第三章函数的应用第页新课标A版·数学·必修1高考调研第页第三章3.13.1.2新课标A版·数学·必修1第三章函数的应用3.1函数与方程3.1.2用二分法求方程的近似解第三章函数的应用第页新课标A版·数学·必修1高考调研第页第三章3.13.1.2新课标A版·数学·必修1课时学案
课时作业
1．二分法的概念
对于在区间[a，b]上连续不断且的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间，使区间的两个端点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
f(a)·f(b)<0
一分为二逐步逼近零点2．如何理解“二分法”？
答：顾名思义，二分就是平均分成两部分．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．
1．用二分法求方程的近似解应注意哪些问题？
答：(1)要看清题目要求的精确度，它决定着二分法步骤的结束．
(2)初始区间的选定一般在两个整数间，不同的初始区间
结果是相同的，但二分的次数却相差较大．
(3)在二分法的第四步，由|a－b|<ε，便可判断零点近似值为a或b.
2．你认为二分法的优点和缺点是什么？
答：二分法的优点是思想方法非常简明，缺点是为了提高解的精确度，求解的过程比较长，有些计算不用计算工具甚至无法实施，往往需要借助于科学计算器．
课时学案
例1下列函数中能用二分法求零点的是()
题型一二分法的概念
解析在A中，函数无零点．在B和D中，函数有零点，但它们均是不变号零点，因此它们都不能用二分法来求零点．而在C中，函数图像是连续不断的，且图像与x轴有交点，并且其零点为变号零点，C中的函数能用二分法求其零点，故选C.
答案C
探究1能不能用二分法求函数零点，关键是看函数是否有变号零点，有则能用，无则不能用．
思考题1下列图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是()
思路点拨
观察四个函数图像，看哪些函数没有变号零点的，便不能用二分法求函数零点．
答案A
解析这四个图像中，只有图像A中的函数无变号零点．故选A.
题型二判断证明方程的根所在区间问题
例2(1)指出方程x5－x－1＝0的根所在的大致区间．
(2)求证：方程x3－3x＋1＝0的根一个在区间(－2，－1)内，一个在区间(0,1)内，另一个在区间(1,2)内．
思路点拨
先画出方程对应函数的图像或通过多次验证区间端点处的函数值符号，或两者结合，寻找到方程的根所在的区间．
解析(1)方程x5－x－1＝0，即x5＝x＋1，令F(x)＝x5－x－1，y＝f(x)＝x5，y＝g(x)＝x＋1.
在同一平面直角坐标系中，函数f(x)与g(x)的图像如右图，显然它们只有1个交点．
两函数图像交点的横坐标就是方程的解．
又F(1)＝－1<0，F(2)＝29>0，
方程x5－x－1＝0的一根在区间(1,2)内．
(2)令F(x)＝x3－3x＋1，它的图像一定是连续的，又F(－2)＝－8＋6＋1＝－1<0，
F(－1)＝－1＋3＋1＝3>0，
方程x3－3x＋1＝0的一根在区间(－2，－1)内．
同理可以验证F(0)F(1)＝1×(－1)＝－1<0，
F(1)F(2)＝(－1)×3＝－3<0，
方程的另两根分别在(0,1)和(1,2)内．
探究2判断方程的根所在的大致区间问题，是以二分法求方程近似解的前提．解答这类问题主要有三种方法．
(1)对于连续的函数可以多次验证某些点处的函数值的符号是否异号；若异号，则方程的解在以这两数为端点的区间内，这种方法需多次尝试，比较麻烦．另外在这个区间内也不一定只有一个解．
(2)画图法，若F(x)＝0对应函数y＝F(x)比较简单，其图像容易画出，就可以观察图像与x轴相交的点的位置，交点横坐标就是方程F(x)＝0的解，从而得到F(x)＝0的根所在大致区间；若函数y＝F(x)的图像不容易画出，而将F(x)分解为f(x)－g(x)的形式，且y＝f(x)与y＝g(x)较容易画出图像，它们交点横坐标就是F(x)＝0的解，这种方法要求作图要准确，否则得不出正确答案．
(3)将法二与法一结合，从形与数两个方面共同完成这一问题，变得轻松容易．
思考题2(1)已知方程2x－1＝5－x，则该方程的解会落在的区间是()
A．(0,1)B．(1,2)
C．(2,3)D．(3,4)
解析令f(x)＝2x－1＋x－5，则f(0)＝－5＝－，f(1)＝－3，f(2)＝－1，f(3)＝2，f(4)＝7，可以发现f(2)·f(3)<0，利用勘根定理，有函数f(x)＝2x－1＋x－5在区间(2,3)内有零点，即方程2x－1＝5－x在区间(2,3)内有解．
答案C
(2)试写出一个长度为2的区间，使得在这个区间上函数f(x)＝至少有一个零点．
解析函数的定义域为(－∞，－)(－，＋∞)．
取区间[0,2]，f(0)＝＝－，f(2)＝＝，所以f(0)·f(2)<0，即在区间[0,2]上，函数f(x)＝至少有一个零点，并且[0,2]的长度为2，所以[0,2]为符合条件的一个区间．
例3求函数f(x)＝x3－x2＋2x－3的一个正实数零点(精确到0.1)．
思路点拨
下面用二分法求函数零点的一般步骤来做这道题．
题型三二分法求函数零点的方法步骤
解析由于f(1)＝－1<0，f(2)＝5>0，可以确定区间[1,2]作为计算的初始区间．
用二分法逐步计算，列表如下：
端点或中点横坐标 计算端点或中点的函数值 定区间 a0＝1，b0＝2 f(1)＝－1，f(2)＝5 [1,2] x0＝1.5 f(x0)＝1.125>0 [1,1.5] x1＝1.25 f(x1)＝－0.109375<0 [1.25,1.5]
端点或中点横坐标 计算端点或中点的函数值 定区间 x2＝1.375 f(x2)＝0.458984375>0 [1.25,1.375] x3＝1.3125 f(x3)＝0.163330078>0 [1.25,1.3125]
由上表的计算可知，区间[1.25,1.3125]的左、右端点保留两位有效数字所取的近似值都是1.3，因此1.3就是所求函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值．
探究3由于用二分法求函数零点的近似值步骤比较繁琐，因此用列表法往往能比较清晰地表达．事实上，还可用二分法继续算下去，进而得到这个零点精确度更高的近似值
思考题3用二分法求函数f(x)＝x3－x2－2x＋1＝0在区间[0,1]上的一个根，要求精确到0.0001，则至少要二分有根区间多少次？
解析依题意，所求根所取区间长度不超过0.0001，由于初始区间长度为1，第1次取区间中点，区间长度减半为1/2，第2次取区间中点，区间长度减半为1/22＝1/4，第3次取区间中点，区间长度减半为1/23＝1/8，…，第n次取区间中点，区间长度减半为1/2n，于是≤0.0001，即2n≥10000.由于213＝8192,214＝16384，所以至少要二分有根区间14次．
课后巩固
1．函数f(x)＝－x2＋4x－4在区间[1,3]上()
A．没有零点B．有一个零点
C．有两个零点D．有无数个零点
答案B
解析f(x)＝－x2＋4x－4＝－(x－2)2.
2．方程lnx＋2x＝6的解一定位于区间()
A．(1,2)B．(2,3)
C．(3,4)D．(4,5)
答案B
解析令f(x)＝lnx＋2x－6，
f(1)＝ln1＋2×1－6＝－4<0，
f(2)＝ln2＋2×2－6＝ln2－2＝ln2－lne2<0，
f(3)＝ln3＋2×3－6＝ln3>0，
故选B.
3．函数f(x)＝x2－5的函数零点的近似值(精确到0.1)是________．
答案±2.2
4．求函数f(x)＝x3＋2x2－3x－6的一个正数零点(精确到0.1)．
答案1.7
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