21.2.1解一元二次方程（1）
学习目标：
理解一元二次方程降次的转化思想；
会利用直接开平方法对形如的一元二次方程进行求解；
发现不同方程的转化式，运用已有知识解决新问题。
学习重点：运用开平方法解形如的方程；
学习难点：通过根据平方根的意义解形如的方程，知识迁移到根据平方根的意义解形如的方程。
学前准备：
1．9的平方根是____,用符号表示为__________;
2．25的平方根是____,用符号表示为_________;
3．a的平方根是________;
二．探究活动：
（一）独立思考·解决问题
1．解方程：
（二）师生探究·合作交流
议一议：
1．上述解一元二次方程的方法是什么？它的理论依据是是什么？
2．方程有实数解吗？为什么？
3．由第2题你能得到用直接开平方法解一元二次方程需要注意什么呢？
我们又如何检验我们所解得方程是否正确呢？
练一练：
解方程：
小明同学在解方程时是这样解的，请同学们看看他的解法对吗？如果是你解，该如何解呢？
自我测试：
1．方程的实数根的个数是（）
A．1B.2C.0 D.以上答案都不对
2．方程的根是（）
A．B.C.D.
3．方程的根是（）
A.B.C.D.
4．方程的根是__________.
5．若方程有整数根，则m的值可以是______(只填一个)
6．当n_____时，方程有根，其根为_______.
7．已知一元二次方程，试用直接开平方法解这个方程。
21.2.1解一元二次方程（2）
学习目标：
会利用配方法熟练，灵活的解一元二次方程；
通过对计算过程的反思，获得解决新问题的体验，体会在解决问题的过程中所呈现的数学方法和数学思想；
通过配方法的探究活动，培养学生勇于探索的良好学习习惯；
感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。
学习重点：用配方法熟练地解数字系数为1的一元二次方程；
学习难点：灵活地用配方法解数字系数不为1的一元二次方程；
学前准备：
1．完全平方和公式：______________________;完全平方差公式：______________
2．这两个公式都有什么共同特点：______________________________________
3．解方程：
探究活动：
独立思考·解决问题
试一试：完成下列配方过程
解方程：
师生探究·合作交流
上述解方程的方法你知道是什么了吧？它里面蕴含着非常重要的数学思想，你知道是什么了吗？
那你知道用这种方法解方程时最关键的一步是什么了吗？你能说说你发现了什么没有？
你能总结出来用这种方法解一元二次方程的步骤吗？
练一练：
填空
5用配方法解下列方程：(教材7页例1）
自我测试
1．已知一元二次方程，若用配方法解该方程时，则配方后的方程为（）
A.B.C.D.
2．用配方法解方程，应把方程的两边同时（）
A.加B.加C.减D.减
3．
4．若是一个完全平方式，则a=_______;
5．用配方法解方程：
（1）；（2）；
6．用配方法证明：
的值恒小于0．
21.2.2解一元二次方程（公式法）
学习目标：1.理解一元二次方程求根公式的推导过程；
2.会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程；
3.经历探索求根公式的过程，发展学生合情合理的推理能力；
4.通过运用公式法解一元二次方程，提高学生的运算能力，并让学生在学习活动中获得成的体验，建立学好数学的自信心。
学习重点：求根公式的推导和公式法的应用
学习难点：一元二次方程求根公式的推导
学前准备
配方法解一元二次方程的关键是_______________________________;
一元二次方程中a=_____,b=_____,c=_______;
一元二次方程中a=______,b=______,c=________.
用配方法解一元二次方程
探究活动
独立思考·解决问题
用配方法解一元二次方程；请同学们独立完成此题。
师生探究·合作交流
由上可知，一元二次方程的根由方程的系数a,b,c而定，因此：
解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形，当时，将a,b,c代入式子x=_____________，就得到方程的根；当时就得到方程无实数根；这个式子叫做一元二次方程的求根公式；
利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法；由求根公式可知，一元二次方程最多有___个实数根。
例1：用公式法解下列方程：（1）；（2）
（4）
练习：把下列方程化成的形式，并写出其中a,b,c的值；
自我测验
1．用公式法解方程，下列代入公式正确的是（）
A.B.
C．D.
2．方程的根是（）
A．B.C.D.
3．方程的正根是（）
4．方程的两根=_________,=_______;
5．用公式法解方程：教材12页1
21.2.3解一元二次方程（因式分解法）
学习目标：1.会利用因式分解法解某些简单数字系数的一元二次方程；
2.经历探索因式分解法解一元二次方程的过程，发展学生合情合理的推理能力；
3.学会和他人合作，并能与他人交流思维的过程和结果。
学习重点：应用因式分解法解一元二次方程；
学习难点：将方程化为一般形式后，对方程左侧二次三项式的因式分解；
一．学前准备：
1.因式分解的定义_________________________________________;
2.因式分解与整式乘法互为___________；
3.因式分解有如下几种方法，分别是________,_________,_________;
4.对以下整式进行因式分解：
二．探究活动
（一）独立思考·解决问题
思考：12页问题2
你知道方程的解吗？说说你的理由
（二）师生探究·合作交流
因式分解法的理论依据是：两个因式的积等于零，那么这两个的值就至少有一个为____.即：若ab=0,则_____或______。
由上述过程我们知道：当方程的一边能够分解成两个一次因式的乘积形式而另一边等于0时，即可解之。这种方法叫做因式分解法。
你能总结出因式分解法解一元二次方程的一般步骤吗？
（1）
（2）
（3）
（4）
三应用
1．解方程（2）
2．三角形两边长分别为2和4，第三边是方程的解，则这个三角形的周长是（）A.8B.8或10C.10D.8和18
3．用因式分解法解方程5(x+3)-2x(x+3)=0，可把其化为两个一元一次方程___________,____________求解。
三．自我测试
1．方程的根为（）
A.B.C.D.
2．关于方程(x-m)(x-n)=0的说法中，正确的是（）
A.x-m=0B.x-n=0C.x-n=0或x-m=0D.x-n=0且x-m=0
3．若与是同类项，则m的值为（）
A.2B.3C.2或3D.-2或-3
4．关于x的方程ax(x-b)-(b-x)=0(a≠0)的根为（）
A．a或bB.或bC.或bD.a或-b
5．方程的根是______________;
6．方程的根是___________;
7．用因式分解法解下列方程：
21.2一元二次方程的解法
学习目标：1.会选择利用适当的方法解一元二次方程；
2.体验解决问题的方法的多样性，灵活选择解方程的方法；
3.积极探索不同的解法，并和同伴交流，勇于发表自己的观点，从交流中发现最
优方法，在学习活动中获得成功的体验。
学习重点：能根据一元二次方程的结构特点，灵活运用直接开平方法，配方法，公式法及因
式分解法解一元二次方程
学习难点：理解一元二次方程解法的基本思想
学前准备
1、解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为，即
2、一元二次方程主要有四种解法，它们的理论根据和适用范围如下表：
方法名称 理论根据 适用方程的形式 直接开平方法 平方根的定义 配方法 完全平方公式 公式法 配方法 因式分解法 两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个等于0
3、一般考虑选择方法的顺序是：
法、法、法或法
独立思考·解决问题
解下列方程：
师生探究·解决问题
通过对以上方程的解法，你能总结出对于不同特点的一元二次方程选择什么样的方法去解了吗？
练习：
选择合适的方法解下列方程:
自我测试
1．下列方程一定能用直接开平方法解的是（）
A.B.C.D.
2．解方程的最适当的方法应是（）
A.直接开平方法B.配方法C.公式法D.因式分解法
3．设a是方程较大的一根，b是方程较小的一根，那么a+b的值为（）A.-4B.-3C.1D.2
4．已知，当A=B时，x的值为（）
A.x=3或x=1B.x=-3或x=-1C.x=3或x=-1D.x=-3或x=1
5．方程的解是________;
6．已知x+y=7且xy=12，则当x
7．用适当的方法解下列方程
8．解方程;
应用与拓展
已知，求的值。
21.2.2一元二次方程的根的判别式
学习目标：1.了解掌握根的判别式；
2.不解方程能判定一元二次方程根的情况；
3.通过探究某些无解的一元二次方程得出一元二次方程的判别式
4.学生通过观察，分析，讨论相互交流，培养与他人交流的能力，通过观察，
分析，感受数学的变化美，激发学生的探求欲望。
学习重点：用根的判别式解决实际问题；
学习难点：根的判别式的发现；
预习思考
请同学们用公式法求解下列方程：
把______叫做一元二次方程的根的判别式，常用符号_____来表示。
一般地，方程当_____时，有两个不相等的实数根；当_______时，有两个相等的实数根；当_______时，没有实数根，反过来，也成立。
下列方程中，有两个不相等实数根的是（）
A.B.C.D.
二．探究活动
（一）独立思考·解决问题
1．求根公式是否对于每一个一元二次方程都适用？
2．进一步观察一元二次方程
（1）当>0时，
（2）当=0时，
（3）当<0时，方程_________.
（二）师生探究·合作交流
1．定义：把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，即=，一般地，方程
当>0时，方程有两个不相等的实数根；
当=0时，方程有两个相等的实数根；当<0时，方程没有实数根。 反过来，同样成立，即
例1：不解方程，判别下列方程根的情况：
例2：m为何值时，关于x的一元二次方程；
有两个相等实数根；
有两个不相等的实数根；
无实数根。
自我测试
1．方程x2-ax+9=0有两个相等的实数根，则a=________
关于x的方程(m+1)x2-2x-(m-1)+0的根的判别式等于４，m=_________
已知a、b、c是△ABC的三条边，且一元二次方程(a-b)x2+2(a-b)-(b-c)=0有两个相等
的实数根，试判断△ABC的形状.
当m为何值时，关于x的方程mx2+(2m-3)x+(m+2)=0有两个实数根。
关于x的一元二次方程mx2+(2m-3)x+(m+2)=0有实数根。
学习目标：1.通过观察，归纳，猜想根与系数的关系，并证明成立，使学生理解其理论依据；
2.使学生会运用根与系数关系解决有关问题；
3.培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神。
学习重点：根与系数的关系及推导
学习难点：正确理解根与系数的关系
学前准备
解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表格中两个解的和与积，它们和原来的方程的系数有什么联系？
⑴x2+２x=0⑵x2+３x－４=0⑶x2－５x+６=0
方程 x1 x2 x1+x2 x1·x2 探究活动
（一）尝试探索，发现规律：
1．若x1、x2x2+bx+c=0（a≠0）的两个根，结合上表，说明x1+x2与x1·x2
2、请用文字语言概括
小结：
1．如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=____，x1x2=____．
2．如果方程x2+px+q=0（p、q为已知常数，p2－4ｑ≥0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=_____，x1x2=________；
以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是________________________．
注意：根与系数的关系使用的前提条件___________________________
（二）例题分析
例１.不解方程，求出方程两根的和与两根的积：
①x2+6x-15=0②3x2+7x-9=0③5x-1=4x2
例2.已知关于x的方程x2+ｋx－6=0的一个根是2，求另一个根及ｋ的值
自我测试
1．若关于x的一元二次方程的两个根为，则这个方程是（）
A.B.
C.D.
2．若方程的两根是2和-3，则p，q分别为（）
A.2,-3B.-1,-6C.1,-6D.1,6
3．方程，当m=_____时，此方程两个根互为相反数；当m=_____时，两根互为倒数。
4．如果-2和是一元二次方程的两根，那么该一元二次方程为___________;
5．一元二次方程的两根为，求的值
四．应用与拓展
6.关于x的方程有两个不相等的实数根。
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由。
7.已知是方程的两个实数根，且。
求（1）求及a的值；
（2）求的值。
21.3实际问题与一元二次方程（1）
学习目标：
1.使学生会用列一元二次方程的方法解决有关增长率问题．
2.进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养学生应用数学的意识。
学习重点：学会用列方程的方法解决有关增长率问题
学习难点：有关增长率之间的数量关系．
学前准备
1．（1）原产量+增产量=实际产量．
（2）单位时间增产量=原产量×增长率．
（3）实际产量=原产量×（1+增长率）．
2．（1）某工厂一月份生产零件1000个，二月份生产零件1200个，那么二月份比一月份增产_______个？增长率是多少。
（2）银行的某种储蓄的年利率为6%，小民存1000元，存满一年连本带利的钱数是。
（3）某厂第一个月生产了彩电m台,第二个月比第一个月产量增长的百分率为x,，则第二个月生产了________台;第三个月比第二个月又增长了相同的百分率,则第三个月的产量为___________台。
二．探究活动
例1、某钢铁厂去年1月某种钢的产量为5000吨，3月上升到7200吨,这两个月平均每个月增长的百分率是多少?
分析:这两个月平均每个月增长的百分率是x,则2月份比一月份增产________吨；2月份的产量是_______________吨3月份比2月份增产________吨；3月份的产量是____________吨
解：
归纳：两次增长后的量=原来的量(1+增长率)
反之，若为两次降低，则平均降低率公式为：两次降低后的量=原来的量(1-增长率)
三探究活动1(教材19页)
四探究活动2(教材19页)
五小结：
（1）为计算简便、直接求得，可以直接设增长的百分率为x．
（2）认真审题，弄清基数，增长了，增长到、总共季度总和等词语的关系．
（3）用直接开平方法做简单，不要将括号打开．
六．自我测试
1.某商品两次价格上调后，单位价格从4元变为4.84元,则平均每次调价的百分率是()A、9%B、10％C、11％D、12％
某商品连续两次降价，每次都降20﹪后的价格为元，则原价是（）
（A）元（B）1.2元（C）元（D）0.82元
一工厂计划年的成本比年的成本降低15%，如果每一年比上一年降低的百分率为x，那么求平均每一年比上一年降低的百分率的方程是()
A、(1-x)2=15%B、(1+x)2=1+15%C、(1-x)2=1+15%D、(1-x)2=1-15%
某林场第一年造林200亩，第一年到第三年共造林728亩，若设每年增长率为x，则应列出的方程是________________________。
某工厂第一季度生产机床400台，如果每季度比上一季度增长的百分数相同，结果第二季度与第三季度共生产了1056台机床，这个百分数是
四．应用与拓展
某服装店花2000元进了批服装，按50%的利润定价，无人购买。决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完。经结算，这批服装共盈利430元。如果两次打折相同，每次打了几折？
21.3实际问题与一元二次方程（2）
学习目标：1.使学生会用列一元二次方程的方法解有关面积、体积方面的应用问题．
2.进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养用数学的意识
学习重点：会用列一元二次方程的方法解有关面积、体积方面的应用题．
学习难点：会用列一元二次方程的方法解有关面积、体积方面的应用题．
一．学前准备：1.列方程解应用题的一般步骤是：
（１）_______________________________；（２）_______________________________；
（３）________________________________；（４）________________________________；
（５）________________________________；（６）________________________________。
2．长方形的周长___________,面积_________长方体的体积公式______________
二．探究活动3(教材20页)
练习1?.现有长方形纸片一张，长19cm，宽15cm，需要剪去边长是多少的小正方
形才能做成底面积为77cm2的无盖长方体型的纸盒？
2.如图所示，在一个长为５０米，宽为３０米的矩形空地上，建造一个花园，要求花园的面积占整块面积的７５％，等宽且互相垂直的两条路的面积占２５％，求路的宽度。
三．自我测试
1、有一张长方形的桌子，长6尺，宽3尺，有一块台布的面积是桌面面积的二倍，
并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，求台布的长和宽各是多少？
（只列不解）
2、一块矩形耕地大小尺寸如图所示，要在这块地上沿东西和南北方向各挖4条和2条水渠，如果水渠的宽相等，且要保证余下的面积为9600m2,那么水渠应挖多宽？
3、有一张长40cm，宽25cm的长方形硬纸片，裁去角上四个小正方形之后，折成如图那样的无盖纸盒，若纸盒的底面积是450，那么纸盒的高是多少？
四．应用与拓展
要建一个面积为150m2的
①求养鸡场的长与宽；②当a<15或15≤a<20或a≥20时，求养鸡场的长与宽．
（2）若（1）题变为：如图（2），有一面积为150m2的
围成，求养鸡场的长与宽．
21.3实际问题与一元二次方程（3）
学习目标：1、使学生会用列一元二次方程的方法解有关数字方面的应用问题．
2、进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养用数学的意识．
学习重点：使学生会用列一元二次方程的方法解有关数字方面的应用问题
学习难点：设元的灵活性和解的讨论
学前准备：
１、列一元二次方程解应用题的一般步骤是：
（１）__________________________；（２）__________________________；
（３）__________________________；（４）__________________________；
（５）__________________________；（６）__________________________。
2、列方程的关键是准确找出_______________关系。
二．探究活动
例１.已知两个数的和等于12，积等于32，求这两个数
例2.两个连续奇数的积是323,求这两个数
例3.一个三位数，十位上的数字比它个位上的数字大３，百位上的数字等于个位上的数字的平方。已知这个三位数比它的个位上的数字与十位上的数字的积的２５倍大２０２，求这个三位数。
思考：（１）一个三位数与它各个数位上的数字有何关系？也就是如何用各个数位上的数字表示三位数？
（２）由题意知，十位上的数字、百位上的数字都与个位上的数字有关，因此你可以设_____上的数字为______，那么______位上的数字为______，______位上的数字为________。这个三位数可表示为_________。
解：
例4、某旅行社的一则广告如下：我社组团去龙湾风景区旅游，收费标准为：如果人数不超过30人，人均旅游费用为800元；如果人数多于30人且不超过40人，那么每增加1人，人均旅游费用降低10，但人均旅游费用不得低于500元。甲公司分批组织员工到龙湾风景区旅游，现计划用28000元组织第一批员工去旅游，问这次旅游可以安排多少人参加？
分析：首先应得到总费用是28000，即有等量关系“人均费用×人数=28000”，若人数不超过30人，则总费用不超过30×800=24000＜28000，所以人数应超过30人，因此又得等量关系“800元－（参加人数－30人）×10元=实际人均费用”，由此可以列出方程”[800－10(x－30)]·x=28000”，
解：
三．自我测试
１、两个数的和为１６，积为４８。求这两个数。
２、有一个两位数，等于它的两个数字的积的3倍，十位上的数字比个位上的数字小2,求这个两位数。
3、三个连续偶数，前两个数的积是第三个的3倍，求这三个数。
四．应用与拓展
合肥白马旅行社为吸引市民组团去黄山风景区旅游，推出了如下收费标准：
某单位组织员工去黄山风景区旅游，共支付给白马旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少员工去白马风景区旅游？
如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于700元
如果人数不超过25人，人均旅游费用为1000元
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