第6讲空间坐标系与空间向量空间向量及其运算.(1)了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其
坐标表示. (2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.(3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量
的共线与垂直.1.空间向量的概念在空间，既有大小又有方向的量，叫做空间向量，记作a(3)数乘向量：λa(λ∈R)仍是一
个向量，且λa与a共线，|λa|＝|λ||a|.(4)数量积：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，a·b是一个实数.
3.空间向量的运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a；a·b＝b·a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；(λ
a)·b＝λ(a·b)(λ∈R)[注意：(a·b)c＝a(b·c)一般不成立].(3)分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb(
λ∈R)；a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 4.空间向量的坐标运算(λx1，λy1，λz1)(3)设M1(x1，y1，z1)
，M2(x2，y2，z2)，(4)对于非零向量a与b，设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，那么有a∥b?a
＝λb?x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2；a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.1.已知向量a＝(1,
1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k值是()DDA.1 1B. 5C.35
7D. 5 2.a＝(cosα，1，sinα)，b＝(sinα，1，cosα)，则a＋b与a－b的夹角为(
)A.0°C.60° B.30°D.90°A图D39D图8-6-1考点1空间向量的线性运
算 例1：如图8-6-2，已知空间四边形OABC中，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC的中点
，点G在线段MN上，图8-6-2思维点拨：利用三角形法则转化. 【规律方法】(1)本题结合图形特点运用向量的三角形法则
或平行四边形法则、共线向量定理等基本关系表示出有关的向量.(2)向量的线性运算有一个常用的结论：如果点B是线段AC
算. 【互动探究】图8-6-3考点2空间向量的数量积运算 夹角的大小.
图8-6-4
【规律方法】(1)求几何体中两个向量的夹角可以把其中一个向量平移到与另一个向量的
起点重合，从而转化为求平面中的角的大小.的大小,转化为求两个向量的数量积及两个向量的模,求出〈a,b〉的余弦值,进而求〈
a,b〉的大小.在求a·b时注意结合空间图形,把a,b用基向量表示出来,进而化简得出a·b的值．【互动探究】图8-6-5 |
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