2014-2015学年山东省聊城市临清市八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求）
1．如下图是用纸折叠成的图案，其中是轴对称图形的有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′=30°，则∠ACA′的度数为（）
A．20° B．30° C．35° D．40°
3．如图，AC=AD，BA=BD，则有（）
A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB
4．若分式的值为零，则x的值是（）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．0
5．下列约分正确的是（）
A．=x2 B．=0
C． D．
6．与三角形三个顶点距离相等的点，是这个三角形的（）
A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条高的交点 D．三边的垂直平分线的交点
7．要使分式有意义，则x应满足的条件是（）
A．x≠1 B．x≠﹣1 C．x≠0 D．x＞1
8．如图，△ABC中，AB=AC，BD=CD，下列说法不正确的是（）
A．∠BAD=∠BAC B．AD=BC C．∠B=∠C D．AD⊥BC
9．如图，要用“SAS”证△ABC≌△ADE，若已知AB=AD，AC=AE，则还需条件（）
A．∠B=∠D B．∠C=∠E C．∠1=∠2 D．∠3=∠4
10．在、、、、x+中分式的个数有（）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
11．已知等腰三角形的一边长为3，另一边长为8，则它的周长是（）
A．14 B．19 C．11 D．14或19
12．已知等腰△ABC腰AB上的高CD与另一腰AC的夹角为30°，则其顶角的度数为（）
A．60° B．120° C．60或150° D．60°或120°
二、填空题（本题共5各小题，每小题3分，共15分，只要求写出最后的结果）
13．等腰三角形的一个内角是100°，那么另外两个内角的度数分别为．
14．=．
15．△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为18，若AB=5，AC=6，则EF=．
16．如图，已知△ABC，BC=10，BC边的垂直平分线交AB，BC于点E、D．若△ACE的周长为12，则△ABC的周长为．
17．直线l1、l2、l3表示三条两两相互交叉的公路，现在拟建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有处．
三、解答题（本大题共8个小题，共69分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
18．计算
（1）?
（2）+
（3）÷﹣
（4）﹣÷．
19．尺规作图
如图，已知∠AOB和C、D两点，求作一点P，使PC=PD，且P到∠AOB两边的距离相等．（不写画图过程，保留作图痕迹）
20．如图，在平面直角坐标系中，A（1，2），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．
（2）△A1B1C1的面积为．
21．如图，点C，E，B，F在同一条直线上，AC∥DF，AC=DF，CE=BF，求证：△ACB≌△DFE．
22．△ABC中，AB=AC，D是BC中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE=DF．
23．如图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若AB=AC．
求证：AD平分∠BAC．
24．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F．
（1）求证：AD=CE；
（2）求∠DFC的度数．
25．如图：
（1）P是等腰三角形ABC底边BC上的一个动点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线于点R．请观察AR与AQ，它们有何关系？并证明你的猜想．
（2）如果点P沿着底边BC所在的直线，按由C向B的方向运动到CB的延长线上时，（1）中所得的结论还成立吗？请你在图（2）中完成图形，并给予证明．
2014-2015学年山东省聊城市临清市八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求）
1．如下图是用纸折叠成的图案，其中是轴对称图形的有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点：轴对称图形．
分析：根据轴对称的定义，结合所给图形的特点进行判断即可．
解答：解：信封是轴对称图形；
飞机是轴对称图形；
裤子是轴对称图形；
褂子不是轴对称图形；
综上可得轴对称图形共3个．
故选C．
点评：本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′=30°，则∠ACA′的度数为（）
A．20° B．30° C．35° D．40°
考点：全等三角形的性质．
专题：计算题．
分析：本题根据全等三角形的性质并找清全等三角形的对应角即可．
解答：解：∵△ACB≌△A′CB′，
∴∠ACB=∠A′CB′，
即∠ACA′+∠A′CB=∠B′CB+∠A′CB，
∴∠ACA′=∠B′CB，
又∠B′CB=30°
∴∠ACA′=30°．
故选：B．
点评：本题考查了全等三角形的判定及全等三角形性质的应用，利用全等三角形的性质求解．
3．如图，AC=AD，BA=BD，则有（）
A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB
考点：线段垂直平分线的性质．
分析：由AC=AD，BA=BD，可得点A在CD的垂直平分线上，点B在CD的垂直平分线上，即可得AB垂直平分CD．
解答：解：∵AC=AD，BA=BD，
∴点A在CD的垂直平分线上，点B在CD的垂直平分线上，
∴AB垂直平分CD．
故选A．
点评：此题考查了线段垂直平分线的性质．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键．
4．若分式的值为零，则x的值是（）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．0
考点：分式的值为零的条件．
专题：计算题．
分析：要使分式的值为0，必须分式分子的值为0并且分母的值不为0．
解答：解：由分子x﹣3=0解得：x=3，
而当x=3时，分母x+3=3+3=6≠0，
故x=3．
故选A．
点评：要注意分母的值一定不能为0，分母的值是0时分式没有意义．
5．下列约分正确的是（）
A．=x2 B．=0
C． D．
考点：约分．
专题：计算题．
分析：找出分子分母的公因式进行约分即可．
解答：解：A、=x4，故A选项错误；
B、=1，故B选项错误；
C、=，故C选项正确；
D、=，故D选项错误；
故选：C．
点评：此题主要考查了约分，首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．
6．与三角形三个顶点距离相等的点，是这个三角形的（）
A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条高的交点 D．三边的垂直平分线的交点
考点：线段垂直平分线的性质．
分析：可分别根据线段垂直平分线的性质进行思考，首先满足到A点、B点的距离相等，然后思考满足到C点、B点的距离相等，都分别在各自线段的垂直平分线上，于是答案可得．
解答：解：如图：
∵OA=OB，∴O在线段AB的垂直平分线上，
∵OB=OC，∴O在线段BC的垂直平分线上，
∵OA=OC，∴O在线段AC的垂直平分线上，
又三个交点相交于一点，
∴与三角形三个顶点距离相等的点，是这个三角形的三边的垂直平分线的交点．
故选：D．
点评：此题考查了线段垂直平分线的性质；题目比较简单，只要熟知线段垂直平分线的性质即可．分别思考，两两满足条件是解答本题的关键．
7．要使分式有意义，则x应满足的条件是（）
A．x≠1 B．x≠﹣1 C．x≠0 D．x＞1
考点：分式有意义的条件．
分析：本题主要考查分式有意义的条件：分母不能为0．
解答：解：∵x+1≠0，
∴x≠﹣1．
故选：B．
点评：本题考查的是分式有意义的条件．当分母不为0时，分式有意义．
8．如图，△ABC中，AB=AC，BD=CD，下列说法不正确的是（）
A．∠BAD=∠BAC B．AD=BC C．∠B=∠C D．AD⊥BC
考点：等腰三角形的性质．
分析：根据等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
解答：解：A、∵AB=AC，BD=CD，
∴∠BAD=∠BAC，故本选项错误；
B、AD、BC的大小关系无法确定，故本选项正确；
C、∵AB=AC，
∴∠B=∠C，故本选项错误；
D、∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，故本选项错误．
故选B．
点评：本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，熟记性质是解题的关键．
9．如图，要用“SAS”证△ABC≌△ADE，若已知AB=AD，AC=AE，则还需条件（）
A．∠B=∠D B．∠C=∠E C．∠1=∠2 D．∠3=∠4
考点：全等三角形的判定．
分析：根据题目中给出的条件AB=AD，AC=AE，要用“SAS”还缺少条件是夹角：∠BAC=∠DAE，筛选答案可选出C．
解答：解：还需条件∠1=∠2，
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，
即：∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中：
，
∴△ABC≌△ADE（SAS）．
故选：C．
点评：此题主要考查了全等三角形的判定，关键是要熟记判定定理：SSS，SAS，AAS，ASA．
10．在、、、、x+中分式的个数有（）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
考点：分式的定义．
分析：判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
解答：解：、、中的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．
、x+的分母中含有字母，因此是分式．
故选：A．
点评：本题考查的是分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式．
11．已知等腰三角形的一边长为3，另一边长为8，则它的周长是（）
A．14 B．19 C．11 D．14或19
考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．
分析：因为已知长度为3和8两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
解答：解：①当3为底时，其它两边都为8，
3、8、8可以构成三角形，
周长为19；
②当4为腰时，
其它两边为3和8，
∵3+3＜8，
∴不能构成三角形，故舍去，
∴答案只有19．
故选B．
点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
12．已知等腰△ABC腰AB上的高CD与另一腰AC的夹角为30°，则其顶角的度数为（）
A．60° B．120° C．60或150° D．60°或120°
考点：等腰三角形的性质．
专题：分类讨论．
分析：等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上，因而应分两种情况进行讨论．
解答：解：当高在三角形内部时（如图1），顶角是60°；
当高在三角形外部时（如图2），顶角是120°．
故选D．
点评：此题主要考查了等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出120°一种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．
二、填空题（本题共5各小题，每小题3分，共15分，只要求写出最后的结果）
13．等腰三角形的一个内角是100°，那么另外两个内角的度数分别为40°，40°．
考点：等腰三角形的性质．
专题：应用题．
分析：因为等腰三角形中必有两个角相等和三角形内角和为180°，由其等腰三角形的另一个底角不能为100°，所以剩下两个角为底角为40°，40°．
解答：解：∵三角形内角和为180°，
∴100°只能为顶角，
∴剩下两个角为底角，且他们之和为80°，
∴另外两个内角的度数分别为40°，40°．
故答案为：40°，40°．
点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和知识；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
14．=a﹣3．
考点：分式的加减法．
专题：计算题．
分析：因为分母相同，所以分母不变，分子直接相加，然后化简．
解答：解：=．
故答案为a﹣3．
点评：此题分式分母相同，直接分子相减，结果一定化到最简．
15．△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为18，若AB=5，AC=6，则EF=7．
考点：全等三角形的性质．
分析：求出BC长，根据全等三角形的性质得出EF=BC，即可得出答案．
解答：解：
∵△ABC的周长为18，AB=5，AC=6，
∴BC=18﹣5﹣6=7，
∵△ABC≌△DEF，
∴EF=BC=7，
故答案为：7．
点评：本题考查了全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
16．如图，已知△ABC，BC=10，BC边的垂直平分线交AB，BC于点E、D．若△ACE的周长为12，则△ABC的周长为22．
考点：线段垂直平分线的性质．
分析：由BC边的垂直平分线交AB，根据线段垂直平分线的性质，可得BE=CE，又由△ACE的周长为12，即可得AB+AC=12，继而求得答案．
解答：解：∵BC边的垂直平分线交AB，
∴BE=CE，
∵△ACE的周长为12，
∴AC+AE+CE=AC+AE+BE=AC+AB=12，
∵BC=10，
∴△ABC的周长为：AB+AC+BC=22．
故答案为：22．
点评：此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
17．直线l1、l2、l3表示三条两两相互交叉的公路，现在拟建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有4处．
考点：角平分线的性质．
专题：应用题．
分析：根据角平分线的性质货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角平分线的交点，而外角平分线有3个交点，内角平分线有一个交点，即可得到答案．
解答：解：∵中转站要到三条公路的距离都相等，
∴货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角平分线的交点，
而外角平分线有3个交点，内角平分线有一个交点，
∴货物中转站可以供选择的地址有4个．
故答案为：4．
点评：本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．注意此题答案不唯一，小心别漏解．
三、解答题（本大题共8个小题，共69分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
18．（12分）（2014秋?临清市期中）计算
（1）?
（2）+
（3）÷﹣
（4）﹣÷．
考点：分式的混合运算．
分析：（1）根据分式的乘法法则进行计算即可；
（2）分母不变，把分子相加即可；
（3）（4）先算除法，再算减法即可．
解答：解：（1）原式=a；
（2）原式=
=；
（3）原式=?﹣
=1﹣
=；
（4）原式=﹣?
=﹣
=0．
点评：本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
19．尺规作图
如图，已知∠AOB和C、D两点，求作一点P，使PC=PD，且P到∠AOB两边的距离相等．（不写画图过程，保留作图痕迹）
考点：作图—基本作图；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．
分析：利用角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法分别得出进而求出其交点即可．
解答：解：如图所示：P点即为所求．
点评：此题主要考查了复杂作图，熟练掌握角平分线以及线段垂直平分线的作法是解题关键．
20．如图，在平面直角坐标系中，A（1，2），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．
（2）△A1B1C1的面积为4.5．
考点：作图-轴对称变换．
分析：（1）分别作出A、B、C三点关于y轴的对称点，顺次连接各点即可；
（2）根据S△A1B1C1=S矩形EFGH﹣S△A1EB1﹣S△B1FC1﹣S△A1HC1进行解答即可．
解答：解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求；
（2）S△A1B1C1=S矩形EFGH﹣S△A1EB1﹣S△B1FC1﹣S△A1HC1
=3×5﹣×1×2﹣×2×5﹣×3×3
=15﹣1﹣5﹣
=4.5．
故答案为：4.5．
点评：本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．
21．如图，点C，E，B，F在同一条直线上，AC∥DF，AC=DF，CE=BF，求证：△ACB≌△DFE．
考点：全等三角形的判定．
专题：证明题．
分析：根据CE=BF可以求得BC=EF，再根据AC∥DF可以求得∠ACB=∠DFE，即可解题．
解答：解：∵AC∥DF
∴∠ACB=∠DFE
∵CE=BF，
∴BC=EF，
在△ACB和△DFE中，
，
∴△ACB≌△DFE（SAS）．
点评：本题考查了全等三角形的判定，本题中根据边角边求证三角形全等是解题的关键．
22．△ABC中，AB=AC，D是BC中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE=DF．
考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
专题：证明题．
分析：根据AB=AC，D是BC中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，利用角角边定理可证此题，
解答：证明：∵AB=AC，D是BC中点，
∴∠ABC=∠ACB，BD=DC．
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠DEB=∠DFC=90°
在△DEB和△DFC中，
，
∴△DEB≌△DFC（AAS），
∴DE=DF．
点评：此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质的理解和掌握，难度不大，是一道基础题．
23．如图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若AB=AC．
求证：AD平分∠BAC．
考点：角平分线的性质．
专题：证明题．
分析：连接BC，先证明△BCF≌△CBE，则BF=CE，则Rt△BFD≌Rt△CED（AAS），所以DF=DE，由角平分线的逆定理可得AD平分∠BAC．
解答：解：方法一：连接BC，
∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，
∴∠CFB=∠BEC=90°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
在△BCF和△CBE中
∵
∴△BCF≌△CBE（AAS），
∴BF=CE，
在△BFD和△CED中
∵，
∴△BFD≌△CED（AAS），
∴DF=DE，
∴AD平分∠BAC．
方法二：先证△AFC≌△AEB，得到AE=AF，再用（HL）证△AFD≌△三AED，得到∠FAD=∠EAD，所以AD平分∠BAC．
点评：此题主要考查角平分线的性质和全等三角形的判定和性质，难度中等，作辅助线很关键．
24．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F．
（1）求证：AD=CE；
（2）求∠DFC的度数．
考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
专题：作图题．
分析：根据等边三角形的性质，利用SAS证得△AEC≌△BDA，所以AD=CE，∠ACE=∠BAD，再根据三角形的外角与内角的关系得到∠DFC=∠FAC+∠ACF=∠FAC+∠BAD=∠BAC=60°．
解答：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠B=60°，AB=AC．
又∵AE=BD，
∴△AEC≌△BDA（SAS）．
∴AD=CE；
（2）解：
∵（1）△AEC≌△BDA，
∴∠ACE=∠BAD，
∴∠DFC=∠FAC+∠ACF=∠FAC+∠BAD=∠BAC=60°．
点评：本题利用了等边三角形的性质和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解．
25．如图：
（1）P是等腰三角形ABC底边BC上的一个动点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线于点R．请观察AR与AQ，它们有何关系？并证明你的猜想．
（2）如果点P沿着底边BC所在的直线，按由C向B的方向运动到CB的延长线上时，（1）中所得的结论还成立吗？请你在图（2）中完成图形，并给予证明．
考点：等腰三角形的判定与性质．
专题：探究型．
分析：（1）由已知条件，根据等腰三角形两底角相等及三角形两直角互余的性质不难推出∠PRC与∠AQR的关系；
（2）由已知条件，根据等腰三角形两底角相等及三角形两直角互余的性质不难推出∠BQP与∠PRC的关系．
解答：解：（1）AR=AQ，理由如下：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵RP⊥BC，
∴∠B+∠BQP=∠C+∠PRC=90°，
∴∠BQP=∠PRC．
∵∠BQP=∠AQR，
∴∠PRC=∠AQR，
∴AR=AQ；
（2）猜想仍然成立．证明如下：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C．
∵∠ABC=∠PBQ，
∴∠PBQ=∠C，
∵RP⊥BC，
∴∠PBQ+∠BQP=∠C+∠PRC=90°，
∴∠BQP=∠PRC，
∴AR=AQ．
点评：本题考查了等腰三角形的性质；题中有两个类别的特殊三角形，等腰三角形是两个底角相等，直角三角形是两个锐角互余，还有对顶角相等的条件，为角的关系转化提供依据．
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