费收入为y元，试写出y关于x的函数关系式；
(2)若估计前来停放的3500辆次自行车和电动车中，电动车的辆次数不小于25%，但不大于40%，试求该车管站这个星期日收入保管费总数的范围．
分析让学生审清题意读懂题，求解析式时不要忘记函数的定义域，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义．然后再根据解析式列不等式求解．总的保管费＝自行车保管费＋电动车保管费．
解析(1)由题意得
y＝0.3x＋0.5(3500－x)＝－0.2x＋1750，xN且0≤x≤3500.
(2)若电动车的辆次数不小于25%，但不大于40%，
则3500×(1－40%)≤x≤3500×(1－25%)，
即2100≤x≤2625.
画出函数y＝－0.2x＋1750(2100≤x≤2625)的图像，可得函数y＝－0.2x＋1750(2100≤x≤2625)的值域是[1225,1330]，即收入在1225元至1330元之间．
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