第6讲简单的三角恒等变换 1．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系． 2．能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．1．转化思想转化思想是三角变换的基本思想，包括角的变换、函数名的变换、和积变换、次数变换等．三角函数公式中次数和角的关系：次降角升；次升角降．常用的升次公式有：1＋sin2α=(sinα＋cosα)2；1－sin2α=(sinα－cosα)2；1＋cos2α＝2cos2α；1－cos2α＝2sin2α.2．三角函数公式的三大作用(1)三角函数式的化简．(2)三角函数式的求值．(3)三角函数式的证明．3．求三角函数最值的常用方法(1)配方法．(2)化为一个角的三角函数．(3)数形结合法．(4)换元法．(5)基本不等式法．CB3．sin17°cos47°－sin73°cos43°＝________.－124．(2013年上海)函数y＝4sinx＋3cosx的最大值是____．5考点1三角变换与图象思维点拨：由—的关系可求出α的正切值．再依据已知角βα2和2α＋β构造α＋β，从而可求出α＋β的一个三角函数值，再据α＋β的范围，从而确定α＋β的值．由3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，得3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα，∴2sin(α＋β)cosα＝4cos(α＋β)sinα.∴tan(α＋β)＝2tanα.∴tan(α＋β)＝1.【规律方法】三角函数式的化简与求值的主要过程是三角变换，要善于抓住已知条件与目标之间的结构联系，找到解题的突破口与方向． 【互动探究】考点2三角恒等式的证明 思维点拨：证明三角恒等式，一般要遵循“由繁到简”的原则，另外“化弦为切”与“化切为弦”也是在三角变换中经常使用的方法．－2cos(α＋β)．3．求证：sinβsinα＝sin(2α＋β) sinα【互动探究】例1：已知0＜α＜，0＜β＜，且3sinβ＝sin(2α＋β)，4tan＝1－tan2，求α＋β的值．
解：由4tan＝1－tan2，得tanα＝＝.
又0＜α＜，0＜β＜，0＜α＋β＜.α＋β＝.
2．已知sinx－cosx＝，求sin3x－cos3x的值．
解：由sinx－cosx＝，得(sinx－cosx)2＝，
即1－2sinxcosx＝，sinxcosx＝.
sin3x－cos3x＝(sinx－cosx)(sin2x＋sinxcosx＋cos2x)
＝×＝.
1．化简：.
解：原式＝
＝
＝
＝tanx.
例2：求证：＝1－.
证法一：左边＝
＝＝1－＝1－.
＝右边．原式成立．
证法二：右边＝1－＝
＝
＝＝左边．原式成立．
证法一：右边＝
＝
＝＝＝左边．
证法二：－＝
＝＝2cos(α＋β)，
所以－2cos(α＋β)＝.
例题：函数f(x)＝sin2x＋2cos＋3的值域为
解析：原函数可化为f(x)＝sin2x＋2(cosx－sinx)＋3，设cosx－sinx＝t，t[－，]，则sin2x＝1－t2，f(x)＝－t2＋2t＋4＝－(t－1)2＋5.当t＝1时，f(x)max＝5.当t＝－时，f(x)min＝2－2.
答案：[2－2，5]
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