第九章概率与统计第1讲计数原理与排列组合1.理解分类加法计数原理和分类乘法计数原理.2.会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理
分析和解决一些简单的实际问题.3.理解排列、组合的概念，能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，能解决简单的实际问题.1
.分类加法原理与分步乘法原理m1·m2·…·mn(1)分类加法原理：做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同
的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，…，第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方
法.(2)分步乘法原理：做一件事，完成它要分成n个步骤，缺一不可，在第一个步骤中有m1种不同的方法，在第二个步骤中有m2种不
同的方法，…，第n个步骤中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝_____________种不同的方法. 2.排列与排列数
(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的
一个排列. (2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m
个元素的排列数，用 n！(n－m)！n！13.组合与组合数1 (1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成
一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. (2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不
同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用1.将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种
数有()BA.81种B.64种C.12种D.14种 2.(2013年大纲)从进入决赛的6名选手中决出
1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有______种.(用数字作答)603.(2013年大
纲)6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有_______种.(用数字作答)48036 4.(2014年广东
广州调研)有4名优秀学生A，B，C，D全部被保送到甲，乙，丙3所学校，每所学校至少去1名，则不同的保送
方案共有________种.考点1排列问题例1：7位同学站成一排照相.(1)其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的
排法？(2)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？(3)甲不排头、乙不排尾的排法共有多少种？(4)甲、乙两位同学必须相邻
的排法共有多少种？(5)甲、乙两位同学不能相邻的排法共有多少种？(6)甲必须站在乙的左边的不同排法共有多少种？【规律方法
】在本题中，我们可以体会到求排列应用题的主要方法：①直接法：把符合条件的排列数列式计算，如第(1)问；②特殊元素(或位置
)优先安排的方法：先安排特殊元素或特殊位置.如第(2)(3)问； ③相邻问题捆绑处理的方法：可以把相邻元素看作一个整体参
与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列.如第(4)问； ④不相邻问题插空处理的方法：先考虑不受限制的元素的排列，
再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中.如第(5)问；⑤定序问题除法处理的方法：可以先不考虑顺序限制，排列后再除以定序
元素的全排列.如第(6)问.【互动探究】1.(2014年辽宁)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何2D人不相邻
的坐法种数为( A.144种 C.72种 )B.120种D.24种 解析：先放3把空椅子，
剩下3人带着椅子插空坐，共有考点2组合问题 例2：从4名男同学和3名女同学中，选出3人参加学校的某
项调查，求在下列情况下，各有多少种不同的选法？ (1)无任何限制； (2)甲、乙必须当选； (3)甲、乙都不当选
； (4)甲、乙只有一人当选； (5)甲、乙至少有一人当选； (6)甲、乙至多有一人当选.【规律方法】组合问题
常有以下两类题型变化： ①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，
则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取； ②“至少”或“至多”含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视“至少”或
“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法
处理. 【互动探究】 2.(2013年上海)从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的
3人中男女同学都有的概率为________(结果用数值表示).考点3排列组合的综合问题例3：六本不同的书，按照以下
要求处理，各有几种分法？(1)平均分成三堆，每堆两本；(2)平均分给甲、乙、丙三人，每人两本；(3)一堆一本，
一堆两本，一堆三本；(4)甲得一本，乙得两本，丙得三本；(5)一人得一本，一人得两本，一人得三本. 【规律方法】
求解排列、组合问题的思路是：“排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘.” 求解排列、组合问题的常用方法： ①简单问题直接法：把符合条件的排列数直接列式计算； ②部分符合条件排除法：先求出不考虑限制条件的排列，然后减去不符合条件的排列数； |
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