第4讲直线、平面平行的判定与性质1．以空间直线、平面位置关系的定义及四个公理为出发点认识和理解空间中的平行关系．2．理解直线
和平面平行、平面和平面平行的判定定理．3．理解并能证明直线和平面平行、平面和平面平行的性质定理．4．能用公理、定理和已获
得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．a∥α，a?β，α∩β＝l?a∥l性质定理α∥β，a?α?a∥β判定定理
2aα，b?α，且a∥b?a∥α判定定理1若一条直线和平面平行，则它们没有公共点定义 0个交
点平行1个交点相交无数个交点在平面内直线与平面的位置关系α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b
?a∥b性质定理2α∥β，a?α?a∥β性质定理1a⊥α，a⊥β?α∥β判定定理2a?α，b?α，a∩b＝M，
a∥β，b∥β?α∥β判定定理1若两个平面平行，则它们没有公共点定义 0个交点平行无数个交点相
交直线与平面的位置关系(续表)1．设AA′是长方体的一条棱，这个长方体中与AA′平行的棱共有()C
A．1条B．2条C．3条D．4条2．b是平面α外一条直线，下列条件中可得出b∥α的是()DA．b
与α内一条直线不相交B．b与α内两条直线不相交C．b与α内无数条直线不相交D．b与α内任意一条直线不相交3．下
列命题中，正确命题的个数是()A ①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α； ②若直线l与平面α平行，则
l与平面α内的任意一条直线都平行； ③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面
平行； ④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点．A．1个B．2个C．3个
D．4个4．设m，n表示不同直线，α，β表示不同平面，则下列命题中正确的是()DA．若m∥α，m∥n，则n∥
αB．若m?α，n?β，m∥β，n∥α，则α∥βC．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥βD．若α∥β，m∥α，
n∥m，nβ，则n∥β考点1直线与平面平行的判定与性质 例1：(2013年新课标Ⅱ)如图8-4-1，在直三棱柱AB
C-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点． (1)证明：BC1∥平面A1CD；图8-4-1图
D36 (1)证明：如图D36，连接AC1，交A1C于点F，则F为AC1的中点．又∵在直三棱柱ABC-A1B1C1
中，D是AB的中点，故DF为三角形ABC1的中位线，故DF∥BC1.由于DF?平面A1CD，而
BC1?平面A1CD，故有BC1∥平面A1CD. 【规律方法】证明直线a与平面α平行，关键是在平面α内找一
条直线b，使a∥b，如果没有现成的平行线，应依据条件作出平行线.有中点的常作中位线.【互动探究】 1．如图8-4-
2，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是_____
_(写出所有符合要求的图形序号)．图8-4-2并设直线AC∩平面MNP＝D，则有AB∥MD，∵M为BC中点，∴D
为AC中点，这样平面MND∥平面AB，显然与题设条件不符，∴得不到AB∥平面MNP.答案：①③考点2平
面与平面平行的判定与性质 例2：(2013年江苏)如图8-4-3，在三棱锥S-ABC中，平面SAB⊥平面SBC，
AB⊥BC，AS＝AB.过点A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证： (1)平面
EFG∥平面ABC； (2)BC⊥SA. 图8-4-3证明：(1)∵AS＝AB，A
F⊥SB，∴F是SB的中点．∵E，F分别是SA，SB的中点，∴EF∥AB.又∵EF?平面ABC，AB?平
面ABC，∴EF∥平面ABC.同理，FG∥平面ABC.又∵EF∩FG＝F，EF，FG?平面EFG，∴平面
EFG∥平面ABC.(2)∵平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，AF?平面SAB，且AF⊥SB，∴AF⊥平
面SBC.又∵BC?平面SBC，∴AF⊥BC.又∵AB⊥BC，AB∩AF＝A，AB，AF?平面SAB，∴BC⊥平面
SAB.又∵SA?平面SAB，∴BC⊥SA. 【规律方法】证明平面与平面平行，就是在一个平面内找两条相交直线平行于另
一个平面，从而将面面平行问题转化为线面平行问题.【互动探究】2．如图8-4-4，在正方体ABCD-A1B1C1D1
中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC和SC的中点．求证：平面EFG∥平面BB1D1D.图
8-4-4证明：E，F分别为BC，DC的中点，EF为中位线，则EF∥BD.又EF?平面BB1D1D，BD?平面
BB1D1D，∴EF∥平面BB1D1D.连接SB，同理可证EG∥平面BB1D1D.又EF∩EG＝E，∴平
面EFG∥平面BB1D1D.考点3线面、面面平行的综合应用 例3：已知有公共边AB的两个正方形ABCD和ABEF不在同一平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面CBE.(1)(3) (2)图8-4-5 |
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