第8讲解三角形应用举例1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．由A＋B＋C＝180°，求角A；由正弦定理求b与c.在有解时只有一解正弦定理 一边和两角(如a，B，C)一般解法应用定理已知条件1．解三角形的常见类型及解法在三角形的6个元素中要已知三个(除三个角外)才能求解，常见类型及其解法如下表所示：由正弦定理求角B；再由A＋B＋C＝180°，求角C；再利用正弦定理或余弦定理求c.可有两解、一解或无解正弦定理余弦定理两边和其中一 边的对角 (如a，b，A)由余弦定理求角A，B；再由A＋B＋C＝180°求角C.在有解时只有一解余弦定理 三边(a，b，c)由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出角A或B；再由A＋B＋C＝180°求另一角．在有解时只有一解余弦定理正弦定理 两边和夹角(如a，b，C)一般解法应用定理已知条件（续表）2.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等． 3．实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角： 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角[如图3-8-1(1)]．图3-8-1(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．(3)方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α[如图3-8-1(2)]．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．1．在某次测量中，在A处测得同一方向的点B的仰角为)D60°，点C的俯角为70°，则∠BAC＝( A．10° B．50° C．120° D．130° 2．如图3-8-2，某河段的两岸可视为平行，在河段的一岸边选取两点A，B，观察对岸的点C，测得∠CAB＝75°,∠CBA＝45°，且AB＝200m．则A，C两点的距离为( 图3-8-2)A图D12答案：D 4．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°,则这艘船的速图D13度是()C考点1测量距离问题 例1：(2014年四川)如图3-8-3，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°,此时气球的高是60m，则河流的宽度BC＝()图3-8-3答案：C【规律方法】(1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型.(2)利用正弦、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解.【互动探究】1.在相距2km的A，B两点处测量目标C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为__________km.考点2测量高度问题 例2：(2014年新课标Ⅰ)如图3-8-4,为测量山高MN,选择点A和另一座山的山顶C为测量观测点．从点A测得点M的仰角为∠MAN＝60°,点C的仰角为∠CAB＝45°,以及∠MAC＝75°;从点C测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m,则山高MN＝___m. 图3-8-4 答案：150【规律方法】(1)测量高度时，要准确理解仰、俯角的概念.(2)分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形内运用正弦、余弦定理. 【互动探究】 2．为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼顶D处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，那么塔AB的高度是()答案：A考点3测量角度问题 例3：如图3-8-5，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行．若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上． (1)求渔船甲的速度；(2)求sinα的值．图3-8-5 解：(1)依题意，得∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20(海里)，∠BCA＝α. 在△ABC中，由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784.解得BC＝28.故渔船甲的速度为BC 2＝14(海里/时)． 答：渔船甲的速度为14海里/时．解析：，ABC中，CAB＝45°，ABC＝90°，BC＝100，AC＝100；AMC中，MAC＝75°，MCA＝60°，AC＝100，AMC＝45°，＝，AM＝×＝100；AMN中，MAN＝60°，MNA＝90°，AM＝100，MN＝150.
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